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安徽省滁州市定远县育才学校2017_2018学年高一数学下学期期末考试试题(实验班,含解析)

安徽省滁州市定远县育才学校2017_2018学年高一数学下学期期末考试试题(实验班,含解析)

。 。 。
育才学校 2017-2018 学年度第二学期期末考试卷

高一(实验班)数学

第 I 卷(选择题 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。) 1. 某中学有高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 500 人,现用分层抽样的方法在这 三个年级中抽取 120 人进行体能测试,则从高三抽取的人数应为( ) A. 40 B. 48 C. 80 D. 50 【答案】D 【解析】

由分层抽样的定义可知从三个年级 1200 人中抽取 120 人中高三学生应抽取

,应

选答案 D。 2. 在 5 张电话卡中,有 3 张移动卡和 2 张联通卡,从中任取 2 张,已知事件“2 张全是移动

卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是( )

A. 至多有一张移动卡 B. 恰有一张移动卡 C. 都不是移动卡 D. 至少有一张移动卡 【答案】A 【解析】 分析:先根据条件利用古典概型概率公式求各事件概率,再比较结果,确定选项.

详解:至多有一张移动卡的概率是

恰有一张移动卡的概率是

都不是移动卡的概率是

至少有一张移动卡的概率是

-1-

综上选 A. 点睛:本题考查利用古典概型概率公式求事件概率,关键明确各事件所包含的互斥事件是什 么. 3. 已知程序: INPUT “请输入一个两位正数”;x IF x>9 AND x<100 THEN
a=x MOD 10 b=(x-a)/10 x=10*a+b PRINT x ELSE PRINT “输入有误” END IF END 若输入的两位数是 83,则输出的结果为( ) A. 83 B. 38 C. 3 D. 8 【答案】B 【解析】

依据程序:输入两位数



,输出 ,故选 B. 4. 已知变量 x,y 之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,则其回归方程可能为( )

.....................

A. =1.5x+2 B. =-1.5x+2 C. =1.5x-2 D. =-1.5x-2
-2-

【答案】B 【解析】 设回归方程为

,由散点图可知变量 x、y 之间负相关,回归直线在 y 轴上的截距为

正数,所以 <0, >0,因此方程可能为 =-1.5x+2. 选 B. 5. 在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的 200 辆进行车速统 计,统计结果如右面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h~ 120 km/h,试估计 2000 辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )

A. 30 辆 B. 1700 辆 C. 170 辆 D. 300 辆 【答案】B 【解析】 【分析】 由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率,由此能估 2000 辆车 中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆. 【详解】由频率分布直方图得: 在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为
, 估计 辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有
(辆),故选 B. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用,属于中档题. 直方图的主要性质有:(1)直 方图中各矩形的面积之和为 ;(2)组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率;(3)每个 矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值;(4)直观图左右两边面积相等 处横坐标表示中位数. 6. 下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[22, 30)内的概率为( )
-3-

A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 区间[22,30)内的数据共有 4 个,总的数据共有 10 个,所以频率为 0.4,故选 B.
视频

7. 程序框图如下图所示,当

时,输出的 k 的值为( )

A. 26 B. 25 【答案】C 【解析】

C. 24

D. 23

由已知中的程序框图可知:该程序的功能是计算 S= + + +…+

= 的值,

∵A= ,退出循环的条件为 S≥A,

当 k=24 时, = 满足条件,

故输出 k=24,

故选:C

点睛:本题的实质是累加满足条件的数据,可利用循环语句来实现数值的累加常分以下步骤:

(1)观察 S 的表达式分析,确定循环的初值、终值、步长;(2)观察每次累加的值的通项公

式;(3)在循环前给累加器和循环变量赋初值,累加器的初值为 0,累乘器的初值为 1,环变

量的初值同累加第一项的相关初值;(4)在循环体中要先计算累加值,如果累加值比较简单

可以省略此步,累加,给循环变量加步长;(5)输出累加值.

8. 如图,在圆心角为直角的扇形 中,分别以

为直径作两个半圆,在扇形 内随

机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

-4-

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】 连接 ,把下面的阴影部分平均分成两部分,然后利用位移割补的方法,分别平移到图中划 线部分,那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积减去直角三角形 的面积,利用几何概 型概率公式可得结果.

【详解】

设扇形的半径为 ,则扇形 的面积为 ,

连接 ,把下面的阴影部分平均分成两部分, 然后利用位移割补的方法,分别平移到图中划线部分,

则阴影部分的面积为



由几何概型概率公式可得,

此点取自阴影部分的是

,故选 A.

【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型,属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有: 长度型、角度型、面积型、体积型,求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积 以及事件的面积;几何概型问题还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)不 能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)基本事件对应的区域测度把握不准 导致错误 ;(3)利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

9. 在等比数列 中,



-5-

A.

B.

C.

【答案】A

【解析】

等比数列 中,

D. ,且

10. 数列

中,已知

A. -2 B. -1 【答案】A 【解析】 由题意可得:

C. 1 D. 2 ,则:



,故选 A.

