9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> >>

高三数学高考复习回归课本极限

高三数学高考复习回归课本极限

2010高考复习数学回归课本:极限
一.考试内容:
教学归纳法.数学归纳法应用. 数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.

二.考试要求:
(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念. (3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限. (4)了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.

三.基础知识:
1.特殊数列的极限

?0 ? n (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? b0 t t ?1 ? bk ?不存在 ?
(3) S ? lim

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

a1 1 ? q n 1? q

?

n ??

??

a1 n ?1 ( S 无穷等比数列 a1q ? ( | q |? 1 )的和). 1? q

?

2. 函数的极限定理
x ? x0

lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .
x ? x0 x ? x0

3.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ; (2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),
x ? x0 x ? x0

则 lim f ( x) ? a .本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立.
x ? x0

4.几个常用极限 (1) lim
n ??

1 ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 ) ; n ?? n

(2) lim x ? x0 , lim
x ? x0

1 1 ? . x ? x0 x x0

5.两个重要的极限

(1) lim

sin x ? 1; x ?0 x

(2) lim ?1 ?

? x ?? ?

1? ? ? e (e=2.718281845…). x?

x

6.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) ? a , lim g ( x ) ? b ,则
x ? x0 x ? x0

(1) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b;
x ? x0

(2) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b ;
x ? x0

(3) lim
x ? x0

f ? x? a ? ?b ? 0? . g ? x? b

7.数列极限的四则运算法则 若 lim an ? a, lim bn ? b ,则
n ?? n ??

(1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ??

(2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ??

(3) lim

an a ? ?b ? 0? n ?? b b n
n ?? n ?? n ??

(4) lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数).

四.基本方法和数学思想
1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明,其步骤是: (1)验证命题对于第一个自然数 n=n0 (k≥n0)时成立;(2)假设 n=k 时成立,从而证明当 n=k+1 时命题也成立, (3)得出 结论。 数学归纳法是一种完全归纳法, 其中两步在推理中的作用是: 第一步是递推的基础, 第二步是递推的依据,二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设,二凑结论; 2. 数列极限(1)掌握数列极限的直观描述性定义; (2)掌握数列极限的四则运算法则, 注意其适用条件:一是数列{an}{bn}的极限都存在;二是仅适用于有限个数列的和、差、 积、商,对于无限个数列的和(或积) ,应先求和(或积) ,再求极限; (3)常用的几个数 列极限: lim C ? C (C 为常数) ; lim 1 ? 0 , lim q n ? 0 ( a <1,q 为常数); (4)无穷 n ?? n ?? n ??
n

递缩等比数列各项和公式 S ? lim S ? a1 (0< q ? 1 ); n
n ??

1? q

3.函数的极限: (1)当 x 趋向于无穷大时,函数的极限为 a ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? a
n ? ?? n ? ??

f ( x) ? lim f ( x) ? a : (2)当 x ? x0 时函数的极限为 a ? lim ? ?
x ? x0 x ? x0

(3)掌握函数极限的四则运算法则; 4.函数的连续性: (1)如果对函数 f(x)在点 x=x0 处及其附近有定义,而且还有
x ? x0

lim f ( x) ? f ( x0 ) ,就说函数 f(x)在点 x0 处连续; (2)若 f(x)与 g(x)都在点 x0 处连

续,则 f(x)±g(x),f(x)g(x),

f ( x) (g(x)≠0)也在点 x0 处连续; (3)若 u(x)在点 x0 g ( x)

处连续,且 f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u(x)]在点 x0 处也连续; 5.初等函数的连续性:①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函 数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所 得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算: 如果函数在点 x0 处有极限,那么 lim f ( x) ? f ( x0 ) ;
x ? x0

五.高考题回顾
一.数列的极限

3n ?1 ? 2 n 1. 计算: lim n =_________。 n ?? 3 ? 2 n ?1
2. ( 湖 南 卷 ) 已 知 数 列 {log2(an - 1)} ( n ∈ N ) 为 等 差 数 列 , 且 a1 = 3 , a2 = 5 , 则
lim n ??
*

(

1 1 1 )= ? ? ?? ? a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n
B.

A.2

3 2

C.1

D.

1 2

2 n?2 Cn ? 2Cn 3 3. (山东) lim ? _ _________ 2 n ?? (n ? 1) 2

二.函数的极限 4. (江西卷 若 lim
x ?1

f ( x ? 1) x ?1 ? 1, 则 lim ? x ? 1 x ?1 f (2 ? 2 x)
B.1 C.-

A.-1

1 2

D.

1 2

5. (辽宁卷)极限 lim f ( x ) 存在是函数 f ( x) 在点 x ? x0 处连续的
x ? x0

A.充分而不必要的条件 C.充要条件

B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

6. (全国卷Ⅲ) lim ? ?

1 1 ? ( ? 2 ?? x ?1 x ? 3x ? 2 x ? 4x ? 3 ? ?
2

)

A ?

1 2

B

1 2

C ?

1 6

D

1 6

a b ? ) ? 1 ,则常数 a , b 的值为 7. (湖北卷)若 lim( x ?1 1 ? x 1? x2
A. a ? ?2, b ? 4 B. a ? 2, b ? ?4 C. a ? ?2, b ? ?4 D. a ? 2, b ? 4

三、无穷递缩等比数列各项和:

8 ( 04

年 上 海 卷 .4 ) 设 等 比 数 列 {a n } (n ? N ) 的 公 比 q ? ? .

