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辽宁省实验中学分校2015届高三上学期10月月考数学试卷(理科)

辽宁省实验中学分校2015届高三上学期10月月考数学试卷(理科)


辽宁省实验中学分校 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 要求的. 1. (5 分)图中的阴影表示的集合是()

A.(?UA)∩B

B.(?UB)∩B

C.?U(A∩B)

D.?U(A∪B)

2. (5 分)设集合 A={x| A.充分而不必要条件 C. 充要条件

<0},B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B”的() B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

3. (5 分)设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 +z =() A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1﹣i D.1+i 的最小值为() D.

4. (5 分)设 a>0,b>0 若 log2a 与 log2b 的等差中项为 2,则 A.8 B. C.

5. (5 分)不等式 A.{x| ≤x≤2}

的解集是() B.{x| ≤x<2}
2

C.{x|x>2 或 x≤ }

D.{x|x≥ }

6. (5 分)若 f(x)=x ﹣2x﹣4lnx,则 f′(x)>0 的解集为() A.(0,+∞) B.(﹣1,0)∪(2,+∞) (﹣1,0)
x

C. (2,+∞)

D.

7. (5 分)函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为 a,则 a 的值为() A. B. C. 2 D.4

8. (5 分)已知函数 A. B. C.

,则 f(2+log23)的值为() D.

9. (5 分)已知等差数列{an}的各项均为正数,观察如图所示的程序框图,当 k=5,k=10 时, 分别有 和 ,则数列{an}的通项公式为()

A.an=2n+1

B.an=2n+3

C.an=2n﹣1

D.an=2n﹣3

10. (5 分)命题:?x,y∈R,如果 xy=0,则 x=0.它的否命题为() A.?x,y∈R,如果 xy≠0,则 x≠0 B. ?x,y∈R,如果 xy=0,则 x≠0 C. ?x,y∈R,如果 xy≠0,则 x≠0 D.?x,y∈R,如果 xy=0,则 x≠0 11. (5 分)函数 f(x)的定义域为{x|x≠0},f(x)>0.满足 f(x?y)=f(x)?f(y) ,且在 区间(0,+∞)上单调递增,若实数 a 满足 f(log2a)+f(log 是() A.[1,2] 2] 12. (5 分)设函数 f(x)= A.[1,2] B. [ ] =x(a∈R)在[﹣1,1]上有解,则 a 的取值范围是() C.[1,3] D.[ ] B.(0, ] C. [ ﹚∪(1,2] D. (0,1)∪(1, a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 13. (5 分)若集合 A={a1,a2,a3,a4},集合 B={b1,b2,b3,b4,b5},则从 A 到 B 的子集 建立的映射中,构成一一映射的概率是.

14. (5 分)函数 f(x)=

在区间(﹣2,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是.
x

15. (5 分)函数 f(x)=2 |

|﹣1 的零点个数为.

16. (5 分)已知函数 f(x)=4+ln(

﹣3x) ,如果 f(lglog310)=5,则 f(lglg3)=.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣(2+4m)x+8m=0},B={x|x<0},若命题“A∩B=?”是假命题, 求实数 m 的取值范围. 18. (12 分)设函数 f(x)=x +ax ﹣9x﹣1(a<0) .若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直 线 12x+y=6 平行,求: (Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的单调区间. 19. (12 分)中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个 档次: “酒后驾车”和“醉酒驾车”, 其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q (简称血酒含量, 单位是毫克/100 毫升) ,当 20≤Q≤80 时,为酒后驾车;当 Q>80 时,为醉酒驾车.济南市公安 局交通管理部门于 2011 年 2 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次拦查行动, 共依法 查出了 60 名饮酒后违法驾驶机动车者,如图,为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画出的 频率分布直方图(其中 Q≥140 的人数计入 120≤Q<140 人数之内) . (1)求此次拦查中醉酒驾车的人数; (2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究, 再从抽取的 8 人中任取 3 人,求 3 人中含有醉酒驾车人数 x 的分布列和期望.
3 2 2

