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自主招生平面向量教师版版

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自主招生专题辅导之
平面向量
(2011 年卓越)1.已知向量 a, b 为非零向量, (a ? 2b) ? a,(b ? 2a) ? b, 则 a, b 夹角为( B)
A.

? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

? 6

B.

? 3

C.

?? 3

D.

?? 6

(2011 年华约)
(7) 已知向量 a ? (0,1), b ? (? 的最小值为( )

?

?

? ? 3 1 ? 3 1 ? , ? ), c ? ( , ? ), xa ? yb ? zc ? (1,1) 则 x2 ? y 2 ? z 2 2 2 2 2

4 3 A?1???????B? ???????C? ???????D?2 3 2

? 3 ? 3 3 y? z ? 1 ?? ( y ? z) ? 1 ?? ? ? ? ? 2 ? 2 2 解:由 xa ? yb ? zc ? (1,1) 得 ? ,  ? ? x ? y ? z ?1 ? x ? y ? z ?1 ? ? ? 2 2 ? 2
由于 x ? y ? z ? x ?
2 2 2 2

( y ? z )2 ? ( y ? z )2 ,可以用换元法的思想,看成关于 x,y 2

2 ? ? y?z ?? + z,y - z 三个变量,变形 ? 3 ,代入 ? y ? z ? 2( x ? 1) ?
x2 ? y 2 ? z 2 ? x2 ?
? x 2 ? 2( x ? 1) 2 ?

( y ? z )2 ? ( y ? z )2 2

2 8 2 4 ? 3x 2 ? 4 x ? ? 3( x ? ) 2 ? ,答案 B 3 3 3 3


(2012 卓越 4)已知⊿ABC中,∠A=90O,BC=4,点 A 是线段 EF 的中点,EF=2,若

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? EF与BC 的夹角为60O ,则 BE ? CF ? (

(2013 策划)例 3:已知向量 a ? e, e ? 1 满足:对任意 t ? R ,恒有 te ? a ? e ? a 。 则 ( ) A. a ? e

?

? ?

? ?

? ?

?

?

B. a ? (a ? e )

?

? ?

C. e ? (a ? e )

?

? ?

D. (a ? e ) ? (a ? e )

? ?

? ?

1

解法 1:分别作出 a、 e、 te、 e ? a ,使向量 a、 e 有相同起点, 如图所示:因为在直角三角形中, 直角边不大于斜边,所以 e ? (a ? e ) 。

?

?

?

?

?

?

?

解法 2:? t ? R, 恒有 a ? te ? e ? a ,等价于 a ? te ? e ? a 恒成立, 展开整理得: t 2 ? (2a ? e)t ? (2a ? e) ? 1 ? 0 对于任意的 t ? R 恒成立, 即 ? ? (a ? e)2 ? 2(a ? e) ? 1 ? 0 , (a ? e ? 1)2 ? 0. 又 (a ? e ? 1)2 ? 0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?e ? (a ? e) ? e ? a ? (e)2 ? 1? 1 ? 0 ,所以 e ? (a ? e ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

? ?

?

?2

? ?2

(2013 策划)例 4:(2010 北京大学) 向量 OA与OB 已知夹角, OA ? 2, OB ? 1 ,

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ???? ? ??? ??? ? ? 1 OP ? tOA, OQ ? ?1 ? t ? OB, PQ 在 t 0 时取得最小值,问当 0 ? t0 ? 时, 5
夹角的取值范围
??? ??? ? ?

解:设 OA与OB 的夹角为 ?
??? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? PQ ? OQ ? OP ? ?1 ? t ? OB ? tOA

??? 2 ? ??? ??? 2 ? ? ??? 2 ? ??? 2 ? ??? ??? ? ? 2 PQ ? ?1 ? t ? OB ? tOA ? ?1 ? t ? OB ? t 2 OA ? 2t ?1 ? t ? OB ? OA

?

?

? ?1 ? t ? ? 4t 2 ? 2t ?1 ? t ? ? 2 ? 1? cos ?
2

??? 2 ? PQ ? ?5 ? 4cos? ? t 2 ? (2 ? 4cos? )t ?1

显然 t0 ?

1 ? 2 cos ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? ? 0, ? ,解得 cos ? ? ? ? , 0 ? ,? ? ? , ? 5 ? 4 cos ? ? 5 ? ? 2 ? ?2 3 ?

(2013 策划练习)2.设 O 是三角形的外心,取点 H ,使得 OA ? OB ? OC ? OH , 求证:H 是三角形的垂心,且三角形的外心 O 、垂心 H ,重心 G 在一条直线上。 (2013 策划练习) 3.已知: OE ? ? ?1, 0 ? , OF ? ?1, 0 ? , EA ? 4 OE , AQ ? ?

??? ??? ??? ???? ? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ???? ?

