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数学必修1至4知识点框架

数学必修1至4知识点框架


数学必修1至4知识点框架

高一数学必修1知识点
? ?子集:若x ? A ? x ? B,则A ? B,即A是B的子集。 ? ? ?1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个。 ? ? ? ? ? ?2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ? ? 注? ? ?关系 ? ?3、对于集合A, B, C , 如果A ? B,且B ? C , 那么A ? C. ? ? ?4、空集是任何集合的(真)子集。 ? ? ? ? ?真子集:若A ? B且A ? B (即至少存在x0 ? B但x0 ? A),则A是B的真子集。 ? ? ? ?集合相等:A ? B且A ? B ? A ? B ? ? ? ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A且x ? B? 集合与集合 ? ? ?交集 ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? ?,A ? B ? B ? A,A ? B ? A, A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? ? ? ?并集 ?定义:A ? B ? ? x / x ? A或x ? B? ? ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? A,A ? B ? B ? A,A ? B ? A,A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? B 运算 ? ? ? Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B) - Card ( A ? B) ? ? ? ?定义:CU A ? ? x / x ? U 且x ? A? ? A ? ? ? ?补集 ?性质: U A) ? A ? ?, U A) ? A ? U,CU (CU A) ? A,CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B), ? (C (C ? ? ? CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ? ? ? ? ?

函数
1.(1)函数定义:
设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数y与之对应,那么就称对应f :A ? B为从集合A到集合B的一个函数

(2)映射定义:

? 2.函数的三要素 ?值域 ?对应法则
定义域

?解析法 3.函数的表示方法 ?列表法 ?图象法

? ?单调性 ?最值 最大值 4.函数的基本性质 ? 最小值 ?奇偶性 ? ?周期性

?

一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零; 3、对数的真数大于零; 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1. ? 5、三角函数正切函数 y ? tan x 中 x ? k? ? (k ? Z ) 2 6、如果函数是由实际意义确定的解析式, 应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法; 5、参数法;6、配方法

三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法; 5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法; 4、几何法;5、单调性法

五、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,
则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为增(减)函数

2、若 f ( x) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数

3、若 f ( x) 与 g ( x)的单调性相同,则 y ? f [ g ( x)] 是增函数;若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性不同,则 y ? f [ g ( x)] 是减函数。

口诀:同增异减
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、 解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0

如果一个函数 y ? f ( x)既是奇函数又是偶函数,则 f ( x) ? 0 (反之不成立)

2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数, 那么该复合函数就是偶函数; 当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。

n ? ?根式: a , n为根指数,a为被开方数 ? ? ? ? ? m ?m ? 1 ? ? 分数指数幂:n a m ? a n ; a n ? m ? ? ? ? ? an ? ? 指数的运算 ? ? ?a m a n ? a m?n (a ? 0, m, n ? R ) ? ? 指数函数 ? ? m n ? 性质 ?( a ) ? a mn ( a ? 0, m, n ? R ) ? ? ? ?(ab) m ? a mb n (a ? 0, b ? 0, m, n ? R ) ? ? ? ? ? ?定义:一般地把函数y ? a x (a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ?指数函数 ? ? ?性质:见表1 ?

x 2.指数函数:y ? a (a ? 0且a ? 1)的图像及性质 (表1)

函数 图像

y ? a x (0 ? a ? 1)

y ? a x (a ? 1)

定义域
值域 单调性 过定点 取值范围 x>0 y x<0 y 减函数

R

? 0, ???
增函数

(0,1)
x>0 y x<0 y

二、1.对数的性质: ① 真数 N>0 (负数和零无对数);


log a 1 ? 0 0

; ④ 对数恒等式: log a N a

log a a ? 1 1 x ?N loga a ? x N



2. 运算性质: ① loga (M ? N ) ? loga M ? loga N; M ? log a M ? log a N ; ② log a N
③ loga

(1) (2) (3)

n log a m b ? log a b m
n

log c b ④ 换底公式: a b ? log (a, c ? 0且a, c ? 1, b ? 0) log c a

n ? n log M ;(a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) M a

1 loga c ? logc a ? 1 ? loga c ? logc a

loga b ? logb c ? loga c

3.对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的图像及性质 函数 图像

y ? loga x(0 ? a ? 1)

y ? loga x(a ? 1)

