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高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修1-1_图文

高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修1-1_图文

3.4 生活中的优化问题举例

考纲定位

重难突破

1.通过实例体会导数在解决实际问 重点:利用导数解决简单的实际生活中的优化问

题中的作用.

题.

2.能利用导数解决实际问题.

难点:解决实际应用问题能力的提高与培养.

01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业

[自主梳理] 一、优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省 、效率最低 等问题,这些问题称为优化问题. 二、用导数解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模 过程.

[双基自测]

1.做一个容积为 256 m3 的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为( )

A.6 m

B.8 m

C.4 m

D.2 m

解析:设底面边长为 x m,高为 h m,则有 x2h=256,所以 h=2x526.所用材料的面积

设为 S m2,则有 S=4x·h+x2=4x·2x526+x2=256x×4+x2.S′=2x-256x×2 4,令 S′=

0 得 x=8,因此 h=26546=4(m).
答案:C

2.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为

y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(

)

A.13 万件

B.11 万件

C.9 万件

D.7 万件

解析:由题知,y′=-x2+81=0 ∴x=9. 故年产量为 9 万件时年利润最大.
答案:C

3.已知某矩形广场面积为 4 万平方米,则其周长至少为________米.

解析:设广场的长为

x

米,则宽为40 x000米,于是其周长为

y=2??x+40
?

x000???(x>0),

所以 y′=2???1-40x0200???,令 y′=0,解得 x=200(x=-200 舍去),这时 y=800.当 0<x<200 时,y′<0,当 x>200 时,y′>0.所以当 x=200 时,y 取得最小值,故其周

长至少为 800 米.

答案:800

4.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y=13x3-329x2-40x(x>0),为使耗电 量最小,则速度应定为________. 解析:由 y′=x2-39x-40=0, 得 x=-1 或 x=40, 由于 0<x<40 时,y′<0; 当 x>40 时,y′>0. 所以当 x=40 时,y 有最小值.
答案:40

探究一 面积容积最值问题 [典例 1] 某次花博会,展览园指挥中心所用地块的形状是大小 一定的矩形 ABCD,BC=a,CD=b.a,b 为常数且满足 b<a.组 委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块 AEF 建游客 休息区(点 E,F 分别在线段 AB、AD 上),且该直角三角形 AEF 的周长为 l(l>2b),如 图,设 AE=x,△AEF 的面积为 S.
(1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)试确定点 E 的位置,使得直角三角形地块 AEF 的面积 S 最大,并求出 S 的最大值.

[解析] (1)设 AF=y,则 x+y+ x2+y2=l,整理,得 y=2l2?-l-2xlx?.

S=12xy=x?4l?2l--2xl?x?,x∈(0,b].

(2)S′=4l ·2x2?-x-4llx?+2 l2

=4?x2-l l?2????x-2-2 2l????·????x-2+2 2l????,x∈(0,b],

∴当 b≤2-2

2 l

时,S′>0,S

在(0,b]递增,故当

x=b

时,Smax=b4l??2bb--l?l?;



2- b> 2

2 l

时,在

x∈????0,2-2

2l????上,S′>0,S 递增,在 x∈????2-2

2l,b????上,S′<0,

S 递减,故当 x=2-2

2 l

时,Smax=3-42

2l2.

解决面积、体积最值问题的思路 解决面积、体积的最值问题,要正确引入变量,将面积或体积表示为变量的函数, 结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.

1.如图,要设计一矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右 两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为 18 000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度 为 5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩 形广告牌面积最小?

解析:设广告牌的高和宽分别为 x cm,y cm, 则每栏的高和宽分别为 x-20,y-225,其中 x>20,y>25. 两栏面积之和为 2(x-20)·y-225=18 000, 由此得 y=1x8-02000+25. 广告牌面积为 S(x)=x????1x8-02000+25????=1x8-00200x+25x, ∴S′(x)=18 000?x[?-x-202?02 ?-x]+25=-?x3-60200?020+25.

令 S′(x)>0,得 x>140, 令 S′(x)<0,得 20<x<140. ∴函数 S(x)在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减, ∴S(x)的最小值为 S(140). 当 x=140 时,y=175. 即当 x=140,y=175 时,S(x)取得最小值 24 500, 故当广告牌的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告牌的面积最小.