? ? ? ??? ??? ? ? 1 ??? ??? ??? FA, PQ ?AF ? 0, AP ? AE 2

x2 y 2 ? ?1 求 P 的轨迹方程 4 3 ? ? ? ? ? ? ? (P74)8.已知 a, b 是两个互相垂直的向量,且 c =13, c ? a ? 3, c ? b ? 4, 则对任意实数 t1, ? ? ? t2, c ? t1 a ? t2 b 的最小值是( )
2

A.13

B.12

C.7

D.6

? ? ?2 ? ? ? 2 ?2 2 ? 2 ? ?? ?? ?? 2 2 解:∵ c ? t1 a ? t2 b ? (c ? t1 a ? t2 b) ? c ? t1 a ? t2 b ? 2t1 ca ? 2t2 cb ? 2t1t 2 ab

? 132 ? t12 ? t22 ? 6t1 ? 8t2 ? 0 ? t12 ? t22 ? 6t1 ? 8t2 ? 169 ? (t1 ? 3)2 ? (t2 ? 4)2144 ? 144 ? ? ? ∴ c ? t1 a ? t2 b ? 12 选B
(P72)3. a, b 是不共线的两个向量,已知 PQ ? 2a ? kb, QR ? a ? b, RS ? 2a ? 3b, 若 P,Q, R 三点共线,则 k 的值为( )

? ?

??? ?

?

? ??? ?

? ? ??? ?

?

?

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 解:按 P、Q、R 三点共线,向量 PQ, QS , PS 之间均是属于平行关系。由 QS ? QR ? RS
? ? ? ? ? (a ? b) ? (2a ? b)
设 QS ? ? PQ 得 3a ? 2b ? ? (2a ? kb) (P79)18 已知向量 a ? (? ,

??? ?

??? ?

?

?

?

?

则选 D

?

? ? 1 3 ??? ? ? ??? ? ? ), OA ? a ? b , OB ? a ? b , 若⊿ABC是以 O 为直角顶点 2 2
)

的等腰直角三角形,则⊿ABC的面积为(

A.?2???????????B.? 3???????????C.? 2?????????D.1 ?

3

(P75)10.设点 O 在⊿ABC的内部,具有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0, 则⊿ABC的面积与⊿ AOC的面积之比为( )

??? ?

??? ?

??? ?

?

3 5 A??1??????????B?? ????????????C.?3?????????????D.? 2 2 ? 解 :( 三 个 向 量 之 和 等 于 0, 必 须 把 这 三 个 向 量 分 解 为 两 个 相 反 向 量 )

b (2010 华约) 设向量 a, b 满足 a ? b ? 1, a? ? m , a ? tb (t ? R) 的最小值为 2. 则 (D )
(A)2 (B) 1 ? m2 (C)1 (D) 1 ? m2

? ?

?

?

? ?

?

?

( 真 p40.1 ) 1 . 已 知 P 为 三 角 形 ABC 内 部 任 一 点 ( 不 包 括 边 界 ) 且 ,

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ( PB ? PA)( PB ? PA ? 2PC) ? 0, 则△ABC 一定为( ? ? ?? ? ???

)

A.直角三角形;B. 等边三角形;C. 等腰直角三角形;D. 等腰三角形 解 : 因 为 P B? P A ?

? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? A B P? P2 , B ?A P C C B, , 所 以 已 知 条 件 可 改 写 为 ? ? CA
因此 选 D。

? ? ?? ? ? ?? ? ??? 。容易得到此三角形为等腰三角形。 A B? ( C B C)A? 0 ?
4

(真 P64)

? ??? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? 7)在三角形 ABC 中,向量 a ? AB ? AC , b ? 3AB ? 8 AC ? BC , c ? 4CB ? BA ,则
下列结论一定成立的是( ) ? ? ? A、向量 a ? c 一定与向量 b 平行

? ? ? B、向量 b ? c 一定与向量 a 平行

? ? ? C、向量 a ? b 一定与向量 c 平行
(真 P66) 10、设 | a |=| b |=1 , a 与 b 的夹角为 为________.( 2 3 ) (真 P100)

? ? ? D、向量 a ? b 一定与向量 c 平行

?

?

?

?

p ? ? ? ? ,则以 a + b 与 3a - b 为邻边的平行四边形的面积 3

? 4.向量 a ? i ? 2 j 在向量 b ? 3i ? 4 j 上的投影 (a)b ? __________.

? ?

?

?

?

?

?

(真 P188) 114.若向量 a +3 b 垂直于向量 7 a -5 b ,并且向量 a -4 b 垂直于向量 7 a -2 b ,则向量 a 与 b 的夹角为_______。 A.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ; 2

B.

? ; 3

C.

? ; 4

D.

? . 6

(真 P241)

(答案:C)

5


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