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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系习题 理

【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系习题 理


第三节
[基础达标]

空间点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 B1O 和 C1O 的中点,长方体的各棱中与 EF 平行 的有 ( )

A.一条 C.三条

B.两条 D.四条

1.D 【解析】与 EF 平行的棱为 BC,B1C1,AD,A1D1 共四条. 2.若 α ,β 是两个相交平面,给出下列命题:①若直线 m⊥α ,则在平面 β 内,一定不存在与 直线 m 平行的直线;②若直线 m⊥α ,则在平面 β 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直;③ 若直线 m? α ,则在平面 β 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线;④若直线 m? α ,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.其中真命题的个数有 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

2.C 【解析】当平面 α ,β 垂直相交时,若直线 m⊥α ,则在平面 β 内,存在与直线 m 平行 的直线,①是假命题;若直线 m⊥α ,则 m 垂直于平面 α ,β 的交线,则在平面 β 内,平行于交 线的直线与直线 m 垂直,即一定存在无数条直线与直线 m 垂直,②是真命题;若直线 m? α ,则 在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线,③是假命题,④是真命题. 3.E,F,G,H 是三棱锥 A-BCD 棱 AB,AD,CD,CB 上的点,延长 EF,HG 交于点 P,则点 P A.一定在直线 AC 上 B.一定在直线 BD 上 C.只在平面 BCD 内 D.只在平面 ABD 内 3.B 【解析】∵EF? 平面 ABD,HG? 平面 BCD,∴EF∩HG=P∈平面 ABD∩平面 BCD=BD,故点 P 一定在直线 BD 上. 4.长方体中 ABCD-A1B1C1D1,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱有 A.3 条 C.5 条 B.4 条 D.6 条 ( ) ( )

4.C 【解析】如图,用列举法知符合要求的棱为 BC,CD,C1D1,BB1,AA1.
1

5.已知异面直线 a,b 分别在平面 α ,β 内,而 α ∩β =c,则直线 c A.一定与 a,b 中的两条相交 B.至少与 a,b 中的一条相交 C.至多与 a,b 中的一条相交 D.至少与 a,b 中的一条平行 5.B 【解析】若 c 与直线 a,b 都不相交,由公理 4 可知三条直线平行,与题设矛盾.

(

)

6. (2015·哈尔滨三中一模) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB 和 △PAD 都是等边三角形,则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为 ( )

A.90°

B.75°

C.60°

D.45°

6.A 【解析】由题意可得 PA=PB=PD,所以点 P 在底面的射影是直角三角形 ABD 的外接圆的 圆心,即为 BD 的中点 O,即 PO⊥底面 ABCD,因为 CD? 平面 ABCD,所以 CD⊥PO,易证 CD⊥DB,又

PO 与 DB 相交于点 O,所以 CD⊥平面 PDB,则 CD⊥PB,即异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为 90°.
二、填空题(每小题 5 分,共 5 分) 7.如果三个平面两两相交有三条交线,则三条交线的位置关系是

.

7.互相平行或者交于一点【解析】由图 1 知三条交线平行,由图 2 知三条交线交于一点.

三、解答题(共 20 分) 8.(10 分)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AD,AA1 的中点. (1)求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小; (2)求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小. 8.【解析】(1)如图,连接 DC1,
2

∵DC1∥AB1,∴DC1 和 CC1 所成的锐角∠CC1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角. ∵∠CC1D=45°,∴AB1 和 CC1 所成的角是 45°.
(2)如图,连接 DA1,A1C1,∵EF∥A1D,AB1∥DC1,∴∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角.∵△A1DC1 是等边三角形,∴∠A1DC1=60°,即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60°.

9.(10 分)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC,BD 交于点 M,判断点

C1,O,M 是否共线,并且说明理由.

9.【解析】如图所示 A1A∥C1C? 确定平面 A1C,

? O 在平面 A1C 与平面 BC1D 的交线上.

? O∈C1M,即 O,C1,M 三点共线.

[高考冲关] 1.(5 分)如图,在四面体 ABCD 中,平面 ACD⊥平面 BCD,且 DB⊥平面 ABC,则△ABC 的形状为( )

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形
3

D.等腰三角形 1.C 【解析】过点 B 在平面 BCD 中作 CD 的垂线,垂足是 E,则由平面 ACD⊥平面 BCD 得 BE⊥ 平面 ACD,所以 AC⊥BE.又由 DB⊥平面 ABC 得 AC⊥DB,且 BE∩DB=B,所以 AC⊥平面 BCD,AC⊥

BC,故△ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形.

2.(5 分)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列命题正确的序号有

.

①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 成 60°角;④DM 与 BN 垂直.
2.③④ 【解析】 由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示.由正方体的 几何特征可得:①BM 与 ED 是垂直的,所以①错误.②CN 是 BE 是平行线,所以②错误.③BM∥AN, 且三角形 ACN 为正三角形,所以 CN 与 BM 成 60°角,所以③正确.由 DM⊥CN,DM⊥BC,所以 DM ⊥平面 BCNE,DM⊥BN,所以④正确.

3.(5 分) (2015·哈尔滨三中二模) 在四面体 ABCD 中,AD⊥AB,AD⊥DC,若 AD 与 BC 成角 60°, 且 AD= ,则 BC 等于

.

3.2

【解析】 将该四面体放入长方体中如图,在直角三角形 CBE 中,|CE|=

,∠BCE=60°,

所以斜边|BC|=

=2

.

4.(5 分)如图,在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,E,F 分别是 AA',AB 上一点,且 EF∥CD',求证:平面

EFCD',平面 AC 与平面 AD'两两相交的交线 ED',FC,AD 交于一点.
4

4.【解析】∵E,F 分别是 AA'与 AB 上一点,∴EF≠CD'. 又∵EF∥CD',∴四边形 EFCD'是梯形,直线 ED'和 FC 相交于一点,设此点为 P,

∵P∈ED'? 平面 AA'D'D,P∈FC? 平面 ABCD, ∴P 是平面 AA'D'D 与平面 ABCD 的公共点. ∵平面 AA'D'D∩平面 ABCD=AD, ∴P∈AD.∴ED',FC,AD 交于一点 P.

5


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