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高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念讲义3 新人教A版必修4_图文

高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念讲义3 新人教A版必修4_图文

章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念

1.向量的概念和表示方法 (1)向量的两个要素:_____和_____. (2)向量的表示
大小

方向

大小 方向

2.向量的长度(或称模)与特殊向量
(1)向量的长度定义:向量的_大_小___.
(2)向量的长度表示:向量A B,a的长度分别记作:__A _B __, ___|_a|.
(3)特殊向量
长度为0
①________的向量为零向量;
长度等于1个单位
②________________的向量为单位向量.

3.向量的关系 (1)相等向量:长度_____且方向_____的向量,用有向线段表示 的向量a与b相等,记作:a=b. (2)平行向量:方向_______相__等__的非零向量相,也同叫_________;a 平行于b,记作_____;规定零向量与任一向量_____.

相同或相反 a∥b

共线向量 平行

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量就是数量. ( )
(2)向量 A B 与向量 B A 是相等向量. ( )
(3)两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行. ()

【解析】(1)错误.向量有两个要素:大小和方向,而数量只有大 小,没有方向,故两者不同.

(2)错误.向量 A B 与向量

方向B A相反,不是相等向量.

(3)错误.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线平 行或重合. 答案:(1)× (2)× (3)×

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)有向线段有三个要素:起点、方向和

.

(2)对于风速,浮力,位移和质量这四个量中,不是向量的是

.

(3)零向量的方向是

;零向量的模等于

.

【解析】(1)有向线段有三个要素:起点、方向和长度. 答案:长度 (2)风速,浮力,位移既有大小,又有方向,是向量,而质量只有大小,没有方向,不是向 量. 答案:质量 (3)零向量的方向是任意的;零向量的模等于0. 答案:任意的 0

知识点1 向量的概念 1.向量与数量的区别和联系

【要点探究】

向量

数量

方向





区 别

表示方 法

可以用有向线段 表示,也可以用 字母符号表示

因为实数与数轴上的点一 一对应,所以数量常常用数 轴上的一个点表示

实例

位移、力、速度、年龄、身高、长度、面积、

加速度

体积、质量、功

联系

向量

数量

(1)向量与数量都是有大小的量 (2)向量的模是数量

2.向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大小和方向相同,这两个向量 就是相等的向量. (2)有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管 大小和方向相同,也是不同的有向线段.

【微思考】
(1)有向线段就是向量,向量就是有向线段吗? 提示:有向线段只是一个几何图形,是向量的直观表示.因此,有向线段与向量是完 全不同的两个概念. (2)两个向量能比较大小吗? 提示:向量有方向、大小双重性,而方向是不能比较大小的,因此向量不能比较大 小.

【即时练】
1.下列说法正确的是 ( ) A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.任意两个单位向量方向相同 D.同向的两个向量可以比较大小.

2.下列说法:(1)温度有零上温度,有零下温度,所以温度是向量.(2)作用力和反作用

力是一对大小相等,方向相反的向量.

(3)电流是既有大小又有方向的量,因此是向量.其中正确的序号是

.

【解析】1.选B.零向量的长度为0,方向是任意的,故A错误,B正确.任意两个单位 向量长度相等,但方向不一定相同.故C错误.向量不能比较大小,故D错误. 2.(1)中虽然温度有零上和零下之分,但不是方向,故温度不是向量,(1)不正确.(2) 中作用力和反作用力是作用于同一点,且大小相等,方向相反的两个力,而力是向 量,故(2)正确.(3)中电流虽然是既有大小又有方向的量,但大小和方向不是几何意 义上的大小与方向,故(3)不正确. 答案:(2)

知识点2 向量间的关系 1.平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,若向量a,b平行,则记作a∥b.规定零向 量与任一向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.

2.相等向量 任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起 点无关.在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量,因为向 量完全由它的方向和模确定. 3.共线向量 由于向量与起点无关,因此向量是自由移动的,也就是说,任何一组平行向量都可 以移动到同一直线上,因此平行向量也称为共线向量.