定义域

? 0, ???
R
减函数 (1,0) 增函数

值域
单调性 过定点

取值范围

0<x<1 y>0 x>1 y <0

0<x<1 y<0 x>1 y >0

口诀:同正异负

? ?零点:对于函数y ? f(x), 我们把使f ( x ) ? 0的实数x叫做函数y ? f ( x )的零点。 ? ?定理:如果函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f ( a ) ? f ( b ) ? 0, ?零点与根的关系 ? 那么,函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]内有零点。即存在c ? ( a , b ), 使得f ( c ) ? 0, 这个c也是方 ? ? 程f ( x ) ? 0的根。(反之不成立) ? ?关系:方程f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数y ? f ( x ) 有零点 ? 函数y ? f ( x )的图象与x轴有交点 ? ?(1) 确定区间[ a , b ], 验证f ( a ) ? f ( b ) ? 0, 给定精确度?; ? ?( 2) 求区间( a , b )的中点c ; ? ?(3) 计算f ( c ); ?二分法求方程的近似解 ? ①若f ( c ) ? 0, 则c就是函数的零点; ? ? c ? ②若f ( a ) ? f ( c ) ? 0, 则令b ? (此时零点x0 ? ( a , b )); ? c ? ③若f ( c ) ? f ( b ) ? 0, 则令a ? (此时零点x0 ? ( c , b )); ? ?( 4) 判断是否达到精确度?:即若 a - b ? ? , 则得到零点的近似值a (或b ); 否则重复 2 ? 4。 ? ?

三、幂函数 :一般地,函数y ? x?叫做幂函数,x是自变量,?是常数

高中数学必修2知识点
一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) ②过两点的直线的斜率公式: k ? x2 ? x1
注意下面两点:(1)当 x1 ? x 2

直线的斜率常用k表示。即 k ? tan ? . 斜率反映直线与轴的倾斜程度。

时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°; (2)k与P1、P2的顺序无关;

(3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率k,且过点

?x1, y1 ?
y ? y1.

注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是

当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.

但因l上每一点的横坐标都等于 1 , 所以它的方程是 1 ②斜截式: y ? kx ? b 直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b

x

x?x

y ? y1 x ? x1 ? ③两点式: ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ?? x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1
x y ④截距式: ? ? 1 其中直线l与x 轴交于点(a,0),与 y轴交于点(0,b) a b 即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式:Ax ? By ? C ? 0 (A,B不全为0)

(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线

(一)平行直线系
(A , B (1)平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 0 0 是不全为0的常数)的直线系:

A0 x ? B0 y ? C ? 0
(2)过两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ??A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ? 为参数),其中直线不在直线系中。 (
: y ? k 2 x ? b2 时,

(6)两直线平行与垂直 当l1 : y ? k1 x ? b1 l 2

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2
l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否

(7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点坐标即方程组

特殊的当 l1

A1 B1 ? (1)唯一解 ? l1与l2相交 ? A2 B2

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

? l2时 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0

? l1 // l2 ? A1 ? B1 ? C1 (2)方程组无解 A2 B2 C2

A1 B1 C1 (3)方程组有无数解 ? l1与l 2重合 ? ? ? A2 B2 C2

B (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的两个点,则

| AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
(9)点到直线距离公式:一点

P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0

的距离

d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

(10)两平行直线距离公式

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0

d?

C1 ? C2 A2 ? B2

二、圆的方程

1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,
定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a ?
2
2

? ? y ? b? ? r 2
2

圆心

?a, b ?

半径为r;

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? D E? 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 方程表示圆,此时圆心为 ? ? ,? ?
2

?

2

2?