20. (12 分)已知函数 f(x)满足 f(t+2)=f(t﹣2) ,当﹣1<x≤1 时,f(x)=m >0) ,当 1<x≤3 时,f(x)=1﹣|x﹣2|. (1)当 m=2 时,画出函数 y=f(x)在[﹣1,9]区间上的图象; (2)若方程 3f(x)=x 恰有 5 个实数解,求 m 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)=a ﹣x (a>1) (1)求证: ≥f′( ) ;
x

(m

(2)求函数 f(x)的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围; (3)令 S(n)=C ( ) . f′(1)+C f′(2)+…+C f′(n﹣1) ,求证:S(n)≥(2 ﹣2)f′
n

请考生在第 22、23、24 三题中任选,一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (10 分)如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,OB⊥OP,AB 交 PO 与点 C. (Ⅰ)求证:PA=PC; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 3,|OP|=5,求 BC 的长.

23. (10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2sinθ,设直线 l 的参数方程是

(t 为

参数) . (1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 为曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值. 24. (10 分)选修 4﹣5;不等式选讲 已知 f(x)=x|x﹣a|﹣2 (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)<|x﹣2|; (2)当 x∈(0,1]时,f(x)< x ﹣1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

辽宁省实验中学分校 2015 届高三上学期 10 月月考数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 要求的. 1. (5 分)图中的阴影表示的集合是()

A.(?UA)∩B 考点: 专题: 分析: 解答:

B.(?UB)∩B

C.?U(A∩B)

D.?U(A∪B)

Venn 图表达集合的关系及运算. 规律型. 根据阴影部分集合元素的特点确定集合的关系. 解:由图象可知,阴影部分的元素是由属于集合 B,但不属于集合 A 的元素构成,

则对应的集合为(?UA)∩B. 故选:A. 点评: 本题主要考查集合关系的判断, 利用 Venn 图是解决此类问题的基本方法, 比较基础. 2. (5 分)设集合 A={x| A.充分而不必要条件 C. 充要条件 <0},B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B”的() B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;集合的包含关系判断及应用. 分析: 由分式不等式的解法, 充分条件的关系,可得答案. 解答: 解:由 得 0<x<1,即 A={x|0<x<1}, ?0<x<1,分析有 A?B,由集合间的包含关系与

分析可得 A?B, 即可知“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件, 故选 A. 点评: 本日考查集合间的包含关系与充分、必要条件的关系,如果 A 是 B 的子集,则 x∈A 是 x∈B 的充分条件,x∈B 是 x∈A 的必要条件.

3. (5 分)设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 +z =() A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1﹣i D.1+i

2

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把复数 z 代入表达式化简整理即可. 解答: 解:对于 ,

故选 D. 点评: 本小题主要考查了复数的运算和复数的概念,以复数的运算为载体,直接考查了对 于复数概念和性质的理解程度.

4. (5 分)设 a>0,b>0 若 log2a 与 log2b 的等差中项为 2,则 A.8 B. C.

的最小值为() D.

考点: 基本不等式;等差数列的性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由等差数列和对数的运算易得 ab=16,由基本不等式可得所求. 解答: 解:∵a>0,b>0,且 log2a 与 log2b 的等差中项为 2, ∴log2a+log2b=4,∴ab=16, ∴ ≥2 =2 =

故选:B 点评: 本题考查基本不等式,涉及等差数列和对数的运算,属基础题.

