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2014高中数学 第二章《解三角形》余弦定理课件 北师大版必修

2014高中数学 第二章《解三角形》余弦定理课件 北师大版必修


北师大版高中数学必修 5第二章《解三角形》 什么叫正弦定理 ? 正弦定理:在一个三角形中,各边和它 所对角的正弦值的比相等,即 a b c   ? ? ? 2R sin A sin B sin C 正弦定理可以解哪几类的三角形问题? (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 (进而求出其他的边和角)。 千岛湖 C A B 千岛湖 A C ? 用正弦定理能否直接求出A , B两处的距离? B 这是一个已知三角形两边a和b,和两边的 夹角C,求出第三边c的问题. A b C 已知三角形两边分别为a和b, 这两边的夹角为C,角C满足什么 条件时较易求出第三边c? c 勾股定理 你能用向量证明勾股定理吗? B c ? a ?b 2 2 2 2 a 即证 AB ? AC ? CB AB ? AC ? CB 2 2 A b C 2 c AB ? AC ? CB 2 a B AB ? ( AC ? CB ) ? AC ? 2 AC ? CB ? CB 2 2 2 2 ? AC ? 2 AC ? CB cos(180? ? C) ? CB ? a ? 2abcosC ? b 2 2 2 c ? a ? b ? 2abcosC 2 2 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? c ? a ? 2ca cosB 2 2 2 c ? a ? b ? 2abcosC 2 2 2 勾股定理与余弦定理有何关系? 令C=90 0 c ? a ?b 2 2 2 勾股定理 公式的结构特征怎样? 这个定理有什么作用? ? 若已知b=8,c=3,A= 60 ,能求a吗? 它还有别的用途吗, 若已知a,b,c,可以求什么? a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? c ? a ? 2ca cosB 2 2 2 c ? a ? b ? 2abcosC 2 2 2 b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac a 2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab 归纳: 利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角 ; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边,进而 还可求其它两个角。 例题 例1、在三角形ABC中,已知a=7, b=10, c=6,求A, ? B,C(精确到 1 ) 解: 2? 2? 2 c a 6 7 ? 0.725 cos A? b ? 10 2?10?6 2bc 2? 2? 2 ?A? 44? 2? 2? 2 2? 2? 2 a cos B ? c b ? 7 6 10 ? ?0.178 2 ac 2?7?6 ? ?B ?100 ?C ?180? ? A? B ?36? 思考:已知条件不变,将例1稍做改动 (1)在三角形ABC中,已知a=7,b=10,c=6,判定 2 ? ? 三角形ABC的形状 B?(90 ,180 )?b ? a2 ? c2 千岛湖 A (精确到1米) C AB2 ? CA2 ? CB 2 ? 2CA ? CB cosC ? 2 ? 1338 ? 7002 ? 2 ?1338? 700? cos110.8? B ? ? 1790244 ? 490000 ? 1873200

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