,则 的值为( )

本题选择 A 选项. 点睛:数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出 这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再 归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列, 或用累加法、累乘法、迭代法求通项.

11. 在等差数列 中,

表示数列 的前 项和,则 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

,故选 A.

12. 设数列 满足

,且

,若 表示不超过 的最大整数,则

()

A. 2015 B. 2016 【答案】B 【解析】

C. 2017

D. 2018

-6-

【分析】

数列 满足

,且

,即

的通项公式可得 可得出.

,再利用累加求和方法可得

【详解】数列 满足

,且







数列

为等差数列,首项为 ,公差为 , ,

,利用等差数列 ,利用裂项求和方法即

, ,

,故选 B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,“累加法”的应用,以及裂项相消法求和,属 于难题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点

的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1)

;(2)

; (3)

;(4)

;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导

致计算结果错误. 第 II 卷(非选择题 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。)

13. 已知函数

,则不等式

的解集是__________.

【答案】(1,3). 【解析】 【分析】

-7-

先判断函数的单调性,由

得到所求解集. 【详解】当 时,
在 上递增,





,可得



,解不等式即可



可得





解得



,即为







,即有解集为 ,故答案为 .

【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式,属于中档题.对于分段函数解

析式的考查是命题的动向之一,这类问题的特点是综合性强,对抽象思维能力要求高,因此

解决这类题一定要层次清楚,思路清晰.

14. 我校要从参加数学竞赛的 1000 名学生中,随机抽取 50 名学生的成绩进行分析,现将参

加数学竞赛的 1000 名学生编号如下 000,001,002,…,999,如果在第一组随机抽取的一个

号码为 015,则抽取的第 40 个号码为___ .

【答案】795.

【解析】

解:∵系统抽样是先将总体按样本容量分成 k= 段,再间隔 k 取一个.又∵现在总体的个体数

为 1000,样本容量为 50,∴k=20 ∴若第一个号码为 015,则第 40 个号码为 015+20×39=795 故答案为 795

15. 如图,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 y= 与两直线 x=2 及 y=0 所围成的阴影部

分的面积 S. ①先产生两组 0~1 的均匀随机数,a=RAND,b=RAND;②做变换,令 x=2a,y=2b;③产生 N 个点(x,y),

并统计满足条件 y< 的点(x,y)的个数 N1,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当 N=1 000 时,N1=332,则据此可估计 S 的值为_____.

-8-

【答案】1.328. 【解析】
根 据 题 意 , 满 足 条 件 y< 的 点 (x,y) 的 概 率 是

, 矩 形 的 面 积 为 4, 则 有

,所以 S≈1.328.

点睛: 随机模拟求近似值的方法,先分别根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式计算 概率,再根据两者相等求近似值

16. 若等差数列 的前 项和为 ,

,,则使得 取最大值时的正整数

n=______________

【答案】3.

【解析】

由等差数列的性质可得:



数列的公差:



据此可得,数列 单调递减,且:



使得 取最大值时的正整数 3.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分。)

17. 某运输队接到给灾区运送物资的任务,该运输队有 8 辆载重为 的 型卡车,6 辆载重为

的 型卡车,10 名驾驶员,要求此运输队每天至少运送 救灾物资.已知每辆卡车每天往返

的次数为 型卡车 16 次, 型卡车 12 次.每辆卡车每天往返的成本为 型卡车 240 元, 型

卡车 378 元.问每天派出 型卡车与 型卡车各多少辆,运输队所花的成本最低?

【答案】故每天只派 8 辆 型卡车运输,所花成本最低,最低成本为 1920 元.

【解析】

试题分析: 先列表分析各限制条件:每天至少运送 救灾物资,8 辆载重为 的 型卡车,6

辆载重为 的 型卡车,10 名驾驶员,注意实际意义条件限制:卡车辆数为自然数,再根据

-9-

限制条件画出可行域,根据目标函数(直线)平移得到最值取法. 试题解析:设每天派出 型卡车 辆, 型卡车 辆,运输队所花成本为 元,





化简得



目标函数



画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示.

由图可知,当直线

经过点 时,截距 最小,解方程组



得点 的坐标为 ,而问题中,

,故点 不是最优解.

因此在可行域的整点中,点 使 取得最小值,即



故每天只派 8 辆 型卡车运输,所花成本最低,最低成本为 1920 元.

点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无

误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行

比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取

得.

18. 某某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的

方法从中随机抽取了 100 名学生,记录他们的分数,将数据分成 7 组:



并整理得到如下频率分布直方图:

- 10 -

(Ⅰ)从总体的 400 名学生中随机抽取一人,估计其分数小于 70 的概率;

(Ⅱ)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;

(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于 70,且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等.试

估计总体中男生和女生人数的比例.

【答案】(1)0.4.

(2)20 人.

(3) .