5. (5 分)不等式 A.{x| ≤x≤2}

的解集是() B.{x| ≤x<2} C.{x|x>2 或 x≤ } D.{x|x≥ }

考点: 一元二次不等式的应用. 专题: 计算题. 分析: 把原不等式的右边移项到左边,通分计算后,然后转化为两个一元一次不等式组, 求出不等式组的解集即为原不等式的解集. 解答: 解:不等式 ,

移项得:

,即

≤0,

可化为:



解得: ≤x<2, 则原不等式的解集为: ≤x<2 故选 B. 点评: 此题考查了其他不等式的解法,考查了转化及分类讨论的数学思想,是 2015 届高考 中常考的题型. 学生进行不等式变形, 在不等式两边同时除以﹣1 时, 注意不等号方向要改变. 6. (5 分)若 f(x)=x ﹣2x﹣4lnx,则 f′(x)>0 的解集为() A.(0,+∞) B.(﹣1,0)∪(2,+∞) (﹣1,0)
2

C. (2,+∞)

D.

考点: 导数的加法与减法法则;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 由题意,可先求出函数的定义域及函数的导数,再解出不等式 f′(x)>0 的解集与 函数的定义域取交集,即可选出正确选项. 解答: 解:由题,f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=2x﹣2﹣ , 令 2x﹣2﹣ >0,整理得 x ﹣x﹣2>0,解得 x>2 或 x<﹣1, 结合函数的定义域知,f′(x)>0 的解集为(2,+∞) . 故选:C. 点评: 本题考查导数的加法与减法法则,一元二次不等式的解法,计算题,基本题型,属 于基础题. 7. (5 分)函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为 a,则 a 的值为() A. B. C. 2 D.4
x 2

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: f(x)在[0,1]上,当 a>1 时是增函数;当 0<a<1 时是减函数;由单调性分析可得 f(0)+f(1)=a,即可解得 a= . 解答: 解:f(x)是[0,1]上的增函数或减函数, 故 f(0)+f(1)=a,即 1+a+loga2=a?loga2=﹣1, ∴2=a ?a= . 故选 B 点评: 可分类讨论做.因为单调性不变,也可合二为一做.
﹣1

8. (5 分)已知函数 A. B. C.

,则 f(2+log23)的值为() D.

考点: 函数的值;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题. 分析: 先判断出 2+log23<4, 代入 ( f x+1) =f (3+log23) , 又因 3+log23>4 代入 ( f x) = 利用指数幂的运算性质求解. 解答: 解:∵1<log23<2,∴3<2+log23<4, ∴f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23) , ∵4<3+log23<5,∴f(3+log23)= = × = , ,

故选 A. 点评: 本题的考点是分段函数求函数值,先判断自变量的范围,再代入对应的关系式,根 据指数幂的运算性质进行化简求值. 9. (5 分)已知等差数列{an}的各项均为正数,观察如图所示的程序框图,当 k=5,k=10 时, 分别有 和 ,则数列{an}的通项公式为()

A.an=2n+1

B.an=2n+3

C.an=2n﹣1

D.an=2n﹣3

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图.

分析: 由程序框图可知其功能为计算输出 S=

,由于{an}是等差

数列,其公差为 d,则有 求其通项公式.

= (



) ,k=5 时,S=

;k=10 时,S=

,从而可

解答: 解:由程序框图可知,S=



∵{an}是等差数列,其公差为 d,则有

= (



) ,

∴S= ( = ( ﹣



+ ) ,



+ …+





由题意可知,k=5 时,S=

;k=10 时,S=





;解得



(舍去) ,

故 an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1. (n∈N ) 故选:C. 点评: 本题主要考察程序框图和算法以及等差数列通项公式的求法,属于中档题. 10. (5 分)命题:?x,y∈R,如果 xy=0,则 x=0.它的否命题为() A.?x,y∈R,如果 xy≠0,则 x≠0 B. ?x,y∈R,如果 xy=0,则 x≠0 C. ?x,y∈R,如果 xy≠0,则 x≠0 D.?x,y∈R,如果 xy=0,则 x≠0 考点: 四种命题. 专题: 常规题型;简易逻辑. 分析: 若 p,则 q 的否命题为:若¬p,则¬q. 解答: 解:由?x,y∈R,如果 xy=0,则 x=0, 则其否命题为:?x,y∈R,如果 xy≠0,则 x≠0. 故选 C. 点评: 本题考查了命题的否命题的写法,注意不是命题的否定,属于基础题. 11. (5 分)函数 f(x)的定义域为{x|x≠0},f(x)>0.满足 f(x?y)=f(x)?f(y) ,且在 区间(0,+∞)上单调递增,若实数 a 满足 f(log2a)+f(log 是() a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围

