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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:1-2-0-1 任意角的三角函数的定义

2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:1-2-0-1 任意角的三角函数的定义


成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
三角函数

第一章 三角函数

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第一章
1.2 任意角的三角函数

第一章 三角函数

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第一章
第1课时 任意角的三角函数的定义

第一章 三角函数

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第一章

1.2 第1课时

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课前自主预习

第一章

1.2 第1课时

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温故知新 1.初中我们已经学习过锐角三角函数,它们都是以锐角 为自变量的,请填好下表:

第一章

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图形

定义 sinA=____; cosA=____; a tanA=b
? π? ?0, ? 2? ?

定义域

三角函数值 的正负 sinA>0,

A∈____

cosA>0 tanA____0

a b [答案] c c

>

第一章

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2.下列题目你会做吗? (1)地球的赤道半径约为6370千米,那么赤道上1° 的圆心 角所对的弧长为________,1弧度的圆心角所对的弧长为__. (2)若角α与角β的终边关于x轴对称,则α与β的关系为__.
637π (1) 18 千米 6370千米 (2)α+β=2kπ,k∈Z

[答案]

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3.已知角α=2 rad,则角α的终边在第________象限.

[答案]



[解析]

由2×57.3° =114.6° 知在第二象限.

第一章

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4.用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为____.
π {α|2kπ+2<α<2kπ+π,k∈Z}

[答案]

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新课引入

第一章

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春暖花开,“野芳发而幽香”,夏阳似火,“佳木秀而 繁荫”,草枯草绿几度秋,冬去春来又一年,以季节为x轴, 以寒热为y轴,冷冷暖暖,一年一次循环,一年一个周期. 三个函数值中是否也有这样“周而复始”的变化规律 呢?

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自主预习 认真阅读教材P11-14,回答下列问题: 1.任意角的三角函数 (1)单位圆:在直角坐标系中,称以 原点为圆心,以

单位长度 为半径的圆为单位圆.

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(2)锐角的三角函数:如图所示,在Rt△OAB中,∠OAB =90° ,OA=a,AB=b,OB=r,设∠BOA=α,则有:

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α 的三角函数 正弦

定义
b AB sinα=OB= r
a OA cosα= = r OB b AB tanα= = a OA

余弦

正切

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(3)任意角的正弦、余弦、正切:如图所示,α是任意角, 以α的顶点O坐标原点,以α的始边为x轴的非负半轴,建立平 面直角坐标系. 设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点,则有:

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α的三角函数 正弦 余弦

定义
y x
y x (x≠0)

记法 sinα cosα

形式 sinα=y cosα=x y tanα=x(x≠0)

正切

tanα

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π (4)定义:当a= 2+kπ (k∈Z)时,tanα无意义.除此之外,

对于每一个确定的α,都分别有 唯一 确定的正弦值、余弦值、 正切值与之对应,所以这三个对应法则都是以角α为 自变量 , 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,分别叫 做正弦函数、余弦函数、正切函数,这三个函数统称为 三角
函数 ,分别记作y=sinx,y=cosx,y=tanx.

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[破疑点]由于角的集合与实数集之间建立了一一对应关 系,三角函数可以看作是以实数为自变量的函数,即实数→ 角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数),其关系如下 图所示:

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(5)定义域:如表所示, 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 解析式 y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 R R
π {x|x≠kπ+2,k∈Z}

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有下列命题,其中正确的个数是( ①终边相同的角的三角函数值相同;

)

②同名三角函数值相同,角不一定相同; ③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相同; ④不相等的角,同名三角函数也不相同. A.0
[答案] B

B.1

C.2

D.3

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[解析]

终边相同的角的同名三角函数值相同;同名三角

函数值相同,角不一定相同;终边不相同,它们的同名三角函 数值也可能相同;不相等的角,同名三角函数值可能相同.故 只有②正确.

第一章

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2 2 若角α的终边与单位圆相交于点( 2 ,- 2 ),则sinα的值 为( ) 2 A. 2 1 C.2
[答案] B

2 B.- 2 D.-1

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[解析]

2 2 2 x= 2 ,y=- 2 ,则sinα=y=- 2 .

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2.三角函数值的符号 sinα,cosα,tanα在各个象限的符号如下:

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[小结]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口 诀记忆: “一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 其含义是在第一象限各三角函数值全为正,在第二象限 只有正弦值为正,在第三象限只有正切值为正,在第四象限 只有余弦值为正.

