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二项分布_超几何分布_正态分布_图文

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高考总复习.理科.数学

第十三章 概率与统计

二项分布、超几何分布、 第六节 二项分布、超几何分布、正态分布

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课前自主学案

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知识梳理
1.独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 2.二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重 复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ=k)=Cpkqn-k.其 中k=0,1,…,n,q=1-p, 于是得到随机变量ξ的概率分布如下:

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ξ P

0 C0 n pq
0 n

1 C 1p 1q n n
1




k C k p kq n n




n Cn n


k



p nq 0

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p),其中n、 p为参数,p叫成功概率. 令k=0得,在n次独立重复试验中,事件A没有发生的概率为P(ξ =0)=Cp0(1-p)n =(1-p)n, 令k=n得,在n次独立重复试验中,事件A全部发生的概率为P(ξ =n)=Cpn(1-p)0 =pn.

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3.超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 “ X = k” 发生的概率为: P(X = k) =

k n- k CM·CN-M n CN ,k=0,1,2,…,m,其中 m=min{M,n},且 n≤N, * M≤N,n,M,N∈N ,称分布列

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为超几何分布列,如果随机变量 X 的分布列为超几何分 布列,则称离散型随机变量 X 服从超几何分布. 4.正态分布密度函数 (x-?) 1 φ?,σ(x)= e- ,(σ>0,x∈(-∞,+∞)) 2σ2 2πσ
2

其中 π 是圆周率;e 是自然对数的底;x 是随机变量的取 值;? 为正态分布的均值;σ 是正态分布的标准差.正态分布 一般记为 N(?,σ2).

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5.正态曲线 (x-?) 1 函数 φ?,σ(x)= e- ,(x∈(-∞,+∞),实数 2σ2 2πσ
2

? 和 σ(σ>0)为参数),的图象为正态分布密度曲线,简称正态 曲线.

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标准正态曲线:当 ?=0、σ=1 时,正态总体称为标准正 1 x2 态总体,其相应的函数表示式是 f(x)= e- ,(-∞<x< 2 2π +∞) 其相应的曲线称为标准正态曲线. 6.正态分布 如果对于任何实数 a<b,随机变量 X 满足 P(a<X≤b) =?bφ?,σ(x)dx,则称 X 的分布为正态分布,参数 ? 表示 a 随机变量 X 的均值,参数 σ 表示随机变量 X 的标准差, 记作:X~N(?,σ2).其中 N(0,1)称为标准正态分布.

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正态分布 N(?,σ2))是由均值 ? 和标准差 σ 唯一决定的分 布. 标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地 位. 7.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个 基本概率值) P(?-σ<X≤?+σ)=0.6826; P(?-2σ<X≤?+2σ)=0.9544; P(?-3σ<X≤?+3σ)=0.9974.

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8.3σ原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(?,σ2)的随机 变量X只取(?-3σ,?+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则. 正态总体几乎总取值于区间(?-3σ,?+3σ)之内,而在此 区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一 次试验中几乎不可能发生,这是统计中常用的假设检验方 法的基本思想.

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基础自测

1.若 X~B(10,0.8),则 P(X=8)=( A.C10×0.8 ×0.2 C.0.8 ×0.2
答案:A
8 2 8 8 2 8

)
2 8

B.C10×0.8 ×0.2 D .0.8 ×0.2
2 8

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2.(2008 年福建卷)某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的 4 概率为 ,那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( 5 12 A. 125 16 B. 125 48 C. 125 96 D. 125 )

解析:概率为 答案:C

?4?2?1? 48 ? ? ? ? C23?5? ?5?= . ? ? ? ? 125

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课堂互动探究

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超几何分布模型的概率计算 一个盒子中装有16个白球和4个黑球,从中任意取出3个, 设ξ表示其中黑球的个数,求ξ的分布列.

分析:这是一个超几何分布模型,其中 N=20, M=4, n Cm ·Cn -m M N M =3,利用 P(ξ=m)= 求解. Cn N


解析:ξ 的可能取值为 0,1,2,3,则
3 2 C0·C16 28 C1·C16 8 4 4 P(ξ=0)= 3 = ;P(ξ=1)= 3 = ; C20 57 C20 19

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1 0 C2·C16 8 C3·C16 1 4 4 P(ξ=2)= 3 = ;P(ξ=3)= 3 = . C20 95 C20 285

所以 ξ 的分布列为: ξ P 0 28 57 1 8 19 2 8 95 3 1 285

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变式探究
1.(2009年德州模拟)袋中装着标有数字1,2,3的小球各2个, 从袋中任取2个小球,每个小球被取出的可能性都相等. (1)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率; (2)用ξ表示取出的2个小球上的数字之和,求随机变量ξ的概率 分布.