半径为 r ? 1 当

D ? E ? 4F ? 0
2 2

2

D 2 ? E 2 ? 4F

时,表示一个点;



D 2 ? E 2 ? 4F ? 0

时,方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法:

一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件, 若利用圆的标准方程,需求出a,b,r; 若利用一般方程,需要求出D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质: 如弦的中垂线必经过原点, 以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况 (1)设直线 l : 圆心

?a, b ? 到l的距离为

Ax ? By ? C ? 0 圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2
d? Aa ? Bb ? C A ?B
2 2

则有

d ? r ? l与圆C相离 d ? r ? l与圆C相切 d ? r ? l与圆C相交

(2)设直线

l : Ax ? By ? C ? 0



C : ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令 其中的判别式为

? 则有

? ? 0 ? l与C相离 ? ? 0 ? l与C相切 ? ? 0 ? l与C相交
(3)过圆上一点的切线方程: 2 2 2 ①圆 圆上一点为 1 2 (课本命题). 0 0

C :x ?y ?r xx ? yy ? r
2

?x0 , y0 ?

则过此点的切线方程为

C1 : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 圆上一点为 ?x0 , y0 ? 2 则过此点的切线方程为 ?x ? a ??x0 ? a ? ? ? y ? b?? y0 ? b? ? r
②圆
2 2

4、圆与圆的位置关系:

通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆 (1)当 (2)当 (3)当
2 2

C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r 2 C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2

d ? R?r
d ? R?r

时两圆外离 时两圆外切,连心线过切点

R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦

(4)当
(5)当

d ? R?r

时,两圆内切,连心线经过切点 时,为同心圆。

d ? R ? r 时,两圆内含; d ? 0

三、立体几何
1、空间几何体的三视图 (长对正,高平齐,宽相等) 正视图(光线从几何体的前面向后面正投影); 侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 2、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变; ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。

S视 S原

?

1 2 2

3、柱体、锥体、台体的表面积与体积

1 .S圆柱侧 ? 2?rh S圆柱表 ? 2?r?r ? l ? ) 2)S圆锥侧面积 ? ?rl S圆锥表 ? ?r?r ? l ?
了解: S圆台侧面积 ? (r ? R)?l
S圆台表 ? ? r ? rl ? Rl ? R
2

特殊几何体表面积公式(h为高, l为母线)

?

2

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

(1)V柱 ? Sh

1 ' ' (3)V台 ? (S ? S S ? S )h 3

1 (2)V锥 ? Sh 3

(4)球体的表面积和体积公式:

4 3 V球 = ? R 3
2

S表 =4? R
2 2

2

如果长方体的长宽高分别为a、b、c,则它的外接球的直径为

d ? a ?b ?c

1.直线与平面平行的判定定理:
平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行,则该直线与此平面平行 .
(线线平行 ? 线面平行)

a
b

符号表示:
a ??? ? ? b ? ? ? ? a // ? ? a // b ?

直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这 条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行。 a??? , a // b a ? ?, ?

? ?? ?b
注意:
1、定理三个条件缺一不可。 2、简记:线面平行,则线线平行。

a b

?

两个平面平行的判定
判定定理:一个平面内两条相交直 线与另一个平面平行,则这两个平面平 行. P
线面平行 面面平行

? ? 符号语言: b ? ? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? ? a // ? ? ? b // ?

a??

(1)性质定理:如果两个平行平面 同时和第三个平面相交,那么它们的 交线平行.

? // ? ? ? 即: ? ? ? ? a? ? a // b ? ? ? ? ? b?
简记:面面平行,则线线平行

面面平行的几条质:
(2). 两个平面平行,其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面

? // ? ? ? ? a // ? a ???
面面平行 线面平行

a

?

?

(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等. (4)经过平面外一点只有一个平面和已知平 面平行

2.直线与平面垂直判定定 理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直. l?a ? l ? l ?b ? a ?? ?? l ?? b ? b ?? a A ? ? a ?b ? A ?
作用: 判定直线与平面垂直. 如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线与 平面内的任一直线都垂直. a ? ? , b ? ? ? a ? b 思想: 直线与平面垂直 直线与直线垂直

平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这 两个平面垂直. β
a

符号: a?? ?? ? ? a ? 面?
线线垂直

α

A

简记:线面垂直,则面面垂直
线面垂直 面面垂直

面面垂直的性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内 垂直于交线的 直线与另一个平面垂直。
α