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已知α是第三象限角,设sinαcosα=m,则有( A.m>0 C.m<0 B.m=0 D.m的符号不确定

)

[答案]

A

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3.公式一(k∈Z) sin(α+2kπ)= sinα , cos(α+2kπ)= cosα , tan(α+2kπ)= tanα .

第一章

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[小结]该组公式说明:终边相同的角的同名三角函数值相 等;如果给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的(不存在 者除外),反过来,如果给定一个三角函数值,却有无数多个 角与之对应.

第一章

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已知sin5.1° =m,则sin365.1° =( A.1+m C.m
[答案] C

)

B.-m D.与m无关

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已知α与β的终边相同,则下列正确的是( A.sinα=-sinβ C.tanαtanβ=0
[答案] B

)

B.cosα=cosβ D.tanα=-tanβ

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课堂典例讲练

第一章

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思路方法技巧
命题方向 1 三角函数的定义

1.利用定义求任意角的三角函数值 已知角的终边落在直线 y=2x 上, sinα, 求 cosα, tanα 的值.

第一章

1.2 第1课时

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[分析]

注意终边落在直线y=2x上的角有两类,分两种

情况进行讨论.

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[解析]

当角的终边在第一象限时,在角的终边上取点
2 2

2 2 5 P(1,2),由r=|OP|= 1 +2 = 5,得sinα= = 5 ,cosα= 5 1 5 2 = ,tanα=1=2. 5 5 当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点Q(-1,- 2), 由r=|OQ|= ?-1?2+?-2?2= 5,得: -2 -1 -2 2 5 5 sinα= =- ,cosα= =- ,tanα= =2. 5 5 -1 5 5
第一章 1.2 第1课时

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规律总结:(1)已知角α的终边在直线上的问题时,常用 的解题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利 用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值. ②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取 射线上任意一点坐标(a,b),则对应角的正弦值sinα= b a a 2 2,余弦值cosα= 2 2,正切值tanα=b. a +b a +b (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问 题的实际情况对参数进行分类讨论.
第一章 1.2 第1课时

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已知点 M 是圆 x2+y2=1 上的点, 以射线 OM 为终边的角 2 α 的正弦值为- ,求 cosα 和 tanα 的值. 2

第一章

1.2 第1课时

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[解析]

设点 M 的坐标为(x1,y1).

2 由题意可知,sinα=- , 2 2 即 y1=- 2 . ∵点 M 在圆 x2+y2=1 上,
2 ∴x1+y2=1, 1

2 2 即 x1+(- 2 )2=1,

第一章

1.2 第1课时

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2 2 解得 x1= 2 ,或 x1=- 2 . 2 2 ∴cosα= ,tanα=-1 或 cosα=- ,tanα=1. 2 2

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1.2 第1课时

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2.三角函数的符号 确定下列各式的符号: (1)sin105°cos230° · ; 7π 7π (2)sin 8 · 8 ; tan (3)cos6· tan6. [分析] 先确定角所在象限,进而确定各式的符号.

第一章

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[解析]

(1)∵105° 、230° 分别为第二、第三象限角,

∴sin105° >0,cos230° <0. 于是 sin105°cos230° · <0. π 7π (2)∵2< 8 <π, 7π 7π 7π ∴ 是第二象限角,则 sin >0,tan <0. 8 8 8 7π 7π ∴sin 8 · 8 <0. tan

第一章

1.2 第1课时

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3π (3)∵ <6<2π, 2 ∴6 是第四象限角. ∴cos6>0,tan6<0,则 cos6· tan6<0.

第一章

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规律总结:(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三 角函数值符号的关键; (2)要熟记三角函数值在各象限的符号规 律.

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(1)判断下列各式的符号. ①sin3· cos4· tan5; ②α 是第二象限角,sinα· cosα. θ (2)若 cosθ<0 且 sinθ>0,则2是第( A.一 C.一或三 B.三 D.任意象限角 )象限角.

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[答案] (2)C
[解析]

(1)①sin3cos4tan5>0 ②sinα· cosα<0

π 3π 3π (1)解:①2<3<π,π<4< 2 , 2 <5<2π,∴sin3>0,

cos4<0,tan5<0,∴sin3cos4tan5>0. ②∵α 是第二象限角, ∴sinα>0,cosα<0,∴sinαcosα<0.

