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2018北师大版高中数学必修四学案:第二章 章末复习课

2018北师大版高中数学必修四学案:第二章 章末复习课


数学 学习目标 1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、相反向量、相等向量、 两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量加法的平行四边形法则(共起点)和三角 形法则(首尾相接).4.了解向量形式的三角形不等式:||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b|和向量形式的平 行四边形定理:2(|a|2+|b|2)=|a-b|2+|a+b|2.5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义).6.向量 的坐标概念和坐标表示法.7.向量的坐标运算(加、 减、 实数和向量的乘法、 数量积).8.数量积(点 乘或内积)的概念:a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2,注意区别“实数与向量的乘法,向量与向量 的乘法”. 1.向量的运算:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). 向量运算 法则(或几何意义) 坐标运算 加 向 量 的 线 性 运 算 数 乘 (1)|λa|=|λ||a|; (2)当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向________;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向________;当 λ=0 时,λa=0 向量的数 量积运算 a· b=|a||b|cos θ(θ 为 a 与 b 的夹角),规定 0· a=0, 数量积的几何意义是 a 的模与 b 在 a 方向上的射影的积 减 法 法 a+b=________ a-b=_________ λa=__________ a· b=________ 数学 2.两个定理 (1)平面向量基本定理 ①定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的________向 量 a,存在唯一对实数 λ1,λ2,使 a=______________________. ②基底:把____________的向量 e1,e2 叫作表示这一平面内________向量的一组基底. (2)向量共线定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使________. 3.向量的平行与垂直 a,b 为非零向量,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). a∥b a⊥b 有唯一实数 λ 使得 ________________ x1y2-x2y1=0 类型一 向量的线性运算 → 1→ → → 2→ 例 1 如图所示,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一点,若AP=mAB+ AC,则实 3 11 数 m 的值为________. 反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心,是向量线性 运算的关键所在,常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题. → 跟踪训练 1 在△ABC 中, E 为线段 AC 的中点, 试问在线段 AC 上是否存在一点 D, 使得BD 1→ 2→ = BC+ BE,若存在,说明 D 点位置;若不存在,说明理由. 3 3 数学 类型二 向量的数量积运算 例 2 已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|ka+b|= 3|a-kb|(k>0). (1)用 k 表示数量积 a· b; (2)求 a· b 的最小值,并求出此时 a 与 b 的夹角 θ 的大小. 反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心,利用向量数量积可以解决以下问题: (1)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), a∥b?x1y2-x2y1=0, a⊥b?x1x2+y1y2=0. (2)求向量的夹角和模的问题 ①设 a=(x1,y1),则|a|= 2

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