【微思考】
两个向量的长度相等,那么这两个向量就是相等向量吗? 提示:不一定,两个向量的长度相等,方向相同时,才是相等向量.

【即时练】
下列说法正确的是 ( ) A.共线向量是相等向量 B.相等向量是共线向量 C.相等向量的起点和终点分别相同 D.若平行向量有相同的起点,则它们有相同的终点

【解析】选B.共线向量是指方向相同或相反的向量,与向量的长度无关,相等向量 是指长度相等且方向相同的向量,故A错误,B正确;由于向量是可以自由移动的,因 此相等向量的起点和终点不一定分别相同,故C错误.若两个有相同起点的平行向 量方向相同且长度不等或方向相反,则它们的终点不同,故D错误.

【题型示范】
类型一 相等向量和共线向量
【典例1】 (1)给出下列说法 ①若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b. ②若a∥b,则a=b. ③若a=b,则a∥b.

④若a=b,则|a|=|b|.

⑤若a≠b,则a与b不是共线向量,

其中正确说法的序号是

.

(2)(2014·南阳高一检测)如图,D,E,F分别是△ABC各边上的中点,四边形BCMF是平 行四边形,请分别写出:
①与 C M 模相等且共线的向量;
②与 E D 相等的向量.

【解题探究】1.题(1)中的相等向量与共线向量有怎样的关系? 两向量能否比较大小?

2.题(2)中如何找出与 C M 共线,及与

相等的E D向量.

【探究提示】1.相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定 是相等向量;两个向量不能比较大小. 2.根据平行四边形的对边平行且相等和三角形的相关性质.

【自主解答】(1)①错误.因为两个向量不能比较大小. ②错误.若a∥b,则a与b的方向不一定相同,模也不一定相等,故无法得到a=b. ③正确.若a=b,则a与b的方向相同,故a∥b. ④正确.若a=b,则a与b模相等,即|a|=|b|. ⑤错误.若a≠b,则a与b有可能模不相等但方向相同,所以有可能是共线向量. 答案:③④

(2)由平面几何知识得① D E , E D , B F , F B , F A , A F , M C . ② FB ,A F,M C .

【方法技巧】相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些 是同向共线. (2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同 向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为 终点的向量.

【变式训练】(2014·怀化高一检测)下列命题正确的是( ) A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线 B.向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线
C.向量 AB与CD是共线向量,则A,B,C,D四点一定共线
D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量

【解析】选D.当b=0时,A不对;如图, a=A B ,b=B D ,c=B C ,b与a,b与c 均不共线,但a与c共线,所以B错. 在平行四边形ABCD中A, B 与C D共线,但A,B,C,D四点不共线,所 以C错;若a与b有一个为零向量,则a与b一定共线,所以a,b不共 线时,一定有a与b都是非零向量,故D正确.

【误区警示】本题易忽视零向量的方向是任意的,和任意向量都共线这一性质,从 而错选A.

【补偿训练】如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终 点都在小方格的顶点处的向量中,试问:
(1)与 A B 相等的向量共有几个? (2)与 A B 平行且模为 2 的向量共有几个? (3)与 A B 方向相同且模为3 2 的向量共有
几个?

【解析】(1)与向量 相等的向量共有5个(不包括
AB

本A 身B ).

(2)与向量 平行且模为 的向量在每一个小正方形中有两

个,共有24个A.B

2

(3)与向量 方向相同且模为 的向量共有2个.

AB

32

类型二 向量的表示以及在几何中的应用
【典例2】 (1)如图所示,已知AD=3,B,C是线段AD的两个三等分点,分别以图中各点为起点和 终点,长度大于1的向量的个数为 ( )

A.3

B.4

C.5

D.6

(2)(2014·潭州高一检测)若|A B |=| A D |且 B A = C D ,则四边
形ABCD的形状为 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 (3)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,F,G分别是AB,
AC上的点,且AF∶AB=1∶4,AG∶GC=1∶3,求证:向量 DE和FG
共线.

【解题探究】1.题(1)中长度大于1的向量的模应为多少?

