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3.1.3《二倍角的正弦、余弦、正切公式》课件

3.1.3《二倍角的正弦、余弦、正切公式》课件


第三章 三角恒等变换
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式

问题提出

1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 分别是什么?

2. 4 是特殊角,4 与 8 是倍半关系,利 ? 用上述公式可以求 8 的三角函数值.如果 能推导一组反映倍半关系的三角函数公 式,将是很有实际意义的.

?

?

?

探究(一):二倍角基本公式

思考1:两角和的正弦、余弦和正切公式都是 恒等式,特别地,当β =α 时,这三个公式 分别变为什么?
sin2α =2sinα cosα ;
.

cos2α =cos2α -sin2α ;

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

思考2:上述公式称为倍角公式,分别记 作S2α ,C2α ,T2α ,利用平方关系,二倍 角的余弦公式还可作哪些变形? cos2α =2cos2α -1=1-2sin2α 思考3:在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中,角α 的取值范围分别如何? 思考4:如何推导sin3α ,cos3α 与α 的 三角函数关系?

探究(二):二倍角公式的变通

思考1:1+sin2α 可化为什么?

1+sin2α =(sinα +cosα )2 思考2:根据二倍角的余弦公式,sinα , cosα 与cos2α 的关系分别如何? 1 - cos 2a 2 sin a = 2
1 + cos 2a cos a = 2
2

思考3:tanα 与sin2α ,cos2α 之间是 否存在某种关系?

1 - cos 2a t an a = 1 + cos 2a
2

sin 2? 1 ? cos 2? tan ? ? ? 1 ? cos 2? sin 2?

思考4:sin2α ,cos2α 能否分别用 tanα 表示?

1 - t an a cos 2a = 2 1 + t an a

2

2 t an a sin 2a = 2 1 + t an a

理论迁移

,4 ? ? ? 2 求 sin 4?, cos 4?, tan 4? 的值. 例1 已知
4 例2 在△ABC中,cos A = , t an B = 2, 5

5 sin 2? ? 13

?

?

求 t an 2C 的值.

44 117

例3 化简 (sin 2x + cos 2x - 1)(sin 2x - cos 2x + 1)
sin 4x

tanx
1 例4 已知 sin a + cos a = ,且α ∈(0, 3

π ),求cos2α 的值.

-

17 9

课堂小结 1.角的倍半关系是相对而言的, 2α 是α 的两 ? ? 倍, 4α 是2α 的两倍, 2 是 4 的两倍等等, 这里蕴含着换元的思想. 2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作 用,解题时要注意公式的灵活运用,在求值 问题中,要注意寻找已知与未知的联结点. 3.二倍角公式有许多变形,不要求都记忆, 需要时可直接推导.


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