9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学《等比数列的求和公式》PPT课件_图文

高一数学《等比数列的求和公式》PPT课件_图文

等比数列的求和公式

一、知识回顾:

1 等比数列的定义: ?
n ?1

a

a

q
n? 1

n

2 通项公式:

an ? a1q

3 等比中项:
2

a , G , b 成等比 ? G ? ab ? G ? ? ab

二、等比数列求和公式

:

2 3 4 63 1+2+2 +2 +2 +…+2 =?

S64=1+2+4+8+…+262+263 ① ① ? 2得到:
2S64=2+4+8+16…+263+264 ② 对①、②进行比较. S64=1+2+4+8+…+262+263 ① 2S64=2+4+8+16…+263+264



证法一:

Sn=a1+a2+…+ an

公比为: q ?1

=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1

…① …②

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得: Sn-qSn=a1-a1qn
? sn ? a1 1? q 1? q

?

n

?

证法二:

an a2 a3 ? ? ?? ? ?q a a2 an?1 1
? ?q a ?a ?? ?a 1 2 n ? 1
? S n ? a1 Sn ? an ? q ? sn ?

a ?a ?? ?a 2 3 n

a1 ? a n q 1? q

证法三:

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 =a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2) =a1+q(Sn-an)
? sn ? a1 ? a n q 1? q

当公比 q ? 1 时, S ? na n 1

? a 1 (1 ? q ) ( q ? 1) ? ? Sn ? ? 1? q ? ? na 1 ( q ? 1)

n

? an ? a q 1

n? 1

? Sn

? a1 ? a n q ( q ? 1) ? ? ? 1? q . ? na ( q ? 1) ? 1

? a ? a q ? a ( 1 ? q) 1 n 1 ( q? 1 ) ( q? 1 ) ? ? ? q S ?? 1 或 S ?? 1 . ? q n n ? ? na ( q ? 1 ) na ( q ? 1 ) 1 ? 1 ?

n

1 11 例 1 :求等比数列 , , ...的前 8 项的和 2 48

8 1 1/ 2 ( 1? ) n a ( 1? q ) 1 2 ?Sn? ? 1? q 1?1/ 2

1 1 解: ? a 8 1? ,q? ,n? 2 2

? Sn ? 1 ?

1 2 8

课堂练习 1.根据下列条件,求等比数列{ an }的Sn (1)a1=3,q=2,n=6.

S6=189
1

(2)a1=8,q =2 ,an= .
2

1

S5=31/2 Sn=3n

(3)等比数列{ an=3 }

2.求等比数列1,2,4,…从第5项到第10 项的和;

S6=1008

例2:求和 (x ? 1 y ) ? (x ?
2

1 y
2

) ? ... ? ( x ?

n

1 y
n

)

( x ? 0, x ? 1, y ? 1)

解:当x≠0,x≠1,y≠1时
1 1 1 2 n (x ? ) ? (x ? ) ? ... ? (x ? ) 2 n y y y

1 1 1 2 n ? (x ? x? ... ? x) ? ( ? ? ... ? ) 2 n y y y

1 ? x(1 ? 1 ? x x n ) ? y

(1

? y 1 y

1 n

)

1 ?

?

n? 1 x ?x 1? x

?

n y ?1 n? 1 n y ?y

练习 : 求下式的和 ( 2 ? 3 ? 5 ) ? ( 4 ? 3 ? 5 ) ? ( 6 ? 3 ? 5 ) ? ... ? ( 2 n ? 3 ? 5 )
2 3 n

例 3 :设正项等比数列前 n项和为 80 ,其中最大的

一项为 54 ;前 2n项的和为 6560 ,若该数列的首项 a 1 与公比 q均为正数,求该数列的 首项 a 与公比 q. 1

?q ?1 解: ? S ? 80 , S ? 6560 n 2 n
a 1 (1 ? qn ) ? Sn ? ? 80 ? 1? q ? ? ? 2n a 1 (1 ? q ) ?S ? ? 6560 2n ? 1? q ?

