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【导与练】2014届高三数学(理)一轮总复习:第三篇 三角函数、解三角形 检测试题 Word版含解析

【导与练】2014届高三数学(理)一轮总复习:第三篇 三角函数、解三角形 检测试题 Word版含解析


第三篇 检测试题 (时间:120 分钟 满分:150 分) 【选题明细表】 知识点、方法 三角函数的概念 同角基本关系式与诱导公式应用 图象与性质 三角恒等变换 解三角形 综合问题 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.(2012 衡水模拟)若角α的终边过点(sin 30°,-cos 30°),则 sin α等于 ( C ) (B)(C)(D)题号 1、2 3、13 4、6、8、11、20 5、9、17 7、10、14、15、18、21 12、16、19、22

(A)

解析:点(sin 30°,-cos 30°),即点( ,- ), ∴r=1,∴sin α= =- .故选 C. 2.已知角α的终边上有一点 M(3,-5),则 sin α等于( (A)(B)(C)- (D)= , B )

解析:因为 r=

所以 sin α= = =-

.故选 B. 满足

3.(2013 乐 山 市 第 一 次 调 研 考 试 ) 函 数 f(x)= f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可能值为( (A)1 或 (C)1 (B)(D)1 或D )

解析:若 a≥0 时,则 ea-1+1=2,a=1, 若-1<a<0 时,则 1+2sin πa2=2,sin πa2= , 所以πa2=2kπ+ (k∈Z),所以 a2=2k+ (k∈Z), 令 k=0,则 a=± ,所以 a=- , 综上,a=1 或 a=- .故选 D. 4.(2012 年东北四校联考)已知函数 f(x)=-2sin(2x+ ? )(| ? |<π),若 f 则 f(x)的一个单调递增区间可以是( (A) (C) (B) (D) =-2, =-2, D ) =-2,

解析:由题 f 即-2sin

得 sin

=1,

∵| ? |<π,故φ= . 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,即 x∈ Z 为 f(x)的增区间.故选 D. 5.已知 (A)解析: = =cos x+sin x =. ∴1+2sin xcos x= , 即 2sin xcos x=- ,必有 x∈ 从而 1-2sin xcos x= , 即(sin x-cos x)2= , 又当 x∈ 时,sin x>cos x, , (B)= = ,0<x<π,则 tan x 等于( (C)2 (D)-2 A ) ,k∈

∴sin x-cos x= . 故 sin x= ,cos x=- , 于是 tan x=- .故选 A. 6.函数 f(x)= cos x- sin x 取得最大值时,x 的可能取值是( (A)-π (B)(C)(D)2π C )

解析:因为 f(x)= cos x- sin x =2 =2 cos(x+ ), 所以当 x+ =2kπ(k∈Z)时,f(x)取最大值,即 x=2kπ- (k∈Z)时,f(x)有最大值 2 ,所以结合各选项知 x 的可能取值是- .故选 C. 7. 在锐角△ABC 中设 x=(1+sin A)(1+sin B),y=(1+cos A)(1+cos B),则

x,y 的大小关系为( D ) (A)x≤y (B)x<y (C)x≥y (D)x>y 解析:由于三角形为锐角三角形, 故有 A+B> ? A> -B, 又由 y=sin x 和 y=cos x 在 sin A>sin 上的单调性可得 =sin B,

=cos B,cos A<cos

故 1+sin A>1+cos B>0,0<1+cos A<1+sin B, 即 x=(1+sin A)(1+sin B)>y=(1+cos A)(1+cos B). 故选 D. 8.(2012 大同模拟)已知函数 f(x)=3sin 象的对称中心完全相同,若 x∈ (A) (C) (B) (D) (ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完 (ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图 A )

,则 f(x)的取值范围是(

解析:函数 f(x)=3sin 全相同, 所以ω=2,f(x)=3sin 因为 x∈ 所以 2x- ∈ 所以 f(x)=3sin , , ∈ ,

.故选 A.

9.已知角α的终边经过点 P(sin 2θ,sin 4θ),且 cos θ= ,则α的正切值为 ( B ) (B)-1 (C) (D)1

(A)-

解析:tan α= =2(2cos2 θ-1) =2

=

=2cos 2θ

=-1.故选 B.

