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高一数学下册 第四单元 圆的方程知识点及练习题(含答案)

高一数学下册  第四单元  圆的方程知识点及练习题(含答案)


圆的方程测试卷
1. 圆的方程: (1)标准方程: ( x ? a) (2)圆的一般方程: x 圆心(2
2

? ( y ? b)2 ? r 2 (圆心为 A(a,b),半径为 r)

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 )

D E 1 ,- )半径 D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 2

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正 确答案的代号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1.方程 x 2 ? y 2 ? 4mx ? 2 y ? 5m ? 0 表示圆的充要条件是 A.
1 ? m ?1 4

( C. m ?
1 4



B. m ?

1 或m ? 1 4

D. m ? 1

2.方程 x 2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a 2 ? 3a ? 0 表示的图形是半径为 r ( r ? 0 )的圆,则 该圆 圆心在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( )

3. 若方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) 所表示的曲线关于直线 y ? x 对 称,必有( A. E ? F ) B. D ? F C. D ? E D. D, E , F 两两不相等 ( )

4.点( 2a, a ? 1 )在圆 x 2 +y 2 -2y-4=0 的内部,则 a 的取值范围是 A.-1< a <1 B. 0< a <1 C.–1< a <
1 5 1 D.- < a <1 5

5.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 的周长是 A. 2 2? B. 2? C. 2? D. 4?





6.两圆 x2+y2-4x+6y=0 和 x2+y2-6x=0 的连心线方程为 A.x+y+3=0 C.3x-y-9=0 B.2x-y-5=0 D.4x-3y+7=0





7.如果圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点,则 A.E≠0,D=F=0 C.D≠0,E=F=0 B.D≠0,E≠0,F=0 D.F≠0,D=E=0





8.过点 A(1,-1)与 B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程为 ( ) B.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 ( )

A.(x-3)2+(y+1)2=4 C.(x+3)2+(y-1)2=4

9.方程 ?x ? y ? 1? x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 所表示的图形是 A.一条直线及一个圆 C.一条射线及一个圆 B.两个点 D.两条射线及一个圆

10 . 要 使 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 与 x 轴 的 两 个 交 点 分 别 位 于 原 点 的 两 侧 , 则 有 ( ) B. D ? 0, F ? 0 D. F ? 0 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 11.圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 过原点的充要条件是 12.求圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的点到直线 x ? y ? 8 的距离的最小值 . .

A. D 2 ? E 2 ? 4F ? 0, 且F ? 0 C. D ? 0, F ? 0

(13、 题已知) 14 已知方程 x 2 ? y 2 ? 2(t ? 3) x ? 2(1 ? 4t 2 ) y ? 16t 4 ? 9 ? 0 表示一个圆. 13. t 的取值范围 14.该圆半径 r 的取值范围 . .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12 分)已知一圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5) ,且圆心 C 在直线 l:
x ? 2y ? 3 ? 0

上,求此圆的标准方程.

16. (12 分)已知△ABC 的三个项点坐标分别是 A(4,1) ,B(6,-3) ,C(-3, 0) ,求

△ABC 外接圆的方程.

17. (12 分)求经过点 A(2,-1),和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上 的圆的 方程.

18. (12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+3=0 与直线 x+2y-3=0 的两个交点为 P、Q, 求以 PQ 为直径的圆的方程.

19. (14 分)已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8,0)的距离的一半, 求: (1)动点 M 的轨迹方程; (2)若 N 为线段 AM 的中点,试求点 N 的轨迹.

20. (14 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 - 4 x -14 y ? 45 ? 0, 及点 Q(-2,3) . (1) P(a, a ? 1) 在圆上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率; (2)若 M 为圆 C 上任一点,求 |MQ | 的最大值和最小值; (3) 若实数 m, n 满足 m2 ? n2 - 4m -14n ? 45 ? 0 ,求 K =
n-3 的最大值和最小值. m+2

参考答案 一、BDCDA CABDA 二、11. a 2 ? b 2 ? r 2 ;12.
3 2 ? 13 ;13. ? 1 ? t ? 1 ;14. 0 ? r ≤ 4 7 ; 2 7 7

三、15.解:因为 A(2,-3) ,B(-2,-5), 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为(0,-4) , 又 k AB
?5 ? (?3) 1 ,所以线段 ? ? ?2 ? 2 2
y x-2y-3=0

AB 的垂直

O A

x

平分线的方程是 y ? ?2 x ? 4 . 联立方程组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,解得 ? x ? ?1 . ? ?
? y ? ?2 x ? 4
? y ? ?2
B

所以,圆心坐标为 C(-1,-2),半径 r ?| CA | ? (2 ? 1) 2 ? (?3 ? 2) 2 ? 10 , 所以,此圆的标准方程是 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 10 . 16.解:解法一:设所求圆的方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . 因为 A(4,1) ,B(6,-3) ,C(-3,0)都在圆上, 所以它们的坐标都满足方程①,于是
? (4 ? a)2 ? (1 ? b)2 ? r 2 , ? 2 2 2 ?(6 ? a) ? (?3 ? b) ? r , ? (?3 ? a)2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 . ?