第一章

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规律总结:已知 α 的大小,判断 sinα、cosα、tanα 的符 号的步骤: ①确定 α 所在象限; ②由 α 所在象限确定 sinα、 cosα、 tanα 的符号.

第一章

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3.诱导公式(一)的应用 求下列各式的值. 25 15 (1)cos 3 π+tan(- 4 π); (2)sin810° +tan765° -cos360° . [分析] 利用诱导公式(一),将任意角的三角函数转化为

0~2π(或 0° -360° )角的三角函数. -360° ?上 特殊角的 诱导 找在0~2π?0° 已知角 ――→ ――→ 结果 公式?一? 与已知角终边相同的角 三角函数值

第一章

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[解析] 1 3 =2+1=2.

π π π π (1)原式=cos(8π+ )+tan(-4π+ )=cos +tan 3 4 3 4

(2) 原 式 = sin(2×360°+ 90° + tan(2×360°+ 45° - ) ) cos(360° +0° )=1+1-1=1.

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规律总结:利用诱导公式(一)求三角函数值: (1)解此类问题的方法是先借助于终边相同的角的诱导公 式把已知角化归到[0,2π)之间, 然后利用公式化简求值. 在问题 的解答过程中,重在体现数学上的化归(转化)思想; (2)要熟记特殊角的三角函数值,这是解题的基础.

第一章

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求值: (1)sin(-1740° )cos1470° +cos(-660° )sin750° +tan405° ; 11π 9π (2)sin 4 +tan (- 6 )tan 4 .
2 217π

[分析]

利用诱导公式一, 将任意角的三角函数值转化成

0° ~360° 0~2π)内的三角函数值,再求值. (或

第一章

1.2 第1课时

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[解析]

(1)原式=sin(60° -5×360° )cos(30° +4×360° )+

cos(60°- 2×360° )sin(30°+ 2×360° + tan(45°+ 360° = ) ) 3 3 1 1 sin60° cos30° +cos60° sin30° +tan45° = × + × +1=2. 2 2 2 2 π π 2 π 2π (2)原 式= sin ( 4 + 4π)+ tan ( 6 - 2π)tan( 4 + 2π)= sin 4 +
2

π tan tan 6 4 22 32 1 1 5 =( ) +( ) ×1= + = . 2 3 2 3 6



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规律总结:对公式一的理解: 实质 结构 特征 终边相同的角的同名三角函数值相等 1.公式左、右为同名三角函数 2.公式左边的角为 α+k·2π,右边的角为 α 把求任意角的三角函数值转化为求 0~ 2π(或 0° ~360° )之间的角的三角函数值

作用

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名师辨误作答
三角函数定义运算出错 已知角 α 的终边上一点 P(4t,-3t)(t≠0),求 α 的各 三角函数值. [错解] 因为点 P 的坐标是(4t,-3t)且 t≠0,

所以 r=|PO|= ?4t2?+?-3t?2=5t. y -3t 3 x 4t 4 sinα=r = 5t =-5,cosα= r =5t=5. y -3t 3 tanα=x= 4t =-4.
第一章 1.2 第1课时

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[错因] 误 区 错 因 悟 区 对涉及到的变量未讨论符号 ①去根号后没有加绝对值; ②没有对 t≠0 这个条件加以分析. a2=|a|, 去掉绝对值符号时应分 a≥0 和 a<0 两种 情况讨论,也可以直接从条件出发,因为 t≠0,所 以分 t>0 和 t<0 两种情况讨论.

第一章

1.2 第1课时

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[正解]

因为点 P 的坐标是(4t,-3t)且 t≠0,

所以 r=|PO|= ?4t?2+?-3t?2=5|t|. 当 t>0 时,α 是第四象限角,r=|PO|=5t. y -3t 3 x 4t 4 y -3t sinα=r = 5t =-5,cosα= r =5t=5,tanα=x= 4t =- 3 ; 4

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1.2 第1课时

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当 t<0 时,α 是第二象限角,r=|PO|=-5t, y -3t 3 x 4t 4 y -3t sinα= = = ,cosα= = =- ,tanα= = = r -5t 5 r -5t 5 x 4t 3 -4.

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1.2 第1课时

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第一章

1.2 第1课时


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