10.(2012 厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 为 a、b、c,其中 a 为最大边,如果 sin2(B+C)<sin2 B+sin2 C,则角 A 的取值 范围为( (A) (C) D ) (B) (D)

解析:由题意得,sin2 A<sin2 B+sin2 C, 再由正弦定理得 a2<b2+c2,即 b2+c2-a2>0. 则 cos A= >0,

∵0<A<π,∴0<A< . 又 a 为最大边,∴A> . 因此得角 A 的取值范围是 .故选 D.

11.已知函数①y=sin x+cos x,②y=2 sin xcos x,则下列结论正确的是 ( C ) 成中心对称图形

(A)两个函数的图象均关于点

(B)两个函数的图象均关于直线 x=- 成轴对称图形 (C)两个函数在区间 上都是单调递增函数

(D)两个函数的最小正周期相同 解析:由于 y=sin x+cos x= sin y=2 sin xcos x= sin 2x, 当 x=- 时,y= sin =0,y= sin 2x=- , 成中心对称图形, ,

因此函数 y=sin x+cos x 的图象关于点 不关于直线 x=- 成轴对称图形, 函数 y=2 sin xcos x 的图象不关于点 x=- 成轴对称图形, 故选项 A、B 均不正确; 结合图象(图略)可知, 这两个函数在区间 因此选项 C 正确; 函数 y= sin 的最小正周期是 2π,

成中心对称图形,关于直线

上都是单调递增函数,

y= sin 2x 的最小正周期是π, 因此选项 D 不正确.综上所述,故选 C.

12.若 AB=2,AC= BC,则 S△ABC 的最大值为( A (A)2 (B) (C) (D)3

)

解析:设 BC=x,则 AC= x,x>0, 根据三角形面积公式得 S△ABC= ×AB×BCsin B=x 根据余弦定理得 cos B= 将②代入①得, S△ABC=x = , = = ② ①

由三角形的三边关系得 解得 2 -2<x<2 +2. 故当 x=2 时,S△ABC 取得最大值 2 .故选 A. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.(2012 山东泰安期末)已知α∈ 解析:在△ABC 中,由α∈ cos α=故 tan α=- , =- , ,sin α= ,则 tan = .

且 sin α= 得

因此 tan 答案:

=

=.

14.(2012 年高考重庆卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos A= ,cos B= ,b=3,则 c= 解析:在△ABC 中, ∵cos A= ,∴sin A= , ∵cos B= , ∴sin B= , ∴sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B =× +× = . 由正弦定理得,c= 答案: . 15.要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角 是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的 ∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为 解析:如图所示,设电视塔 AB 高为 x m, m. = = . .

则在 Rt△ABC 中, 由∠ACB=45°得 BC=x. 在 Rt△ADB 中∠ADB=30°, ∴BD= x, 在△BDC 中, 由余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos 120°, 即( x)2=x2+402-2·x·40·cos 120°, 解得 x=40, ∴电视塔高为 40 m. 答案:40 16. 若函数 f(x)=|sin x|(x≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交 = .

点,设交点中横坐标的最大值为α,则 解析:依题意,画出示意图如图所示.

于是,α∈ 切点.

,且 A(α,-sin α)为直线 y=kx 与函数 y=-sin x(x∈(π, ))图象的

在 A 点处的切线斜率为-cos α=

,故α=tan α.

所以 答案:2

=

=

=2.

三、解答题(共 74 分) 17.(本小题满分 12 分) (2012 广州综合测试)已知 sin α= ,α∈ (1)求 tan α的值; (2)求 tan(α+2β)的值. 解:(1)∵sin α= ,α∈ ∴cos α= ∴tan α= = = =. , = . ,tan β= .

(2)法一 ∵tan β= , ∴tan 2β= ∴tan(α+2β)= 法二 ∵tan β= , ∴tan(α+β)= ∴tan(α+2β)= = =1, = =2. = =, = =2.