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解析(1)法一:记“ 取出的 2 个小球上的数字互不相同” 为事件 A, 6 个小球中任取 2 个小球的方法共有 C2种, ∵从袋中的 6
2 1 1 其中取出的 2 个小球上的数字互不相同的方法有 C3C2C2,

C2C1C1 3×2×2 4 3 2 2 P(A)= C2 = ∴ =5. 3×5 6 法二:记“ 取出的 2 个小球上的数字互不相同” 的事件 “ 记为 A, 取出的 2 个小球上的数字相同” 的事件记为 B,则 事件 A 与事件 B 是对立事件.

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C1 3 1 3 ∵P(B)= 2= = , C6 15 5 4 ∴P(A)=1-P(B)= . 5 (2)由题意,ξ 所有可能的取值为:2,3,4,5,6. C2 1 C1C1 4 2 2 2 ξ=2 ξ=3 P(ξ 2)= 2= ,P(ξ 3)= 2 = , C6 15 C6 15
1 C2+C2C1 5 2 2 P(ξ=4)= = , 2 C6 15

C1C1 4 C2 1 2 ξ=5)= 2 2 2= ,P(ξ=6)= 2= . P( C6 15 C6 15

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故随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P 2 1 15 3 4 15 4 5 15 5 4 15 6 1 15

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二项分布的概率计算 (2009 年临沂一中期末 )在 2006 年多哈亚运会中,中国女 排与日本女排以 “ 五局三胜 ” 制进行决赛,根据以往战况, 3 中国女排每一局赢的概率为 5.已知比赛中,第一局日本女排先 胜一局,在这个条件下, (1)求中国女排取胜的概率; (2)设决赛中比赛总的局数为 ξ,求 ξ 的分布列.

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解析:(1)中国女排取胜的情况有两种: ①中国女排连胜三局; ②中国女排在第 2 局到第 4 局中赢两局,且第 5 局赢. 故中国女排取胜的概率为
?3?3 ?3?2 2 3 ? ? P=?5? +C23?5? × × ? ? 5 5 ? ? ? ?

27 162 297 297 = + = .故所求概率为 . 125 625 625 625 (2)设比赛局数为 ξ 其所有可能取值为 3,4,5.则
?2?2 4 ? ? P(ξ=3)=?5? = ; 25 ? ?

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2 3 2 ?3?3 51 P(ξ=4)=C12× × × +?5? = ; 5 5 5 ? ? 125 ? ?
?3? 2 ?3?2 2 54 ? ? ? ?2 2 3 270 P(ξ=5)=C13× ×?5? × +C23?5? × × = = . 5 ? ? 5 5 5 625 125 ? ?

ξ 的分布列为 ξ P 3 4 25 4 51 125 5 54 125

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变式探究
2.(2009年泰州期末)在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法 引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备 用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功, 每次射击命率都是 2 ,每次命中与否互相独立.
3

(1)求油罐被引爆的概率. (2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ的 分布列.

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解析:(1)记“油罐被引爆”为事件 A,其对立事件为-, A
? ?? ? ? ? -)=C15?2??1?4+?1?5, 则 P( A ?3??3? ?3? ? ?? ? ? ? ? ?2??1? ? ? ? ? ? ?? ?4 ?1?5? 232 ∴P(A)=1-?C15·?3??3? +?3? ?= . 243 ? ?? ? ? ? ? ?

(2)射击次数 ξ 的可能取值为 2,3,4,5,
?2? ? ?2 4 P(ξ=2)=?3? = , 9 ? ?

212 8 P(ξ=3)=C12· · · = , 3 3 3 27

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2 ?1?2 2 4 ? ? P(ξ=4)=C13· ·?3? · = , 3 ? ? 3 27
?2??1?3 ?1?4 1 P(ξ=5)=C14·?3??3? +?3? = . ? ?? ? ? ? 9 ? ?? ? ? ?

故 ξ 的分布列为 ξ P 2 4 9 3 8 27 4 4 27 5 1 9

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正态分布的概率计算 某年级1班的一次数学考试成绩近似服从正态分布 N(70,102),如果规定低于60分为不及格,(1)若该年级1班 有60个学生,求该班成绩不及格的人数.(2)求该班成绩在 80~90分的学生人数.(3)该班甲同学的成绩是92分,他大 约能排在班上前多少名(名次按高分排前的原则)?

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解析:设该班每个学生该次数学成绩为随机变量X, X~N(70,102),则?=70,σ=10, 成绩在(60,80]内的学生比例为: P(70-10<X≤70+10)=0.6826, ∴不及格的学生的比例为(1-0.6826)=0.1587, ∴该班不及格的学生人数约为 0.1587×60=8.522≈9(人).

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(2)成绩在(80,90]的学生比例为: 1 2[P(70-2×10<X≤70+2×10)-0.6826] 1 =2(0.9544-0.6826)=0.1359, ∴该班成绩在(80,90]的学生人数约为 0.1359×60=8.25≈8(人). (3)∵92>90=70+2×10, 而 P(70-2×10<X≤70+2×10)=0.9544 1 3 0.9544×60≈57,2(60-57)= ≈2,故甲某该次成绩应 2 排在班上前 2 名.