*

A.[1,2] 2]

B.(0, ]

C. [

﹚∪(1,2]

D. (0,1)∪(1,

考点: 抽象函数及其应用;对数的运算性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由条件令 x=y=1 可得 f(1)=1.令 x=y=﹣1,则 f(﹣1)=1.令 y=﹣1,则 f(﹣x) =f(x)f(﹣1)=f(x) ,即有 f(x)为偶函数,原不等式即为 2f(log2a)≤2f(1) ,则 f(|log2a|) ≤f(1) ,由于 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则|log2a|≤1,且 log2a≠0,解出即可. 解答: 解:由于 f(x?y)=f(x)?f(y) ,f(x)>0, 则令 x=y=1 可得 f(1)=f2(1) ,即有 f(1)=1. 令 x=y=﹣1,则 f(1)=f2(﹣1)=1,则 f(﹣1)=1. 令 y=﹣1,则 f(﹣x)=f(x)f(﹣1)=f(x) ,即有 f(x)为偶函数, 由 f(log2a)+f(log a)≤2f(1) ,即为 f(log2a)+f(﹣log2a)≤2f(1) ,

即 2f(log2a)≤2f(1) , 则 f(|log2a|)≤f(1) , 由于 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增, 则|log2a|≤1,且 log2a≠0 解得 ≤a<1 或 1<a≤2. 故选 C. 点评: 本题考查抽象函数及应用,考查函数的奇偶性、单调性及运用,考查对数的运算, 及解对数不等式的能力,属于中档题和易错题. =x(a∈R)在[﹣1,1]上有解,则 a 的取值范围是() ] C.[1,3] D.[ ]

12. (5 分)设函数 f(x)= A.[1,2] B. [

考点: 导数的运算. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 可 a 的取值范围. 解答: 解:∵
x 2

=x(a∈R)在[﹣1,1]有解,可得 2 =x ﹣x+a 在[0,1]有解,分类讨论即

x

2

=x(a∈R)在[﹣1,1]有解,

∴2 =x ﹣x+a 在[0,1]有解, a<1,则 2<1﹣1+a,∴a>2,不成立; a≥1,则 2≥1﹣1+a,∴1≤a≤2, 故选:A. 点评: 本题考查方程在区间上有解,求 a 的取值范围,考查学生的计算能力,比较基础. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分.

13. (5 分)若集合 A={a1,a2,a3,a4},集合 B={b1,b2,b3,b4,b5},则从 A 到 B 的子集 建立的映射中,构成一一映射的概率是 .

考点: 古典概型及其概率计算公式;映射. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由题意,从 A 到 B 的子集建立的映射,等价于从 A 到 B 建立的映射,有 5 个,构 成一一映射,有 个,即可得出结论.
4 4

解答: 解:由题意,从 A 到 B 的子集建立的映射,等价于从 A 到 B 建立的映射,有 5 个, 构成一一映射,有 个,

∴从 A 到 B 的子集建立的映射中,构成一一映射的概率是 故答案为: .

=



点评: 本题考查古典概型及其概率计算公式,考查学生的计算能力,确定从 A 到 B 的子集 建立的映射,等价于从 A 到 B 建立的映射是关键. 14. (5 分)函数 f(x)= 在区间(﹣2,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是(3,+∞) .