18.(本小题满分 12 分) (2013 内江市第一次模拟考试)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,a=2 ,b=2,cos A=- . (1)求角 B 的大小; (2)若 f(x)=cos 2x+bsin 2(x+B),求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间. 解:(1)∵cos A=- (0<A<π), ∴A 为钝角,sin A= . 由 = 得 sin B= ,

∴B= . (2)由(1)知 f(x)=cos 2x+2sin2 =cos 2x-cos +1

=cos 2x- cos 2x+ sin 2x+1 =sin +1

所以,函数 f(x)的最小正周期为π, 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z,

所以函数 f(x)的单调递增区间为 ,k∈Z. 19.(本小题满分 12 分) (2013 成 都 市 高 三 一 诊 模 拟 ) 已 知 O 为 坐 标 原

点, =(2sin2x,1),

=(1,-2 sin xcos x+1),f(x)= · +m.

(1)求 y=f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)的定义域为 ,值域为[2,5],求 m 的值.

解:(1) f(x)=2sin2x-2 sin xcos x+1+m =1-cos 2x- sin 2x+1+m =-2sin +2+m,

由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z), 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z), 故 y=f(x)的单调递增区间为 (2)当 ≤x≤π时, ≤2x+ ≤ , ∴-1≤sin(2x+ )≤ , ∴1+m≤f(x)≤4+m, ∴ ? m=1. (k∈Z).

20.(本小题满分 12 分) (2012 宜春模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+ ? )(A>0,ω>0,| ? |< )的部分图 象如图所示:

(1)求函数 f(x)的解析式并写出其对称中心; (2)若 g(x)的图象与 f(x)的图象关于点 P(4,0)对称,求 g(x)的单调递增区间. 解:(1)由题图可知,A= , =4,∴T=16, ∴ω= = , ∴f(x)= sin 由题图知 f(2)= , ∴ sin 即 sin =1, = . ,

∴ +φ= +2kπ(k∈Z), ∴φ= +2kπ(k∈Z), 又| ? |< ,∴ ? = , ∴f(x)= sin .

令 x+ =kπ(k∈Z),可得 x=8k-2, 所以函数 f(x)的对称中心为(8k-2,0)(k∈Z). (2)设 g(x)上任一点为 A(x,y), 其关于点 P(4,0)的对称点 A'(x',y'),则 A'在 f(x)上. ∴x'=8-x,y'=-y,代入 f(x)得, -y= sin ∴y=- sin 即 g(x)=- sin . . ,

由 +2kπ≤ x- ≤ +2kπ(k∈Z), 得 16k+6≤x≤16k+14(k∈Z). 所以函数 g(x)的单调递增区间为 [16k+6,16k+14](k∈Z). 21.(本小题满分 12 分) 如图所示,一人在 C 地看到建筑物 A 在正北方向,另一建筑物 B 在北偏 西 45°方向,此人向北偏西 75°方向前进 km 到达 D,看到 A 在他的北

偏东 45°方向,B 在他的北偏东 75°方向,试求这两座建筑物之间的距离.

解:依题意得,DC=

(km),

∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC, ∠DBC=120°,∠ADC=60°,∠DAC=45°. 在△BDC 中,由正弦定理可得, BC= = = (km).

在△ADC 中,由正弦定理可得, AC= 在△ABC 中, 由余弦定理可得, AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠ACB =(3 )2+( ∴AB=5(km). 即这两座建筑物之间的距离为 5 km. 22.(本小题满分 14 分) 已知角 A、B、C 为△ABC 的三个内角,其对边分别为 a、b、c,若向量 m= ,n= ,a=2 ,且 m· . n= )2-2×3 × ×cos 45°=25, = =3 (km).

(1)若△ABC 的面积 S△ABC= ,求 b+c 的值; (2)求 b+c 的取值范围. 解:(1)因为 m= ,n= ,且 m· , n=

所以-cos 2 +sin 2 = ,即-cos A= ,

又 A∈(0,π),所以 A= . 又由 S△ABC= bcsin A= ,得 bc=4, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos =b2+c2+bc, 所以 16=(b+c)2,故 b+c=4. (2)由正弦定理得 又 B+C=π-A= , 所以 b+c=4sin B+4sin C =4sin B+4sin =4sin , = = = =4,

因为 0<B< , 所以 <B+ < , 所以 <sin ≤1,

即 b+c 的取值范围是(2 ,4].


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