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高中数学高考高三理科一轮复习资料第4章 4.1 平面向量的概念及线性运算_图文

高中数学高考高三理科一轮复习资料第4章 4.1 平面向量的概念及线性运算_图文

高中数学 4.1 平面向量的概念及线性运算 考纲点击 1.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 2.理解向量的几何表示. 3.掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义. 4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线 的含义. 5.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 说基础 课前预习读教材 考点梳理 一、向量的有关概念及表示方法 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 既有①______又有② ______的量;向量的大小 平面向量是自由向 向量 量 叫做向量的③____(或④ ______) 零向 长度为⑤______的向量; 记作⑥__________ 量 其方向是任意的 单位 长度等于⑦ 向量 ________________的向量 平行 向量 共线 向量 相等 向量 相反 向量 方向⑧______或⑨______ 的非零向量 1 0____________向量又叫 ○ 做共线向量 长度?________且方向? ________的向量 长度?________且方向? ________的向量 非零向量 a 的单位向 a 量为± |a| 0 与任一向量? ______或共线 0 的相反向量为 0 2.向量的表示方法 → (1)字母表示法:如 a,AB等. (2)几何表示法:用一条?__________表示向量. 二、向量的线性运算 向量 定义 法则(或几何意义) 运算 运算律 (1)交换律: a+b=? ______. (2)结合律: (a+b)+c= ? ___________ _. 求两个向 加法 量和的运 算 ?______法则 ?________法则 求a与b 的相反向 量-b 的 减法 和的运算 叫做 a 与 b 的差 21________法则 ○ a-b=a+(- b) 22____. (1)|λa|=○ 求实数 λ (2)当 λ>0 时, λa 与 a 23______; 与向量 a 的方向○ 当λ 数乘 的积的运 <0 时,λa 与 a 的方 24______;当 λ=0 算 向○ 25______ 时,λa=○ 26 λ(μa)=○ ____; 27 (λ+μ)a=○ __________; 28 λ(a+b)=○ __________. 答案:①大小 ②方向 ③模 ④长度 ⑤零 ⑥0 ⑦1 个单位长度 ⑧相同 ⑨相反 ⑩方向相同或相反 ?平行 ?相等 ?相同 ?相等 ?相反 ?有向线段 ?三角形 21 三角形 ○ 22 ? 平行四边形 ? b + a ? a + (b + c) ○ |λ||a| 23相同 ○ 24相反 ○ 250 ○ 26λμa ○ 27λa+μa ○ 28λa+λb ○ 考点自测 1.下列等式不正确的是( A.a+0=a → → C.AB+BA≠0 ) B.a+b=b+a → → → → D.AC=DC+AB+BD → → 解析:方法一:∵AB与BA为相反向量, → → ∴AB+BA=0,∴C 不正确. → → → → → → 方法二:AB+BA=(OB-OA)+(OA-OB) → → → → =OB-OB-OA+OA=0.∴C 不正确. 答案:C 2.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误 的是( ) → → A.AB=DC → → → B.AD+AB=AC → → → C.AB-AD=BD → → D.AD+CB=0 → → 解析:A 显然正确,由平行四边形法则知 B 正确.AB-AD → → → → → =DB,故 C 错误.D 中AD+CB=AD+DA=0. 答案:C 3.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交点 O,E 是线段 → → OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC=a,BD=b, → 则AF等于( ) 1 1 2 1 A.4a+2b B.3a+3b 1 1 1 2 C. a+ b D. a+ b 2 4 3 3 解析:如图所示,∵E 是 OD 的中点, → 1→ 1 ∴OE= BD= b. 4 4 又∵△ABE∽△FDE, AE BE 3 ∴EF=DE=1, → → → 3→ ∴AE=3EF,∴AE=4AF. → → → 1 1 在△AOE 中,AE=AO+OE= a+ b. 2 4 → 4→ 2 1 ∴AF=3AE=3a+3b. 答案:B → → 4.若 ABCD 是正方形,E 是 DC 边的中点,且AB=a,AD → =b,则BE等于( ) 1 1 A.b+2a B.b-2a 1 1 C.a+2b D.a-2b 1 → → → → 1→ 解析:如图所示,BE=BC+CE=AD- AB=b- a. 2 2 答案:B → 1→ → → 5.设四边形 ABCD 中,有DC= AB,且|AD|=|BC|,则这 2 个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 → 1→ → → 解析:由DC=2AB知四边形 ABCD 是梯形,又|AD|=|BC|, 所以四边形 ABCD 是等腰梯形,故选 C. 答案:C 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时, 与有向线段起点的位置没有关系. 同向且等长的有向线段都表 示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向 量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大 小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包 括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行, 必须说明这两条直线不重合. 题型探究 题型一 平面向量的基本概念 例 1 判断下列命题是否正确,不正确的说明理由. (1)若向量 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; (2)若向量|a|=|b|, 则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反; (

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