(1) (2)

( 2 ) ? (1 ) 得:

1? q 1? q

2n n

? 82

1? q

2n n

1? q

? 82 ? 1? q ? 82

n

? qn ? 81

?q ?1
? { a n }是递增数列
n ? 1

? a ?0 ,q?1 1
? a n ? 54

? a q 1

a n 1 ?54 ? q ?54 q

2 a ( 1 ?81 ) 1 ? a ? q 由 ?80 得: 1 3 1 ?q

? a ?2 ,q?3 1

例 4 :已知 Sn 是等比数列 {an } 的前 n项和, S3, S9 , S6成等差数列, 求证: a , a , a 成等差数列。 2 8 5

证明: ?S3 , S9 , S6成等差数列 ?S3 ? S6 ? 2S9

当 q ? 1 时, S ? 3 a , S ? 6 a , S ? 9 a 3 1 6 1 9 1
S ? S ? 2 S ? q ? 1 3 6 9
? 由 S ? S 2 S 得 3 6? 9

a ( 1 ? q ) a ( 1 ? q) a ( 1 ? q ) 1 1 1 ? ? 2 1 ? q 1 ? q 1 ? q
1 ? q 3 ? 2 q 6 ? q 3 ? q 6 ? q 9?

3

6

9

? q ? q 4 ? 2 q 7

a1 ( a1 q ? q ? q 4 ) ? 2 7
? a ? a 2 a 2 5? 8
?a 2 ,a , a 成等差数列。 8 5

例5 某商场第1年销售计算机5000台,

如果平均每年的销售量比上一年增加
10%,那么从第1年起,约几年内可使 总销售量达到30000台(保留到个位)
分析:销售量与年份之 间的关系如下 y1 ? 5000 ; y2 ? 5000? 5000 ?10%
2

y ? 5000 ( 1 ? 10 %) ? 5000 ( 1 ? 10 %) ? 10 % ? 5000 ( 1 ? 10 % 3

y4 ? 5000 ( 1?10 %) ; ..... yn ? 5000 ( 1?10 %)
n? 1

3

解:根据题意,每年销售量比上一年增 加的百分率相同,所以从第1年起,每年 的销售量组成一个等比数列{an},其中 a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000,

于是得到:
5000(1 ?1.1 ) 1 ?1.1
n

? 30000.

整理后,得 用计算器算得
n?

1.1n=1.6

两边取对数,得 nlg1.1=lg1.6

lg1.6 lg1.1

?

? (年) 5 0.041

0.20

练习:

某制糖厂第一年制糖5万吨,如果平均 每年的产量比上一年增加10%,那么从第 一年起,约几年内可使总产量达到30万吨 (保留到个位)?
解:由已知,每年的产量组成了一个首 项为5,公比为1.1
5 ( 1 ? 1 . 1)
n

的等比数列。故有

1 ? 1 . 1

? 30 ,整理得 1 . 1? 1 . 6

n

两边取对数:
lg 1 . 6 0 . 20 n lg 1 . 1 ?lg 1 . 6 ,即 n? ? lg 1 . 1 0 . 04

? (年) 5 .

典型练习题

1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11

求lgx+lg2x+lg3x+…+ lg10x.

2. 已知数列{ an }的前n项和为Sn=3n+1-3, 求证{ an }为等比数列.

?Sn ? Sn?1 ? n ? 2 ? 证明: ? an ? ? 1 ?S ?n ? 1 ?

an

?2 ? 3 n ? ? ?an ? 2?3 ?6

n

?

an?1 an

?

2? 3

n?1 n

2? 3

?3

∴{ an }为等比数列.

课堂小结:
(1)等比数列前 n 项和的推导方法:
错位相销法;比例的性 质。

(2)等比数列前 n项和公式 :
n

? a 1 (1 ? q ) ( q ? 1) ? ? Sn ? ? 1? q ? ? na 1 ( q ? 1)

作业: (1)习题 3。 5 1,2, 3,5,6。 ( 2 )等比数列测试卷 A


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com