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上海市川沙中学2014学年高一第一学期期中测试数学试卷

上海市川沙中学2014学年高一第一学期期中测试数学试卷

上海市川沙中学 2014 学年高一第一学期期中测试 数 学 试 卷
一.填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,填对得 3 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? ?0, 2? ,则集合 A 的子集个数为 . 2.命题“末尾数是 0 的整数, 可以被 5 整除”的逆命题是 3.已知实数 a, b, x 满足 a ? x ? 1, b ? x ,则 a 与 b 的大小关系是 a
2

.

b.

4.不等式

1 1 ? 的解集是 x 2
2

.

5.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? x | ?2 ? x ? ? ? ,则 a ? b ?

? ?

1? 4?

.

? x ? 1? 6.函数 y ?

0

x ?x

的定义域是

.

2 7.集合 A ? x | ? a ? 1? x ? 3 x ? 2 ? 0 有且仅有两个子集,则 a ?

?

?

.

8.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | x ? a?, B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ,且 A ?U B ? R ,则实数 a 的取值范围 是 . .
2 9.已知全集 I ? R ,集合 A ? x | x ? 2 x ? a ? 0 ? ?, B ? x | 2008 ? x ? 0 ,则 A

?

?

?

?

B 中所有元素

的和是

2 2 10. 若 关 于 x 的 不 等 式 x ? 2 x ? 3 ? a ? 2a ? 1 在 R 上 的 解 集 为 ? , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .

11.若 0 ? x ? 1 ,则函数 f ? x ? ? 12.若集合 A 1, A 2 满足 A 1

2 8 ? 的最小值是 . x 1? x A2 ? A ,则称 ? A1, A2 ? 为集合 A 的一种分拆.并规定:当且仅当 A1 ? A2 时,
种.

? A1, A2 ? 与 ? A2 , A1 ? 为集合 A 的同一种分拆.请回答:集合 A ? ?1,2,3? 的不同分拆有
二.选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 3 题,选对得 4 分,否则一律得零分. 13.下列各组函数是同一函数的是: ( ) ① f ? x? ?

?2 x3 与 g ? x ? ? x ?2 x ;

② f ? x? ? x 与 g ? x ? ?

x2 ;

③ f ? x ? ? x0 与 g ? x ? ?

A.①②

14.已知 a, b, c ? R ,下列给出四个命题:其中假命题是

1 ; x0 B.①③

④ f ? x ? ? x2 ? 2x ?1 与 g ?t ? ? t 2 ? 2t ?1 .

C.③④

D.①④

2



A.若 a ? b ? c ? 0 ,则 ac ? bc ;

C.若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 ; 15.若非空集合 A, B, C 满足 A B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则 A.“ x ? C ”是“ x ? A ”的充分条件但不是必要条件 B.“ x ? C ”是“ x ? A ”的必要条件但不是充分条件 C.“ x ? C ”是“ x ? A ”的充要条件 D.“ x ? C ”既不是“ x ? A ”的充分条件也不是“ x ? A ”的必要条件
16.下列四个命题中: ① a, b ? R, a ? b ? 2 ab ; ②y?

1 ?3; a ?2 D.若 a ? 0, b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab .

B.若 a ? R ,则 a 2 ? 2 ?





x2 ? 3 ?

1 x ?3
2

的最小值为 2; 1

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为 16; x y ④若 x, y ? R, ? ? 0 , x ? 2 ? ? , y ? 2 ? ? ,则 x ? y ? 2? .
③设 x, y 都是正整数,若 其中所有真命题的个数是 ( ) A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 三.解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.(本题满分 8 分) 已知 A ? x | x 2 ? 9 , B ? ? x | (1)求 A

?

?

? ?

x?7 ? ? 0? , C ? ?x | x ? 2 ? 4? . x ?1 ?

B及 A C ; (2)若 U ? R ,求 A ?U ? B C ? .

18.(本题满分 10 分)

2 2 2 已知集合 A ? x | x ? 6 x ? 5 ? 0, x ? R , B ? x | x ? 3ax ? 2a ? 0, x ? R .

?

?

?

?

(1)若 A B ? ? ,求实数 a 的取值范围; (2)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.

2

19.(本题满分 10 分)

某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每年生产 x 千件 ,需另投入成本为 C ? x ? ,当年产量不 ..

足 80 千件 时,C ? x ? ? ..

1 2 10000 x ? 10 x(万元) ? 1450 . . 当年产量不小于 80 千件 时,C ? x ? ? 51x ? .. 3 x

每件 商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. .. (1)写出年利润 L ? x ? (万元)关于年产量 x(千件 )的函数解析式; .. (2)年产量为多少千件 时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? ..

20.(本题满分 12 分) 已知 a, b, c ? ? 0,1? . (1)求证: a ? b ? ab ? 1 ; (2)利用(1)的结论证明: a ? b ? c ? abc ? 2 ; (3)由(1) (2)写出推广的结论(不必证明).

3

21.(本题满分 12 分)

已知关于 x 的不等式 kx2 ? 2x ? 6k ? 0 ? k ? 0? .

(1)若不等式的解集为 ?x | 2 ? x ? 3? ,求实数 k 的值; (2)若不等式对一切 2 ? x ? 3 都成立,求实数 k 的取值范围; (3)若不等式的解集为集合 ?x | 2 ? x ? 3? 的子集,求实数 k 的取值范围.