2.题(2)中由| A B |=| A D |可得到什么结论? B A C=D

呢?

3.题(3)中由AF∶AB=1∶4,AG∶GC=1∶3能得到FG与BC有怎样的

关系?

【探究提示】1.长度大于1的向量的模为2或3.

2.由| A B |=| |可得A四D 边形邻边相等.由 AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.

= 知ABB=ACD且C D

3.由AF∶AB=1∶4,AG∶GC=1∶3可得AF∶FB=1∶3.又AG∶GC=

1∶3,所以AF∶FB=AG∶GC,所以FG∥BC.

【自主解答】(1)选D.根据题意可得:模等于2的向量有

AC,CA,

BD,DB,模等于3的向量有

AD,D 故A图. 中长度大于1的向量共

有6个.

(2)选C.由 BA?CD 知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四

边形.又因为|

|=|

|,所以四边形ABCD为菱形.

AB AD

(3)因为D,E分别是边AB,AC的中点,

所以DE是△ABC的中位线,从而DE∥BC. ①

又因为AF∶AB=1∶4,所以AF∶FB=1∶3.

又AG∶GC=1∶3,所以AF∶FB=AG∶GC,所以FG∥BC. ②

由①②可知,DE∥FG,所以向量

DE共和 线FG .

【方法技巧】 1.用有向线段表示向量的关注点 (1)用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据 向量模的大小确定向量的终点. (2)有时需依据直角三角形等知识来求出向量的方向(即夹角) 或长度(模),选择合适的比例关系作出向量. 2.利用向量相等或共线证明平行、相等问题 (1)证明线段相等,只需证明相应向量的长度(模)相等. (2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线.

【补偿训练】如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点最多

可以写出

个互不相等的非零向量.

【解析】可设AD的长度为3,那么长度为1的向量有6个,其中 A B ? B C ? C D , B A ? C B ? D C ; 长A度C?为B2D的, 向量有4个,其中
CA?DB; 长度为3的向量有2个,分别是 和D A,所以A最D 多 可以写出6个互不相等的向量. 答案:6

【易错误区】对向量有关概念理解不准致误

【典例】(2014·邢台高一检测)给出下列叙述:

(1)两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同.

(2)若AB?DC, 则ABCD是平行四边形.

(3)平行四边形ABCD中,一定有 A B?DC.

(4)若m=n,n=k,则m=k.其中正确的有 ( )

A.(1)(3)(4)

B.(2)(4)

C.(1)(4)

D.(3)(4)

【解析】选D.(1)错误.两个向量相等,它们的起点和终点都不

一定相同①.

(2)错误.

AB?DC,

(3)正确.平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC且有向线段AB与DC

方(4)向正相确同.若,所m以=若条nA ,直nB =线k?,则上D m,C 所,.k以都A与BnC长D则不度A一相,B定等,C是且,D平方四行向个四相点边同有形,可所.能以在同一



m=k.

【常见误区】

错解 选A或B

错因剖析
在①处对向量相等的概念理解不准或在②处 对向量相等理解不到位致错

【防范措施】 正确理解向量的有关概念
解答向量的有关问题时,要紧扣向量的定义,从向量的大小和方向两个角度分 析问题.如本例(1)(3)(4)判断两个向量相等,就要判断方向和长度两个方面是否都 相同.同时要明确向量共线和平行与平面几何中的“共线”“平行”的区别.

【类题试解】(2014·通辽高一检测)下列关于向量的结论:

(1)若|a|=|b|,则a=b或a=-b.(2)向量a与-b平行,则a与-b的方

向相同或相反.(3)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相

等向量.(4)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b.其中正确结论

的序号为

.

【解析】(1)错误.因为只知|a|=|b|,a与b的方向不知.(2)错误.因为没告诉是非零向 量,故(2)不对,因为零向量的方向是任意的.(3)正确.方向相同且模相等的向量是相 等向量,与向量的起点无关.(4)错误.向量与数不同,向量不能比较大小. 答案:(3)


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