? a ? 1, ? 可解得 ? b ? ?3, ? r 2 ? 25. ?

所以△ABC 的外接圆的方程是 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 . 解法二:因为△ABC 外接圆的圆心既在 AB 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平 分线上,所以先求 AB、 BC 的垂直平分线方程,求得的交点坐标
y

就是圆心坐标. ∵ k AB ? ?3 ? 1 ? ?2 , kBC ? 0 ? (?3) ? ? 1 ,
6?4
?3 ? 6 3
C O

A x E B

线段 AB 的中点为(5,-1),线段 BC 的 中点为 ( 3 , ? 3 ) ,
2 2

1 ∴AB 的垂直平分线方程为 y ? 1 ? ( x ? 5) , 2 3 3 BC 的垂直平分线方程 y ? ? 3( x ? ) . 2 2

① ②

? x ? 1, 解由①②联立的方程组可得 ? ∴△ABC 外接圆的圆心为E (1, -3) , ? y ? ?3.

半径 r ?| AE |? (4 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 5 . 故△ABC 外接圆的方程是 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 . 17.解:因为圆心在直线 y ? ?2 x 上,所以可设圆心坐标为(a,-2a),据题意得:
(a ? 2) 2 ? (?2a ? 1) 2 ? | a ? 2a ? 1 | 2



∴ (a ? 2) 2 ? (1 ? 2a) 2 ? (1 ? a) 2 ,

1 2

∴ a =1,



圆心为(1,-2),半径为 2 , ∴所求的圆的方程为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .

18.解:已知圆 x2+y2+x-6y+3=0 与直线 x+2y-3=0 的两个交点为 P、Q,求以 PQ 为直径的圆的 方程. 解法 1:设点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则点 P、Q 的坐标满足方程组 x2+y2+x-6y+3=0,x+2y-3=0, x1=1,x2=-3, 解方程组,得 y1=1,y2=3, 即点 P(1,1) ,Q(-3,3)∴线段 PQ 的中点坐标为(-1,2) |PQ|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 =2 5 ,故以 PQ 为直径的圆的方程是: (x+1)2+(y-2)2=5 解法 2:设所求圆的方程为 x2+y2+x-6y+3+λ (x+2y-3)=0, 整理,得:x2+y2+(1+λ )x+(2λ -6)y+3-3λ =0, 此圆的圆心坐标是: (- -
1? ? +2(3-λ )-3=0 2 1? ? ,3-λ ) 由圆心在直线 x+2y-3=0 上,得 , 2

解得λ =1

故所求圆的方程为:x2+y2+2x-4y=0.

19.解: (1)设动点 M(x,y)为轨迹上任意一点,则点 M 的轨迹就是集合 P ? {M || MA |?
1 | MB |} . 2
( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ( x ? 8) 2 ? y 2 , 2

由两点距离公式, M 适合的条件可表示为 点 平方后再整理,得 x 2 ? y 2 ? 16 .

可以验证,这就是动点 M 的轨迹方程.

(2)设动点 N 的坐标为(x,y) ,M 的坐标是(x1,y1) . 由于 A(2,0) ,且N为线段 AM 的中点,所以
x? 2 ? x1 0 ? y1 , y? .所以有 x1 ? 2 x ? 2 , y1 ? 2 y 2 2



由(1)题知,M 是圆 x 2 ? y 2 ? 16 上的点, 所以 M 坐标(x1,y1)满足: x12 ? y12 ? 16 ② 将①代入②整理,得 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 . 所以 N 的轨迹是以(1,0)为圆心,以 2 为半径的圆(如图中的虚圆为所 求) . 20.解: (1)∵ ∴ ∴ (2)∵ 点 P(a,a+1)在圆上,
a ? 4,
3

a 2 ? (a ? 1) 2 ? 4a ? 14(a ? 1) ? 45 ? 0 , ∴
| PQ |? (4 ? 2) 2 ? (5 ? 3) 2 ? 2 10 ,

P(4,5) ,

KPQ= 3 ? 5 ? 1 ,
?2?4

圆心坐标 C 为(2,7) ,

∴ | QC |? (2 ? 2) 2 ? (7 ? 3) 2 ? 4 2 , ∴ | MQ | max ? 4 2 ? 2 2 ? 6 2 , | MQ | min ? 4 2 ? 2 2 ? 2 2 。
即 (3)设点(-2,3)的直线 l 的方程为: y ? 3 ? k ( x ? 2), kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 ,

易知直线 l 与圆方程相切时,K 有最值, ∴ | ?2k ? 7 ? 2k ? 3 | ? 2 2 ,
1? k 2

∴ k ? ?2 ? 3

∴ K ? n ? 3 的最大值为 ? 2 ? 3 ,最小值为 ? 2 ? 3 .
m?2


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