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【精品】2018-2019学年高二数学人教b版选修4-5课件:第一章_1.2_基本不等式_图文

【精品】2018-2019学年高二数学人教b版选修4-5课件:第一章_1.2_基本不等式_图文

1 . 2 第基 一本 章不 等 式

理解教材新知
把握热点考向 应用创新演练

读教材·填要点 小问题·大思维
考点一 考点二

1.2

基本不等式

[读教材·填要点] 1.定理 1 设 a,b∈R,则 a2+b2 ≥ 2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. 2.定理 2(基本不等式或平均值不等式) 如果 a,b 为正数,则a+2 b ≥ ab,当且仅当 a=b 时,等号 成立.即:两个 正数 的算术平均 不小于(即大于或等于) 它们的 几何平均.

3.定理 3(三个正数的算术—几何平均值不等式) 如果 a,b,c 为正数,则a+3b+c≥ 3 abc ,当且仅当_a_=__b_=__c_ 时,等号成立. 4.定理 4(一般形式的算术—几何平均值不等式) 如果 a1,a2,…,an 为 n 个正数,则 a1+a2+n …+an≥ n a1…an 并且当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成立.

[小问题·大思维] 1.在基本不等式a+2 b≥ ab中,为什么要求 a,b∈(0,+∞)? 提示:对于不等式a+2 b≥ ab,如果 a,b 中有两个或一个为 0,虽然不等式仍成立,但是研究的意义不大,而且 a,b 至少有 一个为 0 时,不能称 ab为几何平均(或等比中项),因此规定 a, b∈(0,+∞). 2.满足不等式a+3b+c≥3 abc成立的 a,b,c 的范围是什么?
提示:a,b,c 的范围为 a≥0,b≥0,c≥0.

利用基本不等式证明不等式
[例 1] 已知 a,b,c 为正实数,且 abc=1 求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8. [思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应 用,解答本题需要分析不等式的特点,先对 a+b,b+c,c+ a 分别使用基本不等式,再把它们相乘. [精解详析] ∵a,b,c 为正实数, ∴a+b≥2 ab>0,

b+c≥2 bc>0, c+a≥2 ca>0, 由上面三式相乘可得 (a+b)(b+c)(c+a) ≥8 ab· bc· ca=8abc. 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8.

(1)用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式 子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条 件,然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明.
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式,然后利用同向不 等式的可加性得出所证的不等式.

1.已知 a,b∈(0,+∞),求证:(a+b)???1a+1b???≥4.

证明:∵a>0,b>0,∴a+b≥2 ab>0,



当且仅当 a=b 时取等号.

1a+1b≥2 a1b>0,



当且仅当1a=1b,即 a=b 时取等号.

①×②,得(a+b)???1a+1b???≥2 ab·2 当且仅当 a=b 时取等号.

a1b=4,

∴(a+b)???1a+1b???≥4.

利用算术—几何平均值不等式证明不等式
[例 2] (1)已知 a,b,c∈R+, 求证:a2+b2+c2+???1a+1b+1c???2≥6 3. (2)设 a1,a2,a3 均为正数,且 a1+a2+a3=m,求证:a11+a12 +a13≥m9 . [思路点拨] 本题考查平均不等式的应用.解答(1)题时可重 复使用均值不等式,(2)题需要先观察求证式子的结构,然后通过 变形转化为用平均不等式证明.

[精解详析] (1)a2+b2+c2+???1a+1b+1c???2

≥33 a2b2c2+9 3

111 a2·b2·c2

≥2

33 a2b2c2·9 3 a12·b12·c12=6 3,

当且仅当 a=b=c=4 3时等号成立.

(2)∵???a11+a12+a13???·m =(a1+a2+a3)·???a11+a12+a13 ???

≥33 a1·a2·a3·3

3

111 a1·a2·a3

3 =9·

a1·a2·a3·a11·a12·a13=9.

当且仅当 a1=a2=a3=m3 时等号成立.

又∵m>0,∴a11+a12+a13≥m9 .

三个正数的算术—几何平均不等式定理,是根据不等式的 意义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明 的不等式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件 时,直接应用该定理会更简便.若不直接具备“一正二定三相 等”的条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明.
连续多次使用平均值不等式定理时要注意前后等号成立 的条件是否保持一致.

2.已知 a,b,c∈R+,证明???a12+b12+c12???(a+b+c)2≥27. 证明:∵a,b,c∈R+,

∴a+b+c≥33 abc>0.

∴(a+b+c)2≥93 a2b2c2

又a12+b12+c12≥3 3 a2b12c2>0,

∴???a12+b12+c12???(a+b+c)2≥3 3

13 a2b2c2·9

a2b2c2

=27. 当且仅当 a=b=c 时,等号成立. ∴???a12+b12+c12???(a+b+c)2≥27.