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 求 f′(x)= ,根据 f(x)在(﹣2,+∞)上是增函数,便得到 ,

解该不等式组即得 a 的取值范围. 解答: 解:f′(x)= ;



,且 x+a>0 在(﹣2,+∞)恒成立;

,解得 a>3; ∴a 的取值范围是(3,+∞) . 故答案为: (3,+∞) . 点评: 考查函数单调性和函数导数符号的关系,并且由 f(x)在(﹣2,+∞)上是增函数, 便得到 x+a>0 在(﹣2,+∞)上恒成立.

15. (5 分)函数 f(x)=2 |

x

|﹣1 的零点个数为 2.

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)=0 得| 解答: 解:∵f(x)=2 | ∴由 f(x)=0 得|
﹣x

|=2 ,作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论.
x

﹣x

|﹣1, |,y=2
﹣x

|=2 ,作出 y=|

的图象,

由图象可知两个图象的交点个数为 2 个, 故答案为:2

点评: 本题主要考查根的个数的判断,利用数形结合是解决本题的关键.

16. (5 分)已知函数 f(x)=4+ln(

﹣3x) ,如果 f(lglog310)=5,则 f(lglg3)=3.

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 判定出函数 f(x)﹣4 为奇函数,根据换底公式得出 f(lglog310)=f(lg f(﹣lglg3)﹣4=﹣[f(lglg3)﹣4],求出值. 解答: 解:∵f(x)=4+ln( ∴f(x)﹣4=ln( ∵f(﹣x)﹣4=ln( ∴f(x)﹣4 为奇函数, ∵f(lglog310)=5, ∴f(lg )=5, ﹣3x) , +3x)= ln( ﹣3x) , ﹣3x) , ) ,得到

∴f(﹣lglg3)=5

∴f(﹣lglg3)﹣4=1, ∵f(x)﹣4 为奇函数, ∴f(﹣lglg3)﹣4=﹣[f(lglg3)﹣4] ∴1=﹣[f(lglg3)﹣4] ∴f(lglg3)=3 故答案为 3. 点评: 本题主要考查对数的运算性质,函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,仔 细解答,属于基础题. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 17. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣(2+4m)x+8m=0},B={x|x<0},若命题“A∩B=?”是假命题, 求实数 m 的取值范围. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 2 分析: 由命题“A∩B=?”是假命题,得到 A∩B≠?,即方程 x ﹣(2+4m)x+8m=0 至少有一个 负根,然后分方程的两个根均为负值,和一正一负分类求解实数 m 的取值范围. 解答: 解:∵A∩B=?是假命题, ∴A∩B≠?. ∵B={x|x<0}, 方程 x ﹣(2+4m)x+8m=0 的判别式△ =(2+4m) ﹣32m=4(2m﹣1) ≥0, 2 若方程 x ﹣(2+4m)x+8m=0 的两根 x1,x2 均非负,则有 ,解得 m∈?; 若方程 x ﹣(2+4m)x+8m=0 的两根 x1,x2 一正一负, 则 f(0)=8m<0,即 m<0. 综上,实数 m 的取值范围是{m|m<0}. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法, 考查了一元二次方程的根与系数的关系,是基础题. 18. (12 分)设函数 f(x)=x +ax ﹣9x﹣1(a<0) .若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直 线 12x+y=6 平行,求: (Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的单调区间. 考点: 导数的运算;利用导数研究函数的单调性;两条直线平行的判定. 专题: 计算题. 分析: (1)先求出导函数的最小值,最小值与直线 12x+y=6 的斜率相等建立等式关系,求 出 a 的值即可; (2)先求导数 fˊ(x) ,在函数的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 和 fˊ(x)<0,解得的区间就 是所求. 3 2 解答: 解: (Ⅰ)因 f(x)=x +ax ﹣9x﹣1
3 2 2 2 2 2

所以 f'(x)=3x +2ax﹣9= 即当 x= 时,f'(x)取得最小值 .