1 , 且 2

8 lim(a1 ? a3 ? a5 ? ? ? ? ? a 2n?1 ) ? ,则 a1 ? n?? 3

P1

P2

P3

P4

9.(04 年重庆 卷.理 15) 如图 P1 是一块半径 为 1 的半圆形

1 的半圆后得到图形 P2,然后依次剪去一个更小半圆 2 (其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得圆形 P3、P4、…..Pn…,记纸板 Pn 的面积为 Sn ,则 lim Sn ? ___ .
纸板,在 P1 的左下端剪去一个半径为
x ??

六.课本中习题归纳
一 数学归纳法及其应用 1(1) 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2n ? 1) = (2) 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2
2 n ?1

; ; ; (4) 1? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ?10 ? ??? ? n(3n ? 1) = ; (6) 12 ? 32 ? 52 ???? ? (2n ?1)2 = ; ; ;

=

(3) 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n =
2 2 2 2

(5) 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n =
3 3 3 3

(7)

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? = 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)

(8) 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 ? 5 ? ??? ? n(n ? 1)(n ? 2) = 2 下列说法不正确的是( n 为正整数) A, x
2n

.

? y 2 n 能被 x ? y 整除. B, x n ? y n 能被 x ? y 整除.
D, n ? (n ? 1) ? (n ? 2) 不一定能被 9 整除.
3 3 3

C, n ? 5n 能被 6 整除.
3

3 平面内有 n ( n ? 2 )条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,设交点的个数为

f ( n) .
(I)试求 f (2) , f (3) , f (4) 的值;(II)猜测 f ( n) 的值,并给予证明.

4 平面内有 n ( n ? 2 )个圆,其中每两个圆都相交两点,每三个圆都无公共点,设交点的个数 为 f ( n) . (I)试求 f (2) , f (3) , f (4) 的值;(II)猜测 f ( n) 的值,并给予证明.

二 极限及其运算 5(1) lim(7 ?
n ??

5 )= 10 n

;(2) lim

n ?1 = n ?? n

;(3) lim

(?1)n n = n ?? (n ? 1) 2

;

1 x (4) lim? ( ) = x ?? 2
(7) lim(
n ??

1 x ;(5) lim( ) = x?2 2
;(8) lim

x2 ? 1 ;(6) lim 2 = x ?1 2 x ? x ? 1
;(9) lim
x ?1

;

n2 ? 4 ? n) = n ?1
2

3n ? 2n = n ?? 3n ? 2n
n ??

x ?1 = x ?1
1 n

;

(10) lim? ( x ? 1 ? x) =
x ??

;(11) lim[n(1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? )] =

1 2

1 3

.

x? 0 ) ?x ?1 ( ? x( ? 0 ) , 则 lim f ( x) = 6 设 函 数 f ( x )? ? 0 x ? 0? ?x ?1 ( x? 0 ) ?
lim f ( x) =
x?0

;

x ? 0?

lim f ( x) =

;

.

7 已知 a ? 0 ,则 lim

1 = n ?? 1 ? a n

; lim

an = n ?? 1 ? a n

.

8 下列说法正确的是 A,若 f ( x) ?

1 ,则 lim f ( x ) ? 0 ; B 若 f ( x) ? x ?1 ,则 lim f ( x ) ? 0 ; x ?? x ?1 x

C 若 f ( x) ?

? x2 ? 2 x ? x ( x ? 0) ,则 lim f ( x) ? ?2 ;D,若 f ( x) ? ? ,则 lim f ( x) ? 0 . x?0 x ??2 x?2 ? ? x ? 1( x ? 0)

9 下列函数在 x ? 1 处没有极限的是

A, f ( x) ?

x3 ? x 2 x ?1

B, g ( x) ? 2 x3 ? 1

C, h( x) ? ?

?2 x( x ? 1) ?0( x ? 1)

D, v( x) ? ?

? x ? 1( x ? 1) ?? x ? 1( x ? 1)

1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n 时,甲,乙两位同学得到如下两种不同的解法: n2 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n (甲) 解: lim (乙) lim 2 n ?? n ?? n n2 1 n(n ? 1) 1 2 1 n = lim( 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ) = lim 2 n ?? n n ?? n n n n2 n ?1 1 =0+0+0+ ??? +0=0 = lim = n ?? 2 n 2
10 在求 lim
n ??

我认为

的解法是错误的,错因是

.

11 在半径为 R 的圆内接正 n 边形中, rn 是边心距, pn 是周长, Sn 是面积(n=3,4, ??? ). (I)试求 Sn 与 rn , pn 之间的关系;(II)求 lim S n .
n ??

12 从 ?BAC 的边上一点 B1 作 B1C1 ? AC 于 C1 ,从 C1 再作 C1B2 ? AB 于点 B2 ,从 B2 再 作 B2C2 ? AC 于点 C2 ,这样无限进行下去 ??? .已知 B1C1 =5, C1B2 =4. (I)试求 B2C2 的长; (II)求 lim( B1C1 ? C1 B2 ? ??? ? BnCn ) .
n ??

三 函数的连续性 13 如图 , 在 A,B,C,D 这四个图象所表示的函数中 , 在点 x ? a 处没有定义但极限存在的 是 ;在点 x ? a 处有定义,有极限,但不连续的是 . ; lim f ( x ) ? f ( a ) 的是
x?a

;

在点 x ? a 处没有极限的是

x2 ? x ? 6 14 要使函数 f ( x) ? 在点 x ? ?3 处连续,需添加的条件是 x?3
?sin x ? a( x ? 0) ? 2 15 设函数 f ( x) ? ? x ? 1(0 ? x ? 1) 在定义区间内连续,则 a ? b = ?b( x ? 1) ?

.

.


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com