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2016随州职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

2016随州职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

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2016 随州职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内。 1.设全集 U={1,3,5,7,9},集合 A={1,9,|a-5|}, ( ) A.2 B.8 C.-2 或 8 D.2 或 8 ={5,7},则 a 的值为

2.一个年级有 12 个班,每个班有 50 名同学,随机编号为 1—50 号,为了了解他们 在课外的兴趣爱好,要求每班的 33 号学生留下列参加问卷调查,这里运用的抽样 方法是( ) B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样法 个单位,所得图象对应函数的最小正周期

A.系统抽样法 3.把函数 是( )

的图象向右平移

A.

B.2

C.4

D.

4.从 4 台 A 型笔记本电脑与 5 台 B 型笔记本电脑中任选 3 台,其中至少要有 A 型和 B 型笔 记本电脑各一台,则不同的选取方法共有 A.140 种 B.84 种 C.70 种 ( D.35 种 所得弦长为 8 的圆的方程是 ( B.x2+y2=16 D.x2+y2=25 ,下列命题中的真命题是 ( ) ) )

5. 以原点为圆心,且截直线 A.x2+y2=5 C.x2+y2=4

6.对于不重合的两条直线 m,n 和平面 A.如果

,m,n 是异面直线,那么

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B.如果 C.如果 D.如果 ,m,n 是异面直线,那么 ,m,n 是异面直线,那么 ,m,n 共面,那么 相交

7.已知数列 ( )

的前 n 项和 Sn 满足

,那么



A. 8. 若不等式 ( )

B.

C.

D.

对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是

A.{a|a>1}

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上。 9.若 的展开式中含 项的系数是 448,则正实数 的值为 。

10.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a 边长为 6,则 b 边长为 11.已知球 O 的一个截面的面积为 径为 ,该球的体积为 。 , △ABC 的面积为

边长为 4, 。

,球心 O 到这个截面的距离为 1,则该球的半

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12.若函数 是 . 的最小值

13.实数 x,y 满足不等式组

的取值范围是



14.已知 P 是双曲线 题:

的右支上一点,A1,A2 分别为双曲线的

左、右顶点,F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为 e,有下列命

①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为 ②若|PF1|=e|PF2|,则 e 的最大值为 ③△PF1F2 的内切圆的圆心横坐标为 a; ④若直线 PF1 的斜率为 k,则 其中正确命题的序号是 。 ;



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。 15.(本小题满分 12 分) 已知 A、B 两点的坐标分别为

(Ⅰ)求|

|的表达式;

(Ⅱ)若 (Ⅲ)若

(O 为坐标原点),求 ,求函数

的值;

的最大值和最小值。

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16.(本小题满分 13 分) 有红色和黑色两个盒子,红色盒中有 6 张卡片,其中一张标有数字 0,两张 标有数字 1,三张标有数字 2;黑色盒中有 7 张卡片,其中 4 张标有数字 0,一张 标有数字 1,两张标有数字 2。现从红色盒中任意取 1 张卡片(每张卡片被抽出的 可能性相等),黑色盒中任意取 2 张卡片(每张卡片抽出的可能性相等),共取 3 张卡片。 (Ⅰ)求取出的 3 张卡片都标有数字 0 的概率; (Ⅱ)求取出的 3 张卡片数字之积是 4 的概率; (Ⅲ)求取出的 3 张卡片数字之积是 0 的概率.

17.(本小题满分 14 分)

如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为 等腰梯形,AB//CD,AD=BC=2,对角线 AC⊥BD 于 O,∠DAO=60°,且 PO⊥平 面 ABCD,直线 PA 与底面 ABCD 所成的角为 60°,M 为 PD 上的一点。

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(Ⅰ)证明:PD⊥AC; (Ⅱ)求二面角 P—AB—C 的大小; (Ⅲ)若 DM : MP=k,则当 k 为何值时 直线 PB⊥//平面 ACM?

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若对任意的 极值; ,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分) 已知点 的交点,数列 (Ⅰ)求数列 都在直线 l: 成等差数列,公差为 1。 , 的通项公式; 上,P1 为直线 l 与 x 轴

(Ⅱ)若

问是否存在

,使得

成立?若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由。

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(Ⅲ)求证:

20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,且准线方程为 (1,0)与抛物线交于 A,B 两点,点 P 在 y 轴的右侧且满足 (O 为坐标原点)。 (Ⅰ)求抛物线的方程及动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)记动点 P 的轨迹为 C,若曲线 C 的切线斜率为 到 y 轴的距离为 a,求 a 的取值范围。 ,满足 ,点 A 直线 l 过 M

参考答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 40 分. 1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.C 二、填空题:每小题 5 分,满分 30 分。 (对有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分)

9.2

10.

11.

