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2019高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课时作业 新人教A版选修1-1

2019高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课时作业 新人教A版选修1-1

3.4

生活中的优化问题举例

【选题明细表】 知识点、方法 几何中的最值问题 用料最省、费用最省问题 利润最大问题 其他问题 【基础巩固】 题号 1,4,10 6,8,11 5,7,9 2,3

1.一个箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x ( 时,x 的值为( B ) (A)30 (B)40 (C)50 (D)60

2

)(0<x<60),则当箱子的容积最大

解析:V(x)=- x +30x ,V′(x)=- x +60x, 令 V′(x)=0,得 x=40(x=0 舍去),且当 0<x<40 时, V′(x)>0,当 40<x<60 时 V′(x)<0,故 V(x)在 x=40 时取得最大值.故选 B. 2.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油温度(单

3

2

2

位:℃)为 f(x)= x -x +8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是( C

3

2

)

(A)8

(B)

(C)-1

(D)-8
2 2

解析:原油温度的瞬时变化率为 f′(x)=x -2x=(x-1) -1(0≤x≤5),所以当 x=1 时,原油温度 的瞬时变化率取得最小值-1.故选 C. 3.将 8 分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为( B ) (A)2 和 6 (B)4 和 4 (C)3 和 5 (D)以上都不对 3 3 3 2 解析:设一个数为 x,则另一个数为 8-x,其立方和 y=x +(8-x) =8 -192x+24x 且 0≤x≤8,y′ =48x-192. 令 y′=0,即 48x-192=0,解得 x=4.当 0≤x<4 时,y′<0;当 4<x≤8 时,y′>0,所以当 x=4 时,y 取得极小值,也是最小值.故选 B. 4.如果圆柱轴截面的周长 l 为定值,则体积的最大值为( A )

(A)( ) π

3

(B)( ) π

3

(C)( ) π

3

(D) ( ) π

3

解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,体积为 V,

则 4r+2h=l,所以 h=

,
1

V=π r h= π r -2π r (0<r< ).则 V′=lπ r-6π r ,

2

2

3

2

令 V′=0,得 r=0 或 r= ,而 r>0,

所以 r= 是其唯一的极值点.所以当 r= 时,V 取得最大值,最大值为( ) π .故选 A. 5.(2018·石家庄高二质检)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利 率的平方成正比,比例系数为 k(k>0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷 出去.若存款利率为 x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为( A ) (A)3.2% (B)2.4% (C)4% (D)3.6% 2 3 解析 : 依题意知 , 存款额是 kx , 银行应支付的存款利息是 kx , 银行应获得的贷款利息是 2 2 3 2 0.048kx ,所以银行的收益是 y=0.048kx -kx (0<x<0.048),故 y′=0.096kx-3kx .令 y′=0,解 得 x=0.032 或 x=0(舍去). 当 0<x<0.032 时,y′>0;当 0.032<x<0.048 时,y′<0.因此,当 x=0.032 时,y 取得极大值,也 是最大值,即当存款利率定为 3.2%时,银行可获得最大收益.故选 A. 6.如图所示,某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁, 其他三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为 .

3

解析:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为 x 米,则长为

米,

因此新墙壁总长度 L=2x+

(x>0),

则 L′=2-

.

令 L′=0,得 x=±16. 因为 x>0,所以 x=16.

当 x=16 时,Lmin=64,此时堆料场的长为 答案:32,16

=32(米).

7.(2018·长春高二月考)某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x)=1 200+

x (万元),已知产

3

品单价的平方与产品件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,则产品件数定为 件时,总利润最大.

2

解析:设产品的单价为 p 万元,根据已知,可设 p = ,其中 k 为比例系数. 因为当 x=100 时,p=50,所以 k=250 000,

2

所以 p =

2

,p=

,x>0.

设总利润为 y 万元,

则 y=

·x-1 200-

x =500

3

-

x -1 200.

3

求导数得,y′=

-

x.

2

令 y′=0 得 x=25. 故当 x<25 时,y′>0;当 x>25 时,y′<0. 因此当 x=25 时,函数 y 取得极大值,也是最大值. 答案:25 8.(2018·南宁高二检测)现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地,已知轮船的最大航行速度为 35 海里/时,A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费 用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比 (比例系数为 0.6),其余费用为每小 时 960 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?

解:(1)依题意得 y=

(960+0.6x )=

2

+300x,

且由题意知,函数的定义域为(0,35],

即 y=

+300x(0<x≤35).

(2)由(1)知,y′=-

+300,令 y′=0, y′<0,

解得 x=40 或 x=-40(舍去). 因为函数的定义域为(0,35],所以函数在定义域内没有极值点.又当 0<x≤35 时,

所以 y=

+300x 在(0,35]上单调递减,

故当 x=35 时,函数 y=

+300x 取得最小值.

故为了使全程运输成本最低,轮船应以 35 海里/时的速度行驶. 【能力提升】

3

9.(2018·西安高二质检 ) 某商场根据以往规律预计某种商品 2018 年第 x 月的销售量 2 * f(x)=-3x +40x(x∈N ,1≤x≤12),该商品的进价 q(x)与月份 x 的关系是 q(x)=150+2x(x∈ * N ,1≤x≤12),该商品每件的售价为 185 元,若不考虑其他因素,则此商场今年销售该商品的 月利润预计最大是( B ) (A)3 120 元 (B)3 125 元 (C)2 417 元 (D)2 416 元 解析:该商场预计销售该商品的月利润为 2 g(x)=(-3x +40x)(185-150-2x) 3 2 * =6x -185x +1 400x(x∈N ,1≤x≤12), 2 g′(x)=18x -370x+1 400.

令 g′(x)=0,解得 x=5,x=

(舍去).