【解析】

【详解】分析:(1)根据频率分布直方图可知,即可求解样本中分数不小于 70 的频率,进而得



分数小于 70 的概率;

(2)根据题意,根据样本中分数不小于 50 的频率为 ,求得分数在区间

内的人数为 5

人,进而求得总体中分数在区间

内的人数;

(3)由题意可知,样本中分数不小于 70 的学生人数为 60 人,求得样本中分数不小于 70 的

男生人数,即可求解.

详解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于 70 的频率为

(0.02+0.04)×10=0.6 ,

样本中分数小于 70 的频率为 1-0.6=0.4.

∴从总体的 400 名学生中随机抽取一人其分数小于 70 的概率估计为 0.4

(2)根据题意,样本中分数不小于 50 的频率为



分数在区间

内的人数为



所以总体中分数在区间

内的人数估计为



(3)由题意可知,样本中分数不小于 70 的学生人数为 ,

所以样本中分数不小于 70 的男生人数为

所以样本中的男生人数为

,女生人数为

,男生和女生人数的比例为

点睛:本题主要考查了用样本估计总体和频率分布直方图的应用,其中对于用样本估计总体
- 11 -

主要注意以下两个方面:1、用样本估计总体是统计的基本思想,而利用频率分布表和频率分

布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法;2、频率分布表

中的频数之和等于样本容量,各组中的频率之和等于 1;在频率分布直方图中,各小长方形的

面积表示相应各组的频率,所以,所有小长方形的面积的和等于 1.

19. 某已知函数



(Ⅰ)设

,求方程

的根;

(Ⅱ)设

,函数

,已知 时存在

使得





有且只有一个零点,求 b 的值.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)

【解析】

试题分析:

(I)由题意得到关于 的一元二次方程,解方程可得 ;

(II)由函数的解析式结合均值不等式的结论和(1)的结论可得 .

试题解析:

(Ⅰ)因为

,所以



方程 所以

,即 ,于是

,亦即 ,解得

(Ⅱ)当 时,

因为

当且仅当 时取等号 所以 是 的唯一的零点

当 时,则

当, 是的零点
又因为当 时存在

使得



,由零点存在定理知在(-2,, )必存在另一零点

此时, 存在 2 个零点,不符合题意

- 12 -

综上可得

20. 某已知等差数列 满足: ,前 项和

.

(1)求数列 的通项公式;

(2)若 【答案】(1) 【解析】

,求数列 的前 项和 .

;(2)



试题分析:(1)根据等差数列的通项公式和前 项和公式得到方程组



求解即可;(2)可得



,所以

试题解析:(1)由已知条件

,解得

,

,即 .
.

(2)由⑴可得

考点:1.等差数列;2.观察法在数列中的应用. 21. 已知等差数列{an}中公差 d≠0,有 a1+a4=14,且 a1,a2,a7 成等比数列.
(Ⅰ)求{an}的通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn;

(Ⅱ)令 bn=

(k<0),若{bn}是等差数列,求数列{

}的前 n 项和 Tn.

【答案】(Ⅰ)an=4n-3,Sn==2n2-n; (Ⅱ)

.

【解析】 试题分析:(1)利用等比数列的首项和公差建立方程求解即可; (2)求出通项,利用裂项相消求和即可. 试题解析: (Ⅰ)∵a1+a4=14,∴2a1+3d=14,①

∵a1,a2,a7 成等比数列,∴





,②

由①②得 d2=4a1d, ∵d≠0,∴d=4a1,代入①解得 d=4、a1=1,

.
- 13 -

∴an=a1+(n-1)d=4n-3,

Sn=

=2n2-n;

(Ⅱ)由(1)知



∵{bn}是为等差数列,∴2b2=b1+b3,即

=



解得

,或 k=0,

由条件知,

,即 bn=2n,





=

所以,Tn=



22. 某校高一(1)班全体男生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程

度的破坏,但可见部分如图所示,据此解答如下问题:

(1)求该班全体男生的人数;

(2)求分数在

之间的男生人数,并计算频率公布直方图中

之间的矩形的高;

(3)根据频率分布直方图,估计该班全体男生的数学平均成绩(同一组中的数据用该组区间

的中点值代表).

- 14 -

【答案】(1) (2)4,

(3)

【解析】

试题分析:

(1)由题意结合频率可得该班全体男生的人数为 25 人;

(2)结合茎叶图可得

之间的男生人数为 (人),矩形的高为

(3)结合频率分布直方图可得该班全体男生的数学平均成绩约为

.

试题解析:

解:(1)由茎叶图知,分数在

之间的频数为 2,

由频率分布直方图知,分数在

之间的频率为



所以该班全体男生人数为

(人)

(2)由茎叶图可见部分共有 21 人,所以

之间的男生人数为

所以,分数在

之间的频率为



. (人),

频率分布直方图中

间的矩形的高为

.

(3)由频率分布直方图可知,所求该班全体男生的数学平均成绩约为

- 15 -


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