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12. 13. 14.①③④

三、解答题:本大题满分 80 分. 15.(本小题满分 12 分)

解:(I)

……………………1 分 ……………………………………………………2 分

=

…………………………………………………………3 分

=

…………………………………………4 分

(Ⅱ)

………………………………………………5 分



………………………………7 分

………………………………………………………………8 分 (Ⅲ)

=

…………………………………………9 分

……………………………………………10 分

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当 sinx=0 时, 当 sinx=-1 时, 16.(本小题满分 13 分) 解:(I)记“取出的 3 张卡片都标有数字 0”为事件 A.…………………………1 分 ………………………………………………11 分 ………………………………………………12 分

…………………………………………………………4 分 (Ⅱ)记“取出的 3 张卡片数字之积是 4”为事件 B。……………………5 分

……………………………………9 分 (Ⅲ)记“取出的 3 张卡片数字之积是 0”为事件 C.……………………10 分

…………………………13 分

17.(本小题满分 14 分) 解:(I)∵PO⊥平面 ABCD ∴DO 为 DP 在平面 ABCD 内的射影……………………1 分 又 AC⊥BD ∴AC⊥PD………………………………………………3 分 (Ⅱ)取 AB 中点 N,连结 ON,PN……………………4 分

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∵四边形 ABCD 为等腰梯形 ∴△ABD≌△BAC ∴∠ABD=∠BAC ∴OA=OB ∴ON⊥AB. 又∵PO⊥平面 ABCD ∴ON 为 PN 在底面 ABCD 内的射影, ∴PN⊥AB ∴∠PNO 即为二面角 P—AB—C 的平面角 在 Rt△DOA 中,∠DAO=60°,AD=2 ∴AO=1,DO=

在 Rt△AOB 中, ∵PO⊥平面 ABCD

………………………………………………8 分

∴OA 为 PA 在底面 ABCD 内的射影 ∴∠PAO 为直线 PA 与底面 ABCD 所成的角, ∴∠PAO=60° 在 Rt△POA 中,AO=1 ∴PO= ……………………………………………………………………9 分

∴在 Rt△PON 中,

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∴二面角 P—AB—C 的大小为

方法二: 如图,以 O 为坐标原点,OB,OC,OP 所在直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.……………………4 分 A(0,-1,0),B(1,0,0) P(0,0, O(0,0,0)……………………5 分 ……6 分 ∵PO⊥平面 ABCD 为平面 ABCD 的法向量…………………7 分 设 为平面 PAB 的法向量



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………………………………9 分

∴二面角 P—AB—C 的大小为 ………………………………10 分 (Ⅲ)连结 MO 当 DM:MP= 时,直线 PB//平面 ACM…………11 分

∵AO=1,BO=AO=1,DO= ∴DO:OB= 又∵DM:MP= ∴在△BDP 中,MO//PB 又∵MO 平面 ACM

∴PB//平面 ACM……………………………………………………14 分 18.(本小题满分 13 分) 解:(I) …………………………………………1 分

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令 ………………………………2 分



x 变化时,

的变化情况如下:

…………………………………………………………………………………………4 分 ∴当 x=-1 时,f(x)取得极大值为-4

当 x= (Ⅱ)设

时,f(x)取得极小值为

………………………………6 分

…………8 分

令 ∵a>2,

∴当

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当 ………………………………10 分

∴当

即 解得 a≤5, ∴2<a≤5………………………………………………………………………………12 分 当 x=0 时,F(x)=4 成立 所以实数 a 的取值范围是 19.(本小题满分 14 分) 解(I)由题意知 P1(-1,0)……………………………………………………………1 分 ∴ ∴ ∴ (Ⅱ)若 k 为奇数,则 …………………………………………………………………………2 分 ……………………………………………………13 分

无解…………………………………………………………6 分 若 k 为偶数,则 ……………………………………………………8 分 综上,存在 k=4 使 (Ⅲ)证明: 成立.…………………………………………9 分

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(1)当 分 (2)当 n≥3,n∈N*时,

成立。………………11

…………………………………………12 分

成立.………………………………………………13 分

综上,当 分 20.(本小题满分 14 分)

成立……………14

解:(Ⅰ)由题意知抛物线的方程为 ∴p=1,抛物线的方程为 ……………………2 分

直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与抛物线交于一点,不符合题意。 …………3 分 于是设直线 l 的方程为

联立 设两交点为 则△=4k2-8k>0 ……………………4 分

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∴ 设 ……………………5 分



∴ 消去 k 得 ……………………7 分

又∵P 点在 y 轴的右侧 ∴x>0, 又∵ ∴动点 P 的轨迹方程为 (Ⅱ)∵曲线 C 的方程为 ∴切线斜率 ∴ ∵ 又 …………10 分 , ………………9 分 ………………8 分

∴ ∴

解得

…………12 分

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………………13 分

∴a 的取值范围是:

……………………14 分


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