? ?? ? a ?? ? ? ?? a ? ? ? ? ? ? l?
a?l ? ?

a l β

面面垂直

线面垂直

3. 线面所成的角
(1)平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所 成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角∠PAO.
(2)求线面所成角的步骤如下:
P

找垂线,证线面垂直,求角

斜 线 斜 足 α A O

4、二面角的平面角:
以二面角的棱上的任意一 点为端点,在两个面内分 别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角

α β

射影

a

高一数学必修4知识点

第一章知识体系
周期现象
任意角 弧度

三角函数

三角函数线

同角三角函数关系

诱导公式 综合应用

三角函数图象和性质

正角:射线按逆时针方向旋转形成的角 1.任意角的概念 负角:射线按顺时针方向旋转形成的角 零角:射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的正半轴 终边落在第几象限就是第几象限角

? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ? 3 . 终边与 角a相同的角

?

?

1.1.2弧度制
? n ( 2)“角化弧”时,将 乘以 180 180 将 ? 乘以 ; ?
(3)弧长公式:l (1) 180 ? ? 弧度;
?

;“弧化角”时,

? a?r

1 1 2 扇形面积公式: ? lr ? r ?(其中 l为圆心角? 所 S 2 2
对的弧长,? 为圆心角的弧度数, r 为圆半径.)

写出一些特殊角的弧度数
角 度
弧 度

0

?

30? 45? 60? 90? 120? 135? 150?180? 270? 360?

0

? 6

? 4

? ? 3 2

2? 3? 5? 3 4 6

?

3? 2? 2

1、任意角三角函数的定义 设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么: 1) y叫做?的正弦,记作sinα y P(x,y) 2) x叫做?的余弦,记作cosα

3) y 叫做?的正切,记作tanα x 即sinα=y,cosα=x, tanα=
可以看出,当 ? ?

?

o

1

x

?
2

y (x≠0). x

? k? (k ? Z ) 时,?的终边在y轴上,

y 无意义。 此时点P的横坐标x等于0,所以tanα = x

已知角?终边上任一点P (x, y),

r ? x2 ? y 2

y P(x,y)

y sin ? ? r x cos ? ?
r

r

? o

y tan ? ? x

x

(+ ) ( )

(+ ) ( )

( )

-

(+ )

( )

-

(+ )

-

-

( )

-

(+ )

(+ )

( )

-

y ?  a ? sin r

x    a ? cos r

y    a ? tan x

口诀:一全二正弦,三切四余弦

小结
1.已知sinα(或cosα)求其它 sin2 ? ? 1 ? cos2 ?
sin2 ? ? cos2 ? ? 1

cos2 ? ? 1 ? sin2 ?

sin? ? ? 1 ? cos2 ? cos? ? ? 1 ? sin2 ?

sin ? tan ? ? cos ?

2.已知tanα,求sinα,cosα
y tan ? ? x

3.注意分象限讨论

公式一:

sin( ? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan( ? ? 2k? ) ? tan ?

公式五:

sin(

?
2

- ? ) ? cos? - ? ) ? sin ?

公式二:

sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?

cos(

?
2

公式三:

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

公式六:

sin(

?
2

?? ) ? cos? ? ? ) ? -sin ?

cos(

?
2

公式四: sin( ? ? ? ) ? sin ?

cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

一~四函数名不变,五六函数名改变,符号看象限.

三角函数图像和性质 一.图象
1.正弦曲线 y
1
-4? -3? -2?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

2.余弦曲线

y
1

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

3.正切曲线
y

y ? tan x

?

??
2

??

?? 2

o

?
2

?

??
2

x

性质

y=sinx

y=cosx

y=tanx
{x | x ?

定义域
值域 奇偶性

R
[-1,1]

R
[-1,1]

?
2

? k? , k ? Z }

R 奇函数
增区间:

奇函数
增区间:
? ? ? ? ? +2k? , ? 2k? ? ( k ? Z ) ? 2 2 ? ?

偶函数
增区间:

单调性

?? ? ? 2k? , 2k? ?(k ? Z )? ? ? +k? , ? ? k? ? (k ? z) ? ?
减区间:

减区间:
3? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ? ( k ? Z ) ?2 2 ? ?

