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河北省涿鹿县涿鹿中学2016-2017年高二上学期第三次调研考试数学(理)试题Word版含答案.doc

河北省涿鹿县涿鹿中学2016-2017年高二上学期第三次调研考试数学(理)试题Word版含答案.doc

涿鹿中学 2016-2017 学年 第一学期高二第三次调研考试数学试题 高二数学试卷
考试时间:120 分钟;总分 150 分

第 I 卷(选择题 60 分)

一、单项选择题(60 分,每小题 5 分) 1、在区间【1,7】上任取一个数,这个数在区间【5,8】上的概率为( A 1/6 B 1/4 C 1/3 D1/2 )

2、已知椭圆 的方程为 ( A、

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的右焦点为 F(3,0) ,点(0,-3)在椭圆上,则椭圆 a2 b2
) B、

x2 y2 ? ?1 45 36 x2 y2 ? ?1 18 9

x2 y2 ? ? 1 错误!未找到引用源。 36 27

C、

x2 y2 ? ?1 27 18

D、

3、 某校有 40 个班, 每班 50 人, 每班派 3 人参加 “学代会” , 在这个问题中样本容量是 ( A.40 B.50 C.120 ) B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.150



4、已知 p:x>0,y>0,q:xy>0 ,则 p 是 q 的( A.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5、双曲线 3x2﹣y2=3 的离心率为 A.1 B.

2

C.

3

D.2 )

6、已知△ABC 的顶点 A(0,-4)、B(0,4),且 4(sinB-sinA)=3sinC,则顶点 C 的轨迹方程是(

x2 y2 A. =1(x>3) 9 7

x2 y2 B. =1(x<-7) 7 9

y2 x2 C. =1(y>3) 7 9

D.

y2 x2 =1(y<-3) 9 7

7、设 ?ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120 ? ,则以 A, B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率 为( A. )

1? 2 2

B.

1? 3 2

C. 1 ? 2

D. 1 ? 3 )

8、已知 ? ? R ,则“ a ? 2 ”是“ | x ? 2 | ? | x |? a 恒成立”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

9、执行如图所示的程序框图,则输出 s 的值为(

A.

25 24

B.

11 12

C.

5 6

D.

3 4

10. 若点 P 到点 F (2, 0) 的距离比它到直线 x ? 3 ? 0 的距离小 1,则点 P 的轨 迹方程是( A. y ? 2 x
2

) B. y ? 4 x
2

C. y ? 8x
2

D. x ? 8 y
2

11.一个容量 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表: 组别 频数

(0,10]
12

?10,20? ?20,30?
13 24 )

?30,40?
15

(40,50]
16

(50,60]
13

(60,70]
7

则样本数据落在 ?10,50?上的频率为( A.0.13 B.0.37 C.0.52

D.0.68

12. 将一枚骰子先后抛掷两次, 若第一次朝上一面的点数为 a , 第二次朝上一面的点数为 b ,
2 则函数 y ? ax ? 2bx ? 1 在 (??, ] 上为减函数的概率是

1 2



) D.

A.

1 4

B.

3 4

C.

1 6

5 6

第 II 卷(非选择题 90 分)

二、填空题(20 分,每小题 5 分) 13、若点 P(3,--4,5)在平面 xoy 内的射影为 M,则 OM 的长为

14、将二进制数 110 101(2)转为七进制数,结果为________. 15、 若数据 a1 , a2 , a3 , a5 , a6 这 6 个数据的平均数为 x , 方差为 0.20,则数据 a1 , a2 , a3 , a5 , a6 , x 这 7 个数据的方差是_________ 16、设 F1 、 F2 为双曲线 则 ?F1PF2 的面积为
? ?

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足 ?F1PF2 ? 60? , 16 9
.

三、解答题(70 分)
? 4) 的抛物 17、 (本小题满分 10 分)求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且经过点 P(?2,

线的标准方程.

18、 (本小题满分 12 分)如图所示,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A.