4

上海市川沙中学 2014 学年高一第一学期期中测试
参考答案及评分标准
一. 填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1 2 3 4 5 6 题号 答案 题号 答案 4 7 1 或? 8

?
9 2006 或 2007 或 ?2

? ??,0? ? 2, ???
10

5 11 18

? ??, ?1? ? ?1,0?
12 27

5 4

?2, ???

? ?1,3?

2.【答案】可以被 5 整除的整数,末尾数是 0. 9.【解析】由题意可知 B ? ?2008? , 1)若 A 中有两个相等的实数根,则 A ? ??1? ,此时 A 2)若 B ? ?2008? ? A ,则 A

B ? ??1,2008? ,所有元素之和为 2007;

B ? A ,由韦达定理可知,所有元素之和为 ?2 ;

3)若 A 中有两个不相等的实数根,且 B ? A ,则由韦达定理可知,所有元素之和为 2006 . 12.【解析】①若 A ? ?a1, a2 , a3? 时,B 可以是 A 的任何子集,因此配对的个数有 8 个; ②若 A 是 ?a1 , a2 , a3? 的两个元的子集, 则 B 至少含有 ?a1 , a2 , a3 ? 中余下的一个元, 因此配对的个数为:
0 1 2 C32 ? C2 ? C2 ? C2 ? ? 12 ;

③若 A 是 ?a1 , a2 , a3? 的一个元的子集, 则 B 至少含有 ?a1 , a2 , a3 ? 中余下的两个元, 因此配对的个数为:
1 C3 ? C10 ? C11 ? ? 6 ;

④若 A ? ? 时, B ? ?a1, a2 , a3? ,仅有 1 对,故 ? A, B ? 配对共有 27 个. 【注】一般地,若 A 其中 A
n n n?1 n?1 0 0 2 ? Cn 2 ???? ? Cn 2 ? 3n 个, B ? ?x1, x2 , ???, xn ? ,则 ? A, B ? 配对有: Cn

0 1 n B ? ? 的配对有 Cn ? Cn ???? ? Cn ? 2n 个.

二.选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,选对得 3 分,否则一律得零分. 题号 答案 13 14 15 16

C

B

B

B

16. 【解析】 ①②两个显然不对, 对于③, ? 当 x ? 2 时, y ? 18 ,此时 x ? y ? 20 ;

1 x

9x 9 , x, y ? N * , ? 1, x, y ? N* , 显然 x ? 1 , 整理得:y ? x ?1 y

当 x ? 3 时,x 与 x ? 1 互质,因此必然有 x ? 1 是 9 的因数,故 x ? 1 ? 3,9 ? x ? 4,10 , 当 x ? 4, y ? 12 时, x ? y ? 16 ;当 x ? 10, y ? 10 时, x ? y ? 20 . 故 ? x ? y ?min ? 16 ,③是正确的. 对于④,由 x ? 2 ? ? , y ? 2 ? ? ,则 x ? 2 ? y ? 2 ? 2? , 又 x ? 2 ? y ? 2 ? ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? x ? y , 由 x ? 2 ? y ? 2 ? 2? ,必然有 x ? 2 ? y ? 2

?

?

min

? 2? ,即 x ? y ? 2? ,故④正确.

三.解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.解: (1) A B ? ?3,7? , A C ? ? ??, ?2? ? ?2, ??? ; (2) A C ? ? ??, ?3?

?6, ??? .

18.解: (1) a ? ? ??,0?

(2) a ? ?0? ?5, ??? ;

? 5? 1, . ? ? 2? ?
5

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, 0 ? x ? 80 ? ? 3 19.解: (1) L ? x ? ? ? . 10000 ? ?? ? ?x? ? ? 1200, x ? 80 ? x ? ? ?
(2)当年产量为 100 千件时,利润最大,最大利润为 1000 万元. 20.解: (1)∵ a, b ? ? 0,1? ,∴ a ? 1 ? 0,1 ? b ? 0 , ∴ a ? b ? ? ab ? 1? ? a ?1? b ? ? ?1? b ? ? ?1? b ? ? ? a ?1??1? b ? ? 0 , ∴ a ? b ? ab ? 1 . (2)∵ a, b, c ? ? 0,1? ,∴ ab ? ? 0,1? , c ? ? 0,1? ,由(1)得:

a ? b ? c ? ? ab ? c ? ?1 ? abc ?1?1 ? abc ? 2 .
(3)猜想:一般地,若 a1 , a2 , a3 ,?, an ? ? 0,1? , 则有 a1 ? a2 ? a3 ? 21.解: (1) k ?

? an ? a1a2a3

an ? ? n ?1? .

2 (3)设 A ? x | kx ? 2 x ? 6k ? 0, k ? 0 ,由题意得: A ? ?x | 2 ? x ? 3? ,

?

2 ? 2? ; (2) k ? ? 0, ? ; 5 ? 5?

?

?? ? 4 ? 24k 2 ? 0 6 ①当 A ? ? 时,显然满足题意,此时 ? ; ?k ? 6 ?k ? 0 ? 6? 2 ②当 A ? ? ,即 k ? ? 0, ? 6 ? ? 时,令 f ? x ? ? kx ? 2x ? 6k ? 0, k ? 0 ,则只需: ? ? ? ? f ? 2? ? 0 ? ?2 6 ? ? 6? ?2 1 ? 0, ,所以 k ? ? , ? ? ? f ? 3? ? 0 ? k ? ? , ? ,又 k ? ? ?, ? 6 ? 5 6 5 2 ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 1 ? 3 k ? ?2 ? 综上所述,k 的取值范围是 ? , ?? ? . ?5 ?

6


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