? 2

2

?

? 2 k? , ? ? 2 k? ? ( k ? Z ) ?

周期性

T ? 2?

T ? 2?
2 ? k? , 0)( k ? Z )

T ??
对称中心:

对称性

? 对称中心:k? ,0)(k ? Z ) 对称中心: ( (

对称轴: ? ? ? k? ( k ? Z ) 对称轴: x ? k? (k ? Z ) x 2

(

k? , 0)( k ? Z ) 2

? f ( x) ? A sin( ?x ? ? )( A ? 0,? ? 0, ? ? ) 2 A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称 为“振幅”
T:
T? 2? ?

往复振动一次所需的时间,称为“周期”

f:f

?

1 ? 单位时间内往返振动的次数,称为“频率 ? T 2?

?x ? ?:称为相位

? :x = 0时的相位,称为“初相”

例1 如图某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y ? A sin(? x ? ? ) ? b 似满足函数 写出这段曲线的函数解析式. 30
解: 从图中可以看出,从6~14时的图象是函数 的半个周期的图象,
1 所以,A ? ? 30 ? 10 ? ? 10, 2
20 10 0 6 10 14 x

1 b ? 2 ? 30 ? 10 ? ? 20

? 3? 1 2? ? ? 14 ? 6 ? ? ? . 将x ? 6, y ? 10代入上式,解得?= . 8 4 2 ?

小结:

3? 综上,所求解析式为y ? 10sin( x ? ) ? 20, x ? ? 6,14? 8 4
1 A ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? ? 2?

?

1 b ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 利用T ? 2?

?

2?

利用最低点或最高点在图象上,该点的坐标满足函数解析式可求得?

?

,求得?

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?
2

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?
tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?

? 2.? sin ? ? ? cos ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? 其中 tan ? ? ?
2

3.二倍角的正弦、余弦和正切公式:

() 2? ? 2sin ? cos ? 1 sin (2) 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? cos

cos 2? ? 2cos ? ? 1
2

cos 2? ? 1 ? 2sin ?
2

2 tan ? (3) 2? ? tan 2 1 ? tan ?

cos 2? ? 1 cos ? ? 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2
2

1长度为0的向量叫做零向量,记作0。

长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。

长度为0, 方向任意

平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 平行向量又叫做共线向量

规定:0与任一向量平行。
相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接,首尾连 C ? ? ? a?b b
A

2.向量加法平行四边形法则:
B

? a
? ? ? a?b b

C 特点:共起点

? b

? a

B

O

? a

A

? a

3.向量减法三角形法则:

? b

B

? A b 特点:共起点,连终点,方向指向被减向量
O

? a

??? ? ? ? BA ? a ? b

? ? ? ? ? ? ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b

? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a
②结合律:

?

? ? ? ? ? ? a ?b ?c ? a ? b ?c

?

?

?

设 ? , ? 为实数,那么

? ? (1)? ( ? a) ? (?? )a; ? ? ? (2)(? ? ? )a ? ? a ? ? a; ? ? ? ? (3)? (a ? b) ? ? a ? ? b.

⑶向量共线定理
? ? ? ? ? ? 如果a(a ? 0)与b共线,那么有且只有一个实数?,使b ? ? a.

? ? ? ? 当 ? ? 0 时, b 与 a 同向, 且 | b |是| a | 的 ? 倍; ? ? ? ? 当 ? ? 0 时, b 与 a 反向, 且 | b |是| a | 的| ? | 倍; ? ? ? 当 ? ? 0 时, b ? 0 ,且 | b |? 0 。

平面向量基本定理:
?? ?? ? 如果e1、是同一平面内的两个不共线的向量, e2 ? 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 实数?1、?2,可使 ? ?? ?? ? a ? ?1 e1 +?2 e2

? ?? ? ? 这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底.

特别地,若 ? 0, 则有且只有: a

?1 ? ?2 ? 0, 使得0 ? ?1 e1 ? ?2 e2
若 ?1 与 ?2 中只 有一个为零,情 况会是怎样?