(1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

19、 (本小题满分 12 分)椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长为 2 、离心

率为

2 ,直线 l 与 y 轴交于点 P(0, m ) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP=3PB。 2

(1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围。

20、(本小题满分 12 分)如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB= ,AF=1,

M 是线段 EF 的中点.

(1)求证:AM∥平面 BDE; (2)求二面角 A-DF-B 的大小; (3)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 BC 所成的角是 60°.

21、 (本小题满分 12 分)设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0 (1)若 a,b 都是从集合{1,2,3,4}中任取的数字,求方程有实根的概率;

.

(2)若 a 是从区间[0,4]中任取的数字,b 是从区间[1,4]中任取的数字,求方程有实根的概 率.

22、(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 点 A(0,b), △AF1F2 为正三角形且周长为 6. (1)求椭圆 C 的标准方程及离心率;

x2 y 2 + =1(a>b>0),左、右两个焦点分别为 F1,F2,上顶 a2 b2

(2)O 为坐标原点,P 是直线 F1A 上的一个动点,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此时点 P 的坐标.

2016-2017 学年第一学期高二第三次调研考试数学答案 一、选择题 1、C 2、D 【解析】 c ? 3, b ? 3 ,故 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 18 ,所以方程是 3、C 【解析】 根据样本容量的定义可知, 某校有 40 个班, 每班 50 人, 每班派 3 人参加 “学代会” , 在这个问题中样本容量是 120,选 C 4.A 【解析】 试题分析:因为命题 P:x>0,y>0,那么对于两个正数 x,y 来说,他们的积必定为正数,因此 可知条件可以推出结论,但是当 xy>0 时,可能 x,y 都是负数,不一定推出条件,因此可知 结论不能推出条件,因此得到 p 是 q 的充分而不必要条件,选 A. 5.D 【解析】该双曲线的标准方程为 x ?
2

x2 y2 ? ?1 18 9

y2 ? 1 ,?a 2 ? 1, b2 ? 3 , 3
c ? 2。 a

? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 4 ,? a ? 1, c ? 2 , e ?
6.C

【解析】∵4(sinB-sinA)=3sinC,∴由正弦定理得 4|AC|-4|BC|=3|AB|, 即|CA|-|CB|=

3 ×8=6.∴C 点的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的上支. 4

7.B 【解析】由题意 2c ?| AB | ,所以 | AC |? 2 ? 2c ? sin 60? ? 2 3c ,由双曲线的定义,有

2a ?| AC | ? | BC |? 2( 3 ?1)c ,所以 a ? ( 3 ? 1)c ,∴ e ?
B. 8.C

c 1 3 ?1 ,故选 ? ? a 2 3 ?1

【解析】函数 y=|x-2|+|x|的值域为[2,+∞)则当 a<2 时,|x-2|+|x|>a 恒成立;反之若|x-2|+|x|

>a,则说明 a 小于函数 y=|x-2|+|x|的最小值 2 恒成立,即 a<2;故“a<2”是“|x-2|+|x|>a 恒成立”的充要条件, 9、 A 10.C 【解析】点 P 到点 F (2, 0) 的距离等于它到直线 x ? 2 ? 0 的距离,所以由抛物线的定义知:点

P 的轨迹是以点 F (2, 0) 为焦点,以直线 x ? 2 ? 0 为准线的抛物线,且 p ? 4 , 故点 P 的轨迹
方程为 y 2 ? 8x . 11.D 【解析】 (10,20]的频数是 13, (20,30]的频数是 24, (30,40]的频数是 15, (40,50]的 频数是 16,∴(10,50)上的频数是 13+24+15+16=68,∴样本数据落在(10,50)上的频 率为 68:100=0.68, 12.D
2 【解析】 由函数 y ? ax ? 2bx ? 1 在 (??, ] 上为减函数可得: 对称轴 x ? ?

1 2

? 2b b 1 ? ? , 2a a 2

即 a ? 2b . 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6

?1,1?
?2,1? ?3,1? ?4,1?

?1,2?

?1,3?

?1,4?

?1,5?

?1,6? ?2,6?

