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二项式定理公开教学教案-080410

二项式定理公开教学教案-080410

永泰职专

2008 届高职《数学》

二项式定理复习课

公开观摩课教案
课 题:§10.1.2 二项式定理

授课教师:陈

仕 清

授课时间:2008 年 4 月 10 日(星期四)下午第 1 节 授课班级:高三(5)班

一、教学分析: 1、二项式定理,是组合知识与多项式知识的结合,应特别注意掌握二项展 开式的通项公式;二项式定理与许多其他数学知识有联系,应特别注意用方程、 不等式和函数观点来解决二项式定理中的某些问题;二项式系数的三条性质有 比较广泛的应用,尤其要注意赋值法的应用。 2、二项式定理中,公式一般都能记住,但与其相关的概念如:二项式系数、 系数、常数项、项数等,学生容易混,教学时要加以对比分析,对通项公式重 点训练。 3、二项式定理是近五年我省高职单招考试的热点内容,全部出现在填空题 部分,每年一小题(5 分),主要考查二项式定理的通项公式、二项展开式的性 质,难度一般。

二、教学目的:使学生理解和掌握二项式定理及二项展开式的性质,并能正确
运用定理、公式、性质来解一些简单的问题。

三、教学重点:二项式定理及二项展开式的性质 四、教学难点:二项展开式的性质及其应用,特值法的运用。 五、教学方法:讲练结合启发式教学法 六、授课类型:复 习 课 七、教学课时:2 课 时 八、教学过程:
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二项式定理复习课

第一课时 (一)知识要点:二 3 二 5 二 5 二 5 二 65 分二项展开式的性质 1、 二项式定理: (a+b)
5

? bx

3

? cx ? 8

及数列可看作定义域为自然数集 N 或其子

集{1,2,3,?,n}的函数。数列的各项即是自变量(项数)从 1 开始自小到 大依次取自然数时对应的一系列函数值。数列的一般形式:a1,a2,a3, ?,an,?, 简记为数列{an}。 2、 数列{an}中,若 an+1 - an =d(常数),对 n≥1 都成立,则数列{an}叫等差 数列,常数 d 叫数列的公差。数列{an}中,若 an / an-1 =q (常数),q≠0,对 n ≥1 都成立,则数列{an}叫等比数列,常数 q 叫数列的公比。 3、 三数 a,b,c 成等差 比 ,即 b 是 a,c 的等差中项;三数 a,b,c 成等

,即 b 是 a,c 的等比中项。

4、等差或等比数列的通项公式 an 和前 n 项和 sn。 5、性质: 在等差数列中, m+n=p+q,则 am+an=ap+aq; 若 在等比数列中, m+n=p+q, 若 则 aman=apaq。

(二)高考分析

2007 2006 2005 2004 2003

二3 二5 二5 二5 二6

5分 5分 5分 5分 5分

典例分析:

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二项式定理复习课

例 1,根据下列数列的前 n 项的值,写出满足反映给出规律的一个通项公式。 (1)3,5,9,17,33,?? (2)0,3,8,15,24,?? 解:分析 an 与项数 n(1,2,3, ?)之间的对应关系: (1)联想数列 2,4,8,16,32,??即数列{2n},可知 an = 2n +1。 (2)联想 1,4,9,16,25,??即数列{n2},可知 an = n2-1。

评析:根据数列的前几项写出数列的通项公式,常采用归纳法。联想一些
基本数列(如自然数列、自然数的平方、立方数列、倒数数列、奇数数列、偶 数数列、2 的幂数列等)的通项公式,有助于归纳出数列的通项公式。 例 2,判断下列各数列,哪些是等差数列,哪些是等比数列? (1)0,0,0,0,0,0,0, (2)2,2,2,2,2,2,2, (3)0,1,0,1,0,1,?? (4) (5) ,

(6)an 中,an =4n-1(n∈N) (7)an 中,an = (-4)n+2 (n∈N) (8) 解: (1)、 (4)、 (6)是等差数列, (2)既是等差数列又是等比数列, (3)、 (8)既非等差数列又非等比数列,(4)、(7)是等比数列。

评析: 任何常数列都是等差数列, 而常数列不一定是等比数列。 n=an+b(a,b a
为常数)是数列{an}为等差数列的充要条件。an 是 n 的指数函数是数列{an}为等 比数列的充分条件。一般地若数列{an}为等差数列,c 为正常数,则数列{c } 为等比数列。若数列{an}( an >0, n∈N)为等比数列,c 为正常数,且 c≠1,则
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an

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数列{㏒ c an}为等差数列。 例 3,已知三个数成等差数列,它们的和为 12,它们的积为 60,求这三个数。 (p90 例8 答案:3、4、5 或 5、4、3)

例 4,如果成等比数列的三个数和为 7,乘积为 8,求这三个数。 (p92 例 16 答案:1、2、4 或 4、2、1)

例 5,已知成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 1、3、 9 就成等比数列,求这三个正数。 (p93 例 21 答案:3、5、7)

例 6,一等差数列共有 9 项,第 1 项等于 1,各项之和等于 369,一等比数列也有 9 项,
并且它的第 1 项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等,求等比数列的第 7 项。 解:设等差数列为{an} ,公差为 d,等比数列为{bn},公比为 q 由已知得:a 1 =b 1 =1, S 9 ?
8

9(a1 ? a 9 ) 2
2

? 369 ? a 9 ? 81 ?

又 b 9 =a 9 ,∴q =81,∴q =3, ∴b 7 =b 1 q =27,即等比数列的第 7 项为 27。
6

说明:本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式,因涉及的量较多,
解答要理清关系,以免出错。

例 7, 各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1, a2, a3,1 成等差数列, 且 a 求
2

1

a3 ? a4 a4 ? a5

解:∵a2,

1 2

a3,a1 成等差数列

∴ a3=a1+ a2

∵an 等比数列

∴a1q2=a1+a1q (∵a1≠0)

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∴q2-q-1=0

又 an>0 ∴q=

1? 2

5



a3 ? a4 a4 ? a5

=

1 q

=

5 ?1 2

(三)课堂练习:
P95-96 习题 第 10、13、17 题

(四)课堂小结: 1、 数列是特殊的函数, 有些题目可结合函数知识去解决, 体现了函数思想、 数形结合的思想; 2、等差、等比数列中,a1 、an、n、d(q)、sn “知三求二”,体现了方程(组) 的思想、整体思想,有时用到换元法; 3、求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等于 1,公比是字母时要进行 讨论,体现了分类讨论的思想。 (五)课外作业:
P95-96 习题 第 11、12、21 题

(六)板书设计(略)

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