2



因斜率最小的切线与 12x+y=6 平行,即该切线的斜率为﹣12, 所以 .

解得 a=±3,由题设 a<0,所以 a=﹣3. 3 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a=﹣3,因此 f(x)=x ﹣3x ﹣9x﹣1,f'(x)=3x ﹣6x﹣9=3(x﹣3) (x+1) , 令 f'(x)=0,解得:x1=﹣1,x2=3. 当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f'(x)>0,故 f(x)在(﹣∞,﹣1)上为增函数; 当 x∈(﹣1,3)时,f'(x)<0,故 f(x)在(﹣1,3)上为减函数; 当 x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,故 f(x)在(3,+∞)上为增函数. 由此可见,函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1)和(3,+∞) ; 单调递减区间为(﹣1,3) . 点评: 本小题主要考查导数的几何意义,及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式 的解法等基础知识,属于基础题. 19. (12 分)中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个 档次: “酒后驾车”和“醉酒驾车”, 其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q (简称血酒含量, 单位是毫克/100 毫升) ,当 20≤Q≤80 时,为酒后驾车;当 Q>80 时,为醉酒驾车.济南市公安 局交通管理部门于 2011 年 2 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次拦查行动, 共依法 查出了 60 名饮酒后违法驾驶机动车者,如图,为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画出的 频率分布直方图(其中 Q≥140 的人数计入 120≤Q<140 人数之内) . (1)求此次拦查中醉酒驾车的人数; (2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究, 再从抽取的 8 人中任取 3 人,求 3 人中含有醉酒驾车人数 x 的分布列和期望.

考点: 频率分布直方图;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 应用题;综合题. 分析: (1)求出 Q>80 时对应的三个矩形的纵坐标和乘以组距求出醉酒驾车的频率;再用 频率乘以 60 求出醉酒驾车的人数. (2)利用分层抽样的特点求出 8 人中酒后驾车和醉酒驾车的人数;利用古典概型的概率公式 求出随机变量取每一个值的概率;列出分布列,利用随机变量的期望公式求出期望. 解答: 解: (1) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25, 0.25×60=15,

所以此次拦查中醉酒驾车的人数为 15 人. (2)易知利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人;所以 x 的所有可能取值为 0,1, 2; P(x=0)= = ,P(X=1)= = ,P(x=2)= =

X 的分布列为 X 0 P

1

2

. 点评: 本题考查频率分布直方图中分布在某范围内的频率等于纵坐标乘以组距、考查频率 等于频数除以样本容量、考查分布列的求法及随机变量的期望公式. 20. (12 分)已知函数 f(x)满足 f(t+2)=f(t﹣2) ,当﹣1<x≤1 时,f(x)=m >0) ,当 1<x≤3 时,f(x)=1﹣|x﹣2|. (1)当 m=2 时,画出函数 y=f(x)在[﹣1,9]区间上的图象; (2)若方程 3f(x)=x 恰有 5 个实数解,求 m 的取值范围. 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由已知周期为 4,当 x∈(﹣1,1]时,将函数化为方程 x + 上为一个半椭圆,由此根据周期性能作出函数其它部分的图象. (2)由图知直线 y= 与第二个椭圆(x﹣4) +
2 2

(m

=1(y≥0) ,实质

=1(y≥0)相交,而与第三个半椭圆(x﹣4)

2

+

=1(y≥0)无公共点时,方程恰有 5 个实数解,由此能求出 m 的范围.