?2,2? ?2,3?

?2,4? ?2,5?

?3,2?

?3,3?

?3,4?

?3,5?

?3,6?
?4,6?

?4,2? ?4,3?

?4,4? ?4,5?

?5,1? ?6,1?

?5,2?
?6,2?

?5,3?

?5,4?

?5,5?

?5,6? ?6,6?

?6,3?

?6,4? ?6,5?

基本事件的个数为 36,而满足“ a ? 2b ”的基本事件有 ?1,1? , ?1,2? , ?1,3? …共有 30 个, 所以概率为 P ?

30 5 ? . 36 6

二、填空题

13、5√2

14、 104 (7)

15、

6 35
解 析 】 由 题 意 知



x?

?

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 6



0.20 ?

(a1 ? x)2 ? (a2 ? x)2 ? (a3 ? x)2 ? (a4 ? x)2 ? (a5 ? x)2 ? (a6 ? x)2 6

?

(a1 ? x)2 ? (a2 ? x)2 ? (a3 ? x)2 ? (a4 ? x)2 ? (a5 ? x)2 ? (a6 ? x)2 ? 1.20







a1 ,

a2 ,

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? x ? a3 ,, x 这 a57, 个数据的平均数为 a6 ? x ,故这 7 个数 7
?

据的方差为

(a1 ? x)2 ? (a2 ? x)2 ? (a3 ? x)2 ? (a4 ? x)2 ? (a5 ? x)2 ? (a6 ? x)2 ? (a6 ? x)2 1.2 6 ? ? 7 7 35

16. 9 3 【解析】
2 2 2 0 PF 1 ? m, PF 2 ? n(m ? n),?m ? n ? 2a ? 8,?(2c) ? m ? n ? 2mncos60 ,?mn ? 36



?F1PF2 的面积 S ?
三、简答题

1 mn sin 60 0 ? 9 3 . 2

17.抛物线方程为 y 2 ? ?8x 或 x 2 ? ? y 【解析】设方程为 y 2 ? ?2 p1 x( p1 ? 0) 或 x2 ? ?2 p2 y( p2 ? 0) ,
? 4) 代入得 p1 ? 4,p2 ? 将 P(?2,

1 . 2

故所求抛物线方程为 y 2 ? ?8x 或 x 2 ? ? y .

18.(1) b=-1 【解析】 解:(1)由 ?

(2) (x-2)2+(y-1)2=4

? y ? x ? b, ?x ? 4 y
2

得 x2-4x-4b=0.(*)

因为直线 l 与抛物线 C 相切,

所以Δ =(-4)2-4× (-4b)=0, 解得 b=-1. (2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)即为 x2-4x+4=0, 解得 x=2.将其代入 x2=4y,得 y=1.故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离, 即 r=|1-(-1)|=2, 所以圆 A 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 19.解: (I)设 C:

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 设 c ? 0, c 2 ? a 2 ? b 2 , 2 a b

由条件知 2b ?

2,

c 2 2 ? , …………3 分 ,∴ a ? 1, b ? c ? a 2 2
x2 ? 1. 1 2
…………5 分

故 C 的方程为: y ?
2

(II)设 l 与椭圆 C 交点为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) 由?

? y ? kx ? m 得 (k 2 ? 2) x 2 ? 2kmx? (m2 ?1) ? 0 2 2 ?2 x ? y ? 1

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

? ? (2km)2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ?1) ? 4(k 2 ? 2m2 ? 2) ? 0 (*)
x1 ? x2 ? ? 2km m2 ? 1 , x x ? 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2
…………8 分

∵ AP ? 3PB ∴ ? x1 ? 3x2

??? ?

??? ?

∴?

? x1 ? x2 ? ?2 x2 2 ? x1 x2 ? ?3x2
? 2km 2 m2 ?1 ) ? 4 ?0 k2 ? 2 k2 ? 2
…………10 分

消去 x 2 ,得 3( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 0 ,∴ ( 整理得 4k m ? 2m ? k ? 2 ? 0
2 2 2 2

m2 ?