当 1≤x≤5 时,g′(x)>0;当 5<x≤12 时,g′(x)<0, 所以当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(元). 综上,5 月份的月利润最大,是 3 125 元.故选 B. 10.(2018·杭州高二检测)在半径为 r 的半圆内有一内接梯形,其下底为直径,其他三边为圆 的弦,则梯形面积最大时,该梯形的上底长为( D )

(A)

(B)

r

(C)

r (D)r

解析:设梯形的上底长为 2x(0<x<r),高为 h,面积为 S. 因为 h= ,

所以 S=

=(r+x)·

.

所以 S′=

-

=

=

.

令 S′=0,得 x= (x=-r 舍去),

则 h=

r.

当 x∈(0, )时,S′>0;

当 <x<r 时,S′<0.

4

所以当 x= 时,S 取极大值,也就是最大值. 所以当梯形的上底长为 r 时,它的面积最大. 【探究创新】 11.(2018·宁波高二检测)某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1(万元)与仓库到车站的距 离成反比,而每月库存货物的运费 y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米 处建仓库,y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.

解析:设仓库与车站相距 x 千米,依题意可设每月土地占用费 y1= y2=k2x,其中 x 是仓库到车站的距离,k1,k2 是比例系数,

,每月库存货物的运费

于是由 2=

得 k1=20;

由 8=10k2 得 k2= .

所以两项费用之和为 y=

+

(x>0),

y′=-

+ ,令 y′=0,

得 x=5 或 x=-5(舍去). 当 0<x<5 时,y′<0; 当 x>5 时,y′>0.所以当 x=5 时,y 取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站 5 千米处 时 ,两项费用之和最小 . 答案 :5
一、选择 题 1.下列 属于相 对脆弱 的自然 生态系 统的是( ) A.绿洲 荒漠交 界带 C.地质 灾害易 发区 解析:选 D 相 对脆弱 的自然 生态系 统常见 的有海 岛生态 系统、 干旱区 生态系 统和高 寒带生 态系统 等。 2.下列 属于非 洲的荒 漠化问 题特别 严重的 自然原 因是( ) A.气候 干旱 C.过度 放牧 解析:选 A 非 洲北部 为热带 沙漠气 候,降 水稀少 ,气候 干旱, 荒漠化 问题特 别严重 ;乱垦 滥伐、 过度放 牧和破 坏植被 为人为 原因。 新中国成 立以来 ,我国 沙漠化 土地面 积不断 扩大, 河北怀 来沙漠 离北京 天安门 已不足 70 km 。我国 形成的 沙漠化 土地有 85%是 滥垦、 滥牧和 滥伐森 林的结 果;10% 是水资 源利用 不当和 工矿建 设破坏 林草造 成的; 5%是沙 丘入侵 农田和 草场所 致。据 此完成 3~4 题。 3.这些 沙漠化 土地主 要分布 在( ) A.华南 、华东 和华北 地区 B.西北 、西南 和东北 地区 C.西北 、东北 和华北 地区 D.东北 、华北 和西南 地区 4.这些 沙漠化 土地的 形成( ) A.主要 是人类 对土地 进行不 合理的 开发和 利用, 使植被 受到破 坏所致 B.是人 类发展 工农业 所致 C.主要 是由于 降水减 少,蒸 发加剧 D.是由 于气候 干旱, 沙丘不 断向农 牧业土 地推进 解析:3. C 4.A 第 3 题,沙 漠化土 地主要 分布在 干旱、 半干旱 和具有 旱害的 半湿润 地区, 在我国 主要分 布在东 北、华 北和西 北地区 。第 4 题,由 材料可 知,我 国形成 的沙漠 化土地 有 85% 是滥垦 、滥牧 和滥伐 森林的 结果。 位于长江 中上游 的某茶 场,茶 园面积 600 亩 ,每年 四月、 七月、 十一月 要锄草 三次, 久而久 之,茶 园“消 瘦”了 。同时 ,锄草 需要大 量劳动 力,困 惑之际 ,茶场 主人想 到“羊 喜吃嫩 草,却 不吃嫩 茶” , 于是把 羊引进 茶园, 既节约 人力、 物力, 又保持 了水土 ,肥沃 了茶园 ,可谓 一举 两得。据 此完成 5~7 题。 5.长江 中上游 植被破 坏后, 给下游 地区带 来的危 害是( ) A.泥沙 淤积河 、湖, 洪水排 泄不畅 ,致使 洪涝灾 害频繁 B.水土 流失日 趋严重 C.气候 恶化, 导致全 球气候 变暖 D.河流 径流的 季节变 化减小 6.根据 长江流 域地理 特征可 以推知 ,三次 锄草中 ,水土 流失最 严重的 是( ) A.四月 、七月 C.七月 7.茶园 “消瘦 ”的主 要原因 是( ) A.缺乏 分解者 B.缺少 枯枝落 叶 C.土壤 中有机 质被微 生物分 解 D.表层 土壤被 大量冲 走 解析:5. A 6.C 7.D 第 5 题,长 江中上 游植被 破坏后 ,导致 水土流 失加重 ,河流 含沙量 增大, 因而造 成下游 淤积严 重,洪 水排泄 不畅, 致使洪 涝灾害 频繁。 第 6 题 ,长江 流域降 水夏季 最为集 中,在 暴雨冲 刷下, 水土流 失严重 ,因此 四月、 七月、 十一月 相比, 水土流 失最严 重的 是七月。 第 7 题 ,从材 料中可 以看出 茶园“ 消瘦” 的主要 原因是 水土流 失造成 的表层 土壤被 大量冲 走。 二、综合 题 B.水土 流失严 重区 D.高寒 带生态 系统 B.乱垦 滥伐 D.破坏 植被

B.四月 D.十一 月

5


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