解答: 解: (1)∵函数 f(x)满足 f(t+2)=f(t﹣2) , ∴由已知周期为 4. 因为当 x∈(﹣1,1]时,将函数化为方程 x +
2

=1(y≥0) ,

实质上为一个半椭圆,其图象如图所示, 同时在坐标系中作出当 x∈(1,3]得图象,再根据周期性作出函数其它部分的图象, 由此得到函数 y=f(x)在[﹣1,9]区间上的图象. (2)由图知直线 y= 与第二个椭圆(x﹣4) +
2

=1(y≥0)相交,

而与第三个半椭圆(x﹣4) +

2

=1(y≥0)无公共点时,

方程恰有 5 个实数解,将 y= 代入(x﹣4) + (9m +1)x ﹣72m x+135m =0, 2 2 令 t=9m (t>0) ,则(t+1)x ﹣8tx+15t=0,
2 2 2 2

2

=1(y≥0)得

由△ =(8t) ﹣4×15t(t+1)>0,得 t>15,由 9m >15,且 m>0 得 m
2

2

2



同样由 y= 与第二个椭圆(x﹣8) + 由△ <0,解得 m< 综上知 m∈( , . ) .

=1(y≥0) ,

点评: 本题考查函数图象的作法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意 椭圆性质的合理运用. 21. (12 分)已知函数 f(x)=a ﹣x (a>1) (1)求证: ≥f′( ) ;
x

(2)求函数 f(x)的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围; (3)令 S(n)=C ( ) . f′(1)+C f′(2)+…+C f′(n﹣1) ,求证:S(n)≥(2 ﹣2)f′
n

考点: 二项式定理的应用;指数函数综合题. 专题: 综合题;函数的性质及应用;二项式定理. x x1 x2 分析: (1)f′(x)=a lna﹣1,则 f′(x1)+f′(x2)=(a +a )lna﹣2,利用基本不等式及 指数函数的性质即可证得结论成立; (2)利用导数法可判断 f′(x)在(﹣∞,lna)上递减,在(﹣logalna,+∞)上递增,从而 可得 f(x)min=f(﹣logalna)= ,由 f(x)min<0,可得 a 的取值范围为(1, ) ;

(3)S(n)=C

(alna﹣1)+C

(a lna﹣1)+…+C

2

(a

n﹣1

lna﹣1) ,利用分组求和法

及组合数的性质,即可证得结论成立. 解答: (1)证明:f′(x)=a lna﹣1,则 f′(x1)+f′(x2)=(a +a )lna﹣2≥2
x x1 x2

lna

﹣2=2(

lna﹣1)=2f′(

) ,

所以,
x

≥f′(
x

) ; ,又 a>1,∴x>﹣logalna,

(2)解:由 f′(x)>0,即 a lna>1,∴a >

同理:f′(x)<0,有 x<﹣logalna, 所以 f′(x)在(﹣∞,lna)上递减,在(﹣logalna,+∞)上递增; f(x)min=f(﹣logalna)= 若 f(x)min<0,即 ∴a 的取值范围为(1, (3)证明:S(n)=C =(C a+C a +…+C
2

, <0,则 lnlna<﹣1,∴lna< , ) ;

(alna﹣1)+C a
n﹣1

(a lna﹣1)+…+C +C +…+C )

2

(a

n﹣1

lna﹣1)

)lna﹣(C

= [C

(a+a

n﹣1

)+C

(a +a

2

n﹣2

)+…+C

(a

n﹣1

+a)]lna﹣(2 ﹣2)≥

n

(2 ﹣2)lna

n

﹣(2 ﹣2)=(2 ﹣2) (

n

n

lna﹣1)=(2 ﹣2)f′( ) .

n

所以不等式成立. 点评: 本题考查指数函数性质的综合选应用,考查导数法研究函数的单调性与极值与最值, 考查基本不等式与二项式定理的综合应用,属于难题. 请考生在第 22、23、24 三题中任选,一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (10 分)如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,OB⊥OP,AB 交 PO 与点 C. (Ⅰ)求证:PA=PC; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 3,|OP|=5,求 BC 的长.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何. 分析: (1)由于 PA 与圆 O 相切于点 A,可得 OA⊥AP,于是∠OAC+∠PAC=90°.由于 OB⊥OP, 可得∠OCB+∠B=90°. 利用 OA=OB, 可得∠OAC=∠OBC. 可得∠PAC=∠OCB. 利 用对顶角相等可得∠OCB=∠PCA,进而得到∠PAC=∠PCA,即可证明 PA=PC. (2)在 Rt△ OAP 中,利用勾股定理可得
2 2