2 ? 2m 2 1 1 2 时,上式不成立; m 2 ? 时, k ? , 4m 2 ? 1 4 4

由(*)式得 k ? 2m ? 2
2 2
2 因k ? 0 ∴k ?

1 1 2 ? 2m 2 ? 0 ,∴ ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 2 2 2 4m ? 1 1 2 1 2
????13 分

即所求 m 的取值范围为 ( ?1,? ) ? ( ,1)

20. (1)记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, ∵O、M 分别是 AC、EF 的中点,ACEF 是矩形, ∴四边形 AOEM 是平行四边形,∴AM∥OE ∵OE?平面 BDE,AM?平面 BDE,∴AM∥平面 BDE (2)在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF 于 S,连接 BS, ∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A,∴AB⊥平面 ADF, ∴AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影, 由三垂线定理得 BS⊥DF ∴∠BSA 是二面角 A﹣DF﹣B 的平面角 在 Rt△ASB 中,AS= ∴tan∠ASB= = ,AB= ,

,∠ASB=60° ,∴二面角 A﹣DF﹣B 的大小为 60° ; ) , ,0,0) ,

(3)如图设 P(t,t,0) (0≤t≤ 则 又∵ =( , ﹣t, ﹣t,1) ,

=(

夹角为 60° ,∴

解之得 t=

或 t=

(舍去) ,

故点 P 为 AC 的中点时满足题意.

21. (1)

5 3 (2) 8 8

【解析】 (1)设事件 A=“方程有实根” ,记 ( a, b) 为取到的一种组合,则所有的情况有: (1, 1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3, 3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) 分 一共 16 种且每种情况被取到的可能性相同, ∵关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根, ∴ ??3 分 ??2

? ? 4a2 ? 4b2 ? 0 ? a ? b,

??4 分

∴事件 A 包含的基本事件有: (1,1) , (2,1) , (2,2) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共 10 种, ??5 分 ??6 分

? P( A) ?

10 5 5 ? , ∴方程有实根的概率是 . 16 8 8

(2)设事件 B=“方程有实根” ,记 ( a, b) 为取到的一种组合, ∵ a 是从区间[0,4]中任取的数字, b 是从区间[1,4]中任取的数字, ∴点 ( a, b) 所在区域是长为 4,宽为 3 的矩形区域,如图所示: b 4 1 O1 4 a a= b= =

?? 9 分

又满足: a ? b 的点的区域是如图所示的阴影部分,

1 ? 3? 3 3 3 2 ∴ P( B) ? ? ,∴方程有实根的概率是 . 8 3? 4 8
22.(1)

?12 分

x2 y 2 + =1 4 3

e=

1 2

(2)

7

(?

2 3 , ) 3 3

【解析】

? a ? 2c , ? 解:(1)由题设得 ? a ? a ? 2c ? 6, 解得 a=2,b= 3 ,c=1. ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?
故 C 的方程为

1 x2 y 2 + =1,离心率 e= . 2 4 3

(2)直线 F1A 的方程为 y= 3 (x+1), 设点 O 关于直线 F1A 对称的点为 M(x0,y0),

? y0 3 ? x0 ? ? , ? x ? 3 ? ?1, ? 2 ? ? 0 则? ?? ? y0 ? 3 ? x0 ? 1? ? y ? 3 . 0 ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2
所以点 M 的坐标为(-

3 3 , ). 2 2

∵|PO|=|PM|,|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|≥|MF2|, |PF2|+|PO|的最小值为
2 ? ? 3 ? ? 3 |MF2|= ? ? ? 1? ? ? = ? 0 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2

7

.

3 ?0 3 2 直线 MF2 的方程为 y= (x-1),即 y=(x-1). 3 5 ? ?1 2
2 ? ? 3 x?? , ? ? x ? 1? , ? 3 ?y ? ? 由? ?? 5 ? y ? 3 ? x ? 1? ?y ? 3 . ? 0 ? 3 ?
所以此时点 P 的坐标为( ?

2 3 , ). 3 3


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