探究二 用料最省(成本最低)问题 [典例 2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造 隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足 关系:C(x)=3x+k 5(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

[解析] (1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)=3x+k 5,再由 C(0)=8,得 k=40, 因此 C(x)=3x4+0 5. 而建造费用为 C1(x)=6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)=20C(x)+C1(x) =20×3x4+0 5+6x=38x0+05+6x(0≤x≤10).

(2)f′(x)=6-?32x+4050?2, 令 f′(x)=0,即?32x+4050?2=6, 解得 x=5,x=-235(舍去). 当 0<x<5 时,f′(x)<0;当 5<x<10 时,f′(x)>0, 故 x=5 是 f(x)的最小值点, 对应的最小值为 f(5)=6×5+1850+05=70. 当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元.

解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题,需要求相应 函数的最小值,此时根据 f′(x)=0 求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极 值点)后,判断函数在该点附近满足左减右增,则此时的极小值就是所求函数的最小 值.

2.某网球中心欲建连成片的网球场数块,用 128 万元购买土地 10 000 平方米,该中

心每块球场的建设面积为 1 000 平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费

用与球场数有关,当该中心建球场 x 块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近

似地用

f(x)=800???1+15ln

x??来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用
?

是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场?

解析:设建成 x 个球场,则 1≤x≤10,每平方米的购地费用为12180×001x04=1 2x80元,

因为每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用

f(x)=800???1+15ln

x??来表示,所
?

以每平方米的综合费用为 g(x)=f(x)+1 2x80=800+160ln x+1 2x80(x>0),所以 g′(x)

=160?xx2-8?(x>0),

令 g′(x)=0,则 x=8,当 0<x<8 时,g′(x)<0,当 x>8 时,g′(x)>0,所以 x=8

时,函数取得极小值,且为最小值.

故当建成 8 座球场时,每平方米的综合费用最省.

探究三 利润最大问题 [典例 3] 某玩具厂生产一种儿童智力玩具,每个玩具的材料成本为 20 元,加工费 为 t 元(t 为常数,且 2≤t≤5),出厂价为 x 元(25≤x≤40),根据市场调查知,日销售 量 q(单位:个)与 ex 成反比,且当每个玩具的出厂价为 30 元时,日销售量为 100 个. (1)求该玩具厂的日利润 y 元与每个玩具的出厂价 x 元之间的函数关系式; (2)若 t=5,则每个玩具的出厂价 x 为多少元时,该工厂的日利润 y 最大?并求最大 值.

[解析] (1)设日销量 q=ekx(k≠0),则ek30=100, ∴k=100e30,∴日销量 q=10e0xe30, ∴y=100e30?xe-x 20-t?(25≤x≤40). (2)当 t=5 时,y=100e30e?xx -25?(25≤x≤40), ∴y′=100e30e?2x 6-x?(25≤x≤40), 由 y′>0,得 25≤x<26,由 y′<0,得 26<x≤40,

∴函数在[25,26),上单调递增,在(26,40]上单调递减, ∴当 x=26 时,函数取得最大值,最大值为 ymax=100e4. ∴当每个玩具的出厂价为 26 元时,该工厂的日利润最大,最大值为 100e4 元.

(1)经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为自变量很 容易建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. (2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润=收入-成本. ②利润=每件产品的利润×销售件数.

3.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆 车的投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量 也相应增加,年销售量 y 关于 x 的函数为 y=3 240???-x2+2x+53???,则当 x 为何值时, 本年度的年利润最大?最大利润为多少(年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入 成本)×年销售量)?

解析:由题意得,本年度每辆车的投入成本为 10(1+x),每辆车的出厂价为 13(1+ 0.7x),年利润为 f(x)=[13(1+0.7x)-10(1+x)]·y =(3-0.9x)×3 240×???-x2+2x+53??? =3 240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5), 则 f ′(x)=3 240(2.7x2-9.6x+4.5) =972(9x-5)(x-3), 由 f ′(x)=0,解得 x=59或 x=3(舍去),

当 x∈???0,59???时,f ′(x)>0,f(x)是增函数; 当 x∈???59,1???时,f ′(x)<0,f(x)是减函数. 所以当 x=59时,f(x)取极大值,f???59???=20 000, 因为 f(x)在(0,1)内只有一个极大值,所以它是最大值. 所以当 x=59时,本年度的年利润最大,最大利润为 20 000 万元.