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变式探究
3.革命老区某村1000个农民2008年的每月平均收入服从正态 分布N(650, 625)(单位:元),估计该村农民月收入在600元以 下的人数. 解析:由?=650,σ=25,又由于P(?-2σ<X≤?+2σ)= 0.9544,所以月收入在600~700的概率为0.9544,从而月收 入 在 600 元 以 下 的 概 率 为 : (1 - 0.9544)/2 = 0.0228,1000×0.0228≈23. 估计该村农民月收入在600元以下 的有23人.

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温馨提示

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1.判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点:①是否 为n次独立重复试验;②随机变量是否是在这n次独立重复试 验中某事件发生的次数. 2.二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布,也是重要 的离散型随机变量概率模型,在解题时要注意判断一个实际 问题是否属于二项分布?成功概率是多少?找出其它随机变 量与二项分布的随机变量间的关系式,利用二项分布的均值 与方差的计算公式求解. 3.注意不同背景下的超几何分布模型,用超几何模型的概率 公式计算.

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4.n 次独立重复试验中某事件 A 发生 k 次的概率 P(ξ= k)=Ck pk(1-p)n n
-k

正好是二项式[(1-p)+p]n 的展开式的第 k

+1 项. 5.对正态分布的问题关键是抓住两个参数?和σ,理
解两个参数的实际意义,再利用三个基本概率值就能解决有 关的计算问题. 6.“小概率事件”和假设检验的基本思想 “小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件, 认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.这种认识便 是进行推断的出发点.关于这一点我们要有以下两个方面的 认识:一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验” 来说的,

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因为试验次数多了,该事件当然是很可能发生的;二是当我 们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时, 我们也有5%的犯错误的可能.进行假设检验一般分三步: 第一步,提出统计假设.如课本例子里的统计假设是这个工 人制造的零件尺寸服从正态分布N(?,σ2); 第二步,确定一次试验中的取值a是否落入范围(?-3σ,?+ 3σ); 第三步,做出推断.如果a∈(?-3σ,?+3σ),接受统计假设; 如果a?(?-3σ,?+3σ),由于这是小概率事件,就拒绝统计 假设.

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题型展示台

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(2009 年辽宁卷)某人向一目标射击 4 次,每次击中目标 1 的概率为3.该目标分为 3 个不同的部分,第一、二、三部分面 积之比为 1∶3∶6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其 面积成正比. (1)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (2)若目标被击中 2 次,A 表示事件“ 第一部分至少被击 中 1 次或第二部分被击中 2 次” ,求 P(A).

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解析:(1)依题意知 X P 0 16 81

? 1? ? X~B?4,3?,即 ? ? ?

X 的分布列为 4 1 81

1 32 81

2 24 81

3 8 81

(2)设 Ai 表示事件“第一次击中目标时, 击中第 i 部分”, i=1,2. Bi 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分”,i= 1,2. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3, A=A1 B1 ∪ A1 B1∪A1B1∪A2B2,

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所求的概率为 P(A)=P(A1 B1 )+P( A1 B1)+P(A1B1)+P(A2B2) =P(A1)P( B1 )+P( A1 )P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2) =0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28.

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(2009年威海一模)中国篮球职业联赛(CBA)某赛季总 决赛在某两队之间进行,比赛采用七局四胜制,即若有一队 先胜四场,则此队获胜,比赛就此结束.因两队实力相当, 1 每场比赛两队获胜的可能性均为 .据以往资料统计,第一场 2 比赛组织者可获得门票收入40万元,以后每场比赛门票收入 比上一场增加10万元. (1)若组织者在此次决赛中获得的门票收入恰好为300万元,问 此次决赛共比赛了多少场? (2)求组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的 概率为多少?

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解析: (1)依题意,每场比赛获得的门票收入数组成首项 为 40,公差为 10 的等差数列,设此数列为 {an},则易知 a1 =40,an=10n+30. n(a1+an) n(10n+70) ∴ S n= = =300. 2 2 解得 n=5 或 n=- 12(舍去 ), ∴此次决赛共比赛了 5 场. (2)由 Sn≥390 得 n +7n≥78.∴n≥6. ∴若要获得的门票收入不少于 390 万元,则至少要比赛6 场.
2

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①若比赛共进行了 6 场, 则前 5 场比赛的比分必为 2∶3, 且第 6 场比赛为领先一场的球队获胜,其概率
?1?5 5 ? ? P(6)=C35×?2? = ; 16 ? ?

②若比赛进行了 7 场,则前 6 场胜负为 3∶3,则概率
?1?6 5 ? ? P(7)=C36×?2? = ; 16 ? ?

∴门票收入不少于 390 万元的概率为 10 5 P=P(6)+P(7)= = =0.625. 16 8

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