一、选择题

1.设 x、y 为正实数,且 xy-(x+y)=1,则

()

A.x+y≥2( 2+1)

B.x+y≤2( 2+1)

C.x+y≤( 2+1)2

D.x+y≥( 2+1)2

解析:x>0,y>0,xy-(x+y)=1?xy=1+(x+y)?1+(x

+y)≤????x+2 y????2?x+y≥2( 2+1). 答案:A

2.已知圆柱的轴截面周长为 6,体积为 V,则下列关系式总成

立的是

()

A.V≥π

B.V≤π

C.V≥18π

D.V≤18π

解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,

则由题意得:4r+2h=6,即 2r+h=3,

于是有 V=πr2h≤π·????r+r3+h????3=π???33???3=π, 当且仅当 r=h 时取等号.

答案:B

3.设 x,y,z∈R+且 x+y+z=6,则 lg x+lg y+lg z 的取值范

围是

()

A.(-∞,lg 6]

B.(-∞,3lg 2]

C.[lg 6,+∞)

D.[3lg 2,+∞)

解析:∵lg x+lg y+lg z=lg(xyz), 而 xyz≤????x+3y+z????3,∴lg(xyz)≤lg 8=3lg 2 (当且仅当 x=y=z=2 时,等号成立). 答案:B

4.设 a,b,c∈(0,+∞)且 a+b+c=1,令 x=???1a-1??????1b-1??????1c-1???,

则 x 的取值范围为

()

A.???0,18 ??? C.[1,8)

B.???18,1??? D.[8,+∞)

解析:∵x=???1a-1??????1b-1??????1c-1??? =1-a a·1-b b·1-c c=?b+c?·?ca+bca?·?a+b?

≥2

bc·2 ca·2 abc

ab=8,

当且仅当 a=b=c 时取等号,∴x≥8.

答案:D

二、填空题

5.已知 x,y∈R+,且满足x3+4y=1,则 xy 的最大值为_______. 解析:因为 x>0,y>0,

所以x3+4y≥2 x3·4y= 以其最大值为 3.

x3y,即

x3y≤1,解得 xy≤3,所

答案:3

6.设 a>1,t>0,则12logat 与 logat+2 1的大小关系为 logat_______ logat+2 1(填“<”“≥”或“≤”). 解析:因为12logat=loga t,又 t>0 又t+2 1≥ t. 而 a>1,∴logat+2 1≥loga t,故填“≤”.
答案:≤

7.函数 y=x4x+2 9(x≠0)有最大值________,此时 x=________.

解析:∵x≠0,∴x2>0.

∴y=x4x+2 9=x2+1 x92≤2

1x2·x92=16,

当且仅当 x2=x92,即 x4=9,x=± 3时取等号,

即当 x=± 3时,ymax=16.

答案:16 ± 3

8.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,则 abc 的最大值 是________. 解析:∵a,b,c∈(0,+∞),∴1=a+b+c≥33 abc. 0<abc≤???13???3=217, 当且仅当 a=b=c=13时取等号. 答案:217

三、解答题

9.求函数 y=2x2+3x(x>0)的最小值. 解:由 x>0 知 2x2>0,23x>0,则
y=2x2+3x=2x2+23x+23x

3 ≥3

2x2·23x·23x=3 3

9 2.

当且仅当 2x2=23x,即 x= 3 34时,

3 ymin=3

92=323 36.

10.已知 a,b 为正实数,a+b=1.

求证:???a+1a???2+???b+1b???2≥225. 证明:∵a>0,b>0,a+b=1.

∴1=a+b≥2 ab, ab≤12.∴a1b≥4.

∵a+2 b≤

a2+2 b2,∴a2+2 b2≥???a+2 b???2.

∴???a+1a???2+???b+1b???2≥2????a+1a+2 b+1b????2=???1+1a2+1b???2≥???1+2 2

1 ??2 ab? ≥225.

∴???a+1a???2+???b+1b???2≥225. 当且仅当 a=b=12时等号成立. 11.设 a,b,c 为正实数, 求证:a13+b13+c13+abc≥2 3. 证明:因为 a,b,c 为正实数,由算术—几何平均不等式可得
a13+b13+c13≥3 3 a13·b13·c13,

即a13+b13+c13≥a3bc(当且仅当 a=b=c 时,等号成立). 所以a13+b13+c13+abc≥a3bc+abc.

而a3bc+abc≥2 成立),

a3bc·abc=2 3(当且仅当 a2b2c2=3 时,等号

所以a13+b13+c13+abc≥2 3(当且仅当 a=b=c=6 3时,等号 成立).


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