特别地,若 与e1 (e2 )共线,则有 2 ? (?1 ? 0) a ? 0

使得a ? ?1 e1 ? ?2 e2

平面向量的坐标表示
?? 如图,i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 ?? 的单位向量,若以 i, j 为基底,则 ? 对于该平面内的任一向量 a ,

y

a
C
A

D

有且只有一对实数x、y,可使 ? ? ? a ? xi +y j

j o i

x
B

这里,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的(直角) ? 坐标,记作 a ? ( x, y) ① 其中,x叫做 a 在x轴上的坐标,y叫做 a 在y轴上的坐标, ①式叫做向量的坐标表示。

i? (1,0)

j? (0,1)

(0,0) 0?

若a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),

? a ? (? x1 , ? y1 )
若A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ), 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
? ? ? ? a / /b(a ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量a与b的夹角。
B 同一 起点 O

θ O A B

A

当θ=0°时,a与b同向;

当θ=180°时,a与b反向; A 当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.
B

O
b O a A

B

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。

a ? b ?| a || b | cos ?

?

?

?

?

? ? 是非零向量 设 a、b ? ? ? ? (1)a ? b ? a ? b ? 0
? ? ? ? ? ? (2)当a与b 同向时, a ? b ?| a || b |;
? ? ? ? ? ? 当a与b 反向时,a ? b ? ? | a || b |;

O

θ

b

B

B1 a

A

? ? ?2 ?2 ? ? ? 特别地 a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ? a ? ? ? ? ? ? a ?b (3) cos? ? ? ? (4) | a ? b |?| a || b |
| a || b |

b
O

B

θ |b|cosθ B1 a

A

? 的长度 ? ? ? ? ? | a |与 b 在a方向上的投影 a ? b 等于 a
? | b | cos? 的乘积。

二、平面向量的数量积的运算律:

数量积的运算律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)(?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? 其中, 、b 、c 是任意三个向量, a ??R
? ? ? ? ? ? 注: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

例 3:求证:(1)(a+b)2=a2+2a· 2; b+b

(2)(a+b)· (a-b)=a2-b2. 证明:(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b) =(a+b)· a+(a+b)· b
=a· a+b· a+a· b+b· b =a2+2a· 2. b+b 证明:(2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b

=a· a+b· a-a· b-b· b
=a2-b2.

1.故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即
设两个非零向量 a =(x1,y1), b=(x2,y2),则

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

2、向量的模和两点间的距离公式
(1) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a;

(1)向量的模 设a ? ( x, y ), 则 a ? x ? y , 或 a ?
2 2 2 2 2

x ?y ;

(2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? y1 ? y2 ) (
2 2

3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0

设a ? x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 ( a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(2)平行

设a ? x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 ( a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为?(0 ? ? ? 180 ),
? ?

则 cos ? ?

a ?b ab

设a ? x1 , y1 ), b ?( x2 , y2 ), 且a与b夹角为?, ( (0 ? ? ? 180 )则 cos ? ?
? ? 2 1 2 1 2 2

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

.

其中 x ? y ? 0, x ? y ? 0.

高一数学必修3知识点
算法

算法的描述

自然语言

流 程 图

伪 代 码

顺 序 结 构

选 择 结 构

循 环 结 构

顺 序 结 构

选 择 结 构

循 环 结 构

输 入 输 出 语 句

赋 值 语 句

条 件 语 句

循 环 语 句

? 1.算法的基本概念 (1)算法定义描述:在数学中,现代意义上的“算 法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题 的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有 效的,而且能够在有限步之内完成. (2)算法的特性: ? ①有穷性:一个算法的步骤序列是有限的,它应 在有限步操作之后停止,而不能是无限的. ? ②确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能 有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱 两可. ? ③可行性:算法中的每一步操作都必须是可执行 的,也就是说算法中的每一步都能通过手工和机 器在有限时间内完成. ? ④输入:一个算法中有零个或多个输入.. ? ⑤输出:一个算法中有一个或多个输出.