,即可得出 PC=4.进
2

而得到 OC=OP﹣CP.在 Rt△ OBC 中,利用勾股定理可得 BC =OB +OC 即可. 解答: (1)证明:∵PA 与圆 O 相切于点 A, ∴OA⊥AP,∴∠OAC+∠PAC=90°. ∵OB⊥OP,∴∠OCB+∠B=90°. ∵OA=OB,∴∠OAC=∠OBC. ∴∠PAC=∠OCB, 又∵∠OCB=∠PCA, ∴∠PAC=∠PCA, ∴PA=PC. (2)解:在 Rt△ OAP 中, =4.

∴PC=4. ∴OC=OP﹣CP=1. 2 2 2 2 2 在 Rt△ OBC 中,BC =OB +OC =3 +1 =10. ∴ . 点评: 本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、圆的性质、对顶角相等的性质、等角对等 边的性质等基础知识,属于基础题.

23. (10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2sinθ,设直线 l 的参数方程是

(t 为

参数) . (1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 为曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值. 考点: 直线和圆的方程的应用;点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程. 专题: 转化思想.

分析: (1)极坐标直接化为直角坐标,可求结果. (2)直线的参数方程化为直角坐标方程,求出 M,转化为两点的距离来求最值. 解答: 解: (1)曲 C 的极坐标方程可化为:ρ =2ρsinθ, 2 2 2 又 x +y =ρ ,x=ρcosθ,y=ρsinθ. 2 2 所以,曲 C 的直角坐标方程为:x +y ﹣2y=0. (2)将直线 L 的参数方程化为直角坐标方程得: 令 y=0 得 x=2 即 M 点的坐标为(2,0) 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(0,1) 半径 ,∴ . 点评: 本题考查极坐标和直角坐标的互化,直线的参数方程化为直角坐标方程,转化的数 学思想的应用,是中档题. 24. (10 分)选修 4﹣5;不等式选讲 已知 f(x)=x|x﹣a|﹣2 (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)<|x﹣2|; (2)当 x∈(0,1]时,f(x)< x ﹣1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2 2



考点: 绝对值不等式. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 分析: (1)利用 a=1,化简不等式,通过 x≥2,1≤x<2,x<1 分别去掉绝对值符号,然后 求解不等式即可. (2)当 x∈(0,1]时,f(x)< x ﹣1 恒成立,转化为 a 的表达式,通过函数的单调性以及 基本不等式求出表达式的最值,得到 a 的范围. 解答: 解: (1)a=1,f(x)<|x﹣2|,x|x﹣1|﹣2<|x﹣2|. ①当 x≥2 时,上式化为 x(x﹣1)﹣2<x﹣2,又 x≥2,∴x∈?; ②当 1≤x<2 时,由 x|x﹣1|﹣2<|x﹣2|.可得 x(x﹣1)﹣2<2﹣x,解得﹣2<x<2 又 1≤x< 2 ∴1≤x<2. ③当 x<1 时,x|x﹣1|﹣2<|x﹣2|.可得 x(1﹣x)﹣2<2﹣x,解得 x<1, 综上不等式的解集为:{x|x<2}. (2)当 x∈(0,1]时,f(x)< 即 而 g(x)= h(x)= 故a ≥2 即 x|x﹣a|﹣2< 恒成立,
2

在 x∈(0,1]上恒成立. ,在(0,1]上为增函数,所以 g(x)max=g(1)=﹣ . . = .当且仅当 . ,即 x= 时取等号.

点评: 本题考查绝对值不等式,函数的恒成立问题的应用,函数的单调性,分类讨论思想.


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