导数在实际问题中的综合应用 [典例] (本题满分 12 分)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平 的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率 P 与日产量 x(万件)之间大体满 足关系:

P=?????623- ,1 xx, >1c,≤x≤c,

(其中 c 为小于 6 的正常数)

(注:次品率=次品数/生产量,如 P=0.1 表示每生产 10 件产品,有 1 件为次品,其 余为合格品) 已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元,但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元, 故厂方希望定出合适的日产量. (1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 T(万元)表示为日产量 x(万件)的函数. (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?

[解析] (1)当 x>c 时,P=23,

所以 T=13x·2-23x·1=0.

2分

当 1≤x≤c 时,P=6-1 x,

所以 T=????1-6-1 x????·x·2-????6-1 x????·x·1

=9x6--2xx2.

4分

综上,日盈利额 T(万元)与日产量 x(万件)的函数关系为:

T=???9x6--2xx2,1≤x≤c,

5分

??0,x>c.

(2)由(1)知,当 x>c 时,每天的盈利额为 0,

当 1≤x≤c 时,T′=?9-4x??6?-6-x?x+?2?9x-2x2?=2?x-?6-3??xx?-2 9?,

令 T′=0,解得 x=3 或 x=9.

7分

因为 1<x<c,c<6, 所以(ⅰ)当 3≤c<6 时, Tmax=3,此时 x=3. (ⅱ)当 1≤c<3 时,由 T′=2x2-?6-24xx?+2 54=2?x-?6-3??xx?-2 9? 知函数 T=9x6--2xx2在[1,3]上新增, 所以 Tmax=9c6--2cc2,此时 x=c.

9分 11 分

综上,若 3≤c<6, 则当日产量为 3 万件时,可获得最大利润; 若 1≤c<3,则当日产量为 c 万件时, 可获得最大利润.12 分

[规范与警示] 1.应用分类讨论思想 当题目中含有参数时,一般要对参数进行讨论,如本题中针对参数 c 的讨论一方面 决定了日盈利额的表达式,另一方面影响了日产量的取值. 2.参数的范围对变量取值的影响 若参数有一定的范围,则要特别注意参数的取值范围对变量取值的影响,如本题中 c 为小于 6 的正常数,则 T′=0 时,日产量只能取 3.

1.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使体积最大,则其高应为( )

A.533 cm

B.103 3 cm

C.5 3 cm

D.203 3 cm

解析:设圆锥高为 x cm, 则底面半径 r 满足 r2=400-x2, 圆锥体积 V(x)=π3r2x=π3(400-x2)x =4030πx-π3x3(0<x<20).

V′(x)=4030π-πx2,

令 V′(x)=0 得 x=203 3,



20 0<x< 3

3时,V′(x)>0,

当203 3<x<20 时,V′(x)<0,

∴当 x=203 3时,V(x)取得最大值. 答案:D

2.某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为 P 元,

销售量为 Q 件,且销量 Q 与零售价 P 有如下关系:Q=8 300-170P-P2,则最大毛

利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )

A.30 元

B.60 元

C.28 000 元

D.23 000 元

解析:毛利润为(P-20)Q, 即 f(P)=(P-20)(8 300-170P-P2), f ′(P)=-3P2-300P+11 700 =-3(P+130)(P-30). 令 f ′(P)=0,得 P=30 或 P=-130(舍去). 又 P∈[20,+∞),故 f(P)max=f(P)极大值, 故当 P=30 时,毛利润最大, ∴f(P)max=f(30)=23 000(元). 答案:D

3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获 得的最大利润为________.
解析:依题意可设甲销售 x 辆, 则乙销售(15-x)辆, ∴总利润 S=5.06x-0.15x2+2(15-x) =-0.15x2+3.06x+30(x≥0). ∴当 x=10 时,Smax=45.6(万元). 答案:45.6

4.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每 月库存货物的运费 y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓 库,y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在 离车站________千米处.

解析:依题意可设每月土地占用费 y1=kx1,每月库存货物的运费 y2=k2x,其中 x 是 仓库到车站的距离,k1,k2 是比例系数.于是由 2=1k01得 k1=20;由 8=10k2 得 k2 =45.因此,两项费用之和为 y=2x0+45x(x>0),y′=-2x02+45,令 y′=0,得 x=5 或 x=-5(舍去).当 0<x<5 时,y′<0;当 x>5 时,y′>0.因此,当 x=5 时,y 取得极 小值,也是最小值.故当仓库建在离车站 5 千米处时,两项费用之和最小.
答案:5

编后语
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2019/10/19

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谢谢欣赏!

2019/10/19

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