知识梳理

知识梳理
? 2.四种基本的程序框
程序框 名称 起止框 功能

表示一个算法的起始和结束,是任 何流程图不可少的。

表示一个算法输入和输出的信息, 输入、输出框 可用在算法中任何需要输入、输出 的位置。 处理框 赋值、计算,算法中处理数据需要 的算式、公式等分别写在不同的用 以处理数据的处理框内。 判断某一条件是否成立,成立时在 出口处标明“是”或“Y”;不成立 时标明“否”或“N”。

判断框

3.三种基本逻辑结构
? (1)顺序结构 顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤 组成.
输入

语句

输出

(2)条件结构
? 根据条件判断,决定不同流向
否 满足条件? 是 语句2 语句

满足条件?
是 语句1



(3)循环结构
? 从某处开始,按照一定条件,反复 执行某一处理步骤. ? ①当型(WHILE型)循环; ? ②直到型(UNTIL型)循环;

循环体
满足条件? 否

循环体



满足条件?




4.五种基本算法语句
(1)输入语句的一般格式:Input “提示内容”; 变量 “提示内容”可以省略,多个变量中间用 逗号隔开。 (2)输出语句的一般格式:Print “提示内容”;表 达式 “提示内容”可以省略。 (3)赋值语句的一般格式是:变量=表达式,作用 是将表达式所代表的值赋给变量。

(4)条件语句
? IF-THEN-ELSE格式
IF 条件 语句1 ELSE 语句2 END IF THEN
满足条件? 是 否

语句1

语句2

? IF-THEN格式
IF 条件 语句 END IF THEN
满足条件? 否 语句 是

(5)循环语句
? ①WHILE语句
WHILE 条件 循环体 WEND
循环体
满足条件?





? ②Until语句
Do 循环体 Loop Until 条件
循环体


满足条件? 是

5.三个算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术 案例2 秦九韶算法 案例3 进位制

统计
总体 抽样
简 单 随 机 抽 样

分析
分 层 抽 样 样 本 分 布

估计
相 关 关 系
总 相 体 关 特 征 关 数 系

系 统 抽 样

样 本 特 征 数

总 体 分 布

在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.

把每个研究对象叫做个体.
把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体的有关性质,一般从总体中随 机抽取一部分研究,我们称它为样本.其中 个体的个数称为样本容量.

一、简单随机抽样
一般地,设一个总体的个体数为N,如果通过逐个 不放回地抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时 各个个体被抽到的机会相等,就称这样的抽样为简单随 机抽样。
注意以下四点: (1)它要求被抽取样本的总体的个体数有限; (2)它是从总体中逐个进行抽取; (3)它是一种不放回抽样; (4)它是一种等概率抽样。

简单随机抽样是在特定总体中抽取样本,总体中每一 个体被抽取的可能性是等同的,而且任何个体之间彼此被 抽取的机会是独立的。如果用从个体数为N的总体中抽取 n 一个容量为n的样本,那么每个个体被抽取的概率等于
N

抽签法 步骤: ①给总体中的每个个体编号;

②制作号签;
③将号签搅拌均匀;

④连续不放回地逐一抽出所需数量个体;
⑤将与抽到的签编号相一致的个体取出。

优点: 简单易行
缺点:“搅拌均匀”难度大,且样本代表性 差的可能性很大。

随机数表法

步骤:
①给总体中的每个个体编号(每个号码位数尽量一致);

②在随机数表中任选一个数(设定这个数的行数和列 数);
③从选定的数开始按一定的方向(向左、向右、向上、 向下)读数,把适合总体编号的每个号码依次取出,直 到满足样本容量的数目为止; ④根据选定 的号码抽出样本。 优点:简单易行,解决了抽签法当总体中的个体数 较多时制签难的问题。

缺点:当总体的个体数很多,需要的样本容量也很 大时,此法不方便。

二.系统抽样 将总体平均分成几部分,然后按照一定的规 则,从每一部分抽取一个个体作为样本,这种抽 样的方法叫做系统抽样。
一般步骤为: (1)将总体中的N个个体编号.有时可直接利用个体 自身所带的号码,如学号、准考证号、门牌号等; (2)确定分段间隔k(k=n/N),对编号进行分段. (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体的编 号l(l≤k)。 (4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 l加上间隔k得到第2个个体编号l+K,再加上K得到第3个 个体编号l+2K,这样继续下去,直到获取整个样本.

三、分层抽样的步骤:
(1) 将总体按一定的标准分层; (2)计算各层的个体数与总体的 个体数的比; (3)按各层个体数占总体的个 体数的比确定各层应抽取 的样本容量;

开始 分层 计算比

确定各层抽取容量
抽样 组样 结束

(4)在每一层进行抽样;(可用简单 随机抽样或系统抽样) (5)综合每层抽样,组成样本.

用样本估计总体

画频率分布直方图的步骤
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1 2、决定组距与组数 组距:指每个小组的两个端点的距离,组距 组数:将数据分组,当数据在100个以内时, 按数据多少常分5-12组。 组数= 极差 ? 4.1 ? 8.2 组距 0.5 (8.2取整,分为9组) 3、 将数据分组

4、列出频率分布表.(学生填写频率/组距一栏) 5、画出频率分布直方图。

茎叶图
甲 乙

8

0 1

4 6 3
3 6 8

2 5
5 4

2
3

3 8 9

1 6 1 6 7 9
4 9

4 1
5

0

众数、中位数、平均数
众数:在一组数据中,出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数.
中数:将一组数据按大小依次排列, 把处在最中间位置的一个数据(或最中 间两个数据的平均数)叫做这组数据的 中位数. 平均数: 一组数据的算术平均数,即 x=
1 ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) n

标准差.
? ? ? 1? 2 2 2? s? ?( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) ? . n? ?

标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数 周围的程度.标准差越大,表明各个样本数据在 样本平均数的周围越集中;反之,标准差越小, 表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散.

两个变量的线性关系
1、散点图
正相关、负相关。 2、回归直线方程 (1)回归直线:观察散点图的特征,如果各点 大致分布在一条直线的附近,就称两个变量之间 具有线性相关的关系,这条直线叫做回归直线。

(2)最小二乘法

求线性回归直线方程的步骤:

第一步:列表 x , y , x y ;
i i i i

第二步:计算

x, y, ? xi , ? xi y
2 i ?1 i ?1

n

n

i



第三步:代入公式计算b,a的值;

?

b?

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? n x y
i ?1 i i

n

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

i ?1 n

i

i

2

? x ? nx
i ?1 2 i

,
2

a ? y ? bx

第四步:写出直线方程

y=bx+a。

概率
随机事件的概率
古典概型

几何概型

概率的意义
事件的关系和运算:
(1)包含关系: 若事件A发生,事件B就一定发生,则 B ?

A

(2)相等关系: 若B

? A 且A ? B , 则A=B

(3)并事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件 A 发生或事件 B发生, 则 I ? A? B (4)交事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件A发生且事件B发生, 则 I ? A? B

(5)互斥事件: 事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生

A? B ? ?

(6)互为对立事件: 事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一 个发生. A ? B ? ?且 A ? B是必然事件

概率的几个基本性质
(1)、对于任何事件的概率的范围是: 其中不可能事件的概率是P(A)=0 必然事件的概率是P(A)=1 不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况 (2)、当事件A与事件B互斥时,A∪B的频率 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B) 0≤P(A)≤1

由此得到概率的加法公式: 如果事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B)
(3)、特别地,当事件A与事件B是对立事件时,有 P(A)=1- P(B)

古典概型
基本事件的特点:
(1)任何两个基本事件是互斥的; (2) 任何事件都可以表示成基本事件的和。

特点是:
(1) 试验总所有可能出现的基本事件只 有有限个; (2) 每个基本事件出现的可能性相等。 我们将具有这两个特点的概率模型 称为古典概率模型,简称古典概率。

对于古典概型,任何事件的概率为: P(A)=A包含的基本事件的个数(m) 基本事件的总数(n)

几何概型
? 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概 率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

? 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无 构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A)限多个. ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积) (2)每个基本事件出现的可能性相等.
概率为0的不一定是不可能事件,概率为1的不一定 是必然事件。

在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:


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