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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积

2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积


成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

第一章
空间几何体

第一章 空间几何体

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第一章
1.3 空间几何体的表面积与体积

第一章 空间几何体

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第一章
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

第一章 空间几何体

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第一章
第2课时 柱体、锥体、台体的体积

第一章 空间几何体

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课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 探索延拓创新

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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课前自主预习

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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温故知新 1.圆柱OO′的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的 侧面积为________,表面积为________.
[答案] 24π 32π
[解析]

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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2.底面是菱形的直棱柱,它的体对角线的长分别是9和 15,高是5,则这个棱柱的侧面积是( A.130
[答案] D

) D.160

B.140

C.150

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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[解析]

设底面两条对角线的长分别为a、b,则a2+52=

92,b2+52=152,所以a=2 14,b=10 2.所以菱形的边长x= a2 b2 ?2? +?2? =8,所以S直棱柱侧=4x· 5=4×8×5=160.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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a3 3.棱长为a的正方体的体积为
a、b、c的长方体的体积为 abc .

,长、宽、高分别为

4.底面积为S,高为h的柱体体积V= Sh ,底面半径为

πr2h . r,高为h的圆柱的体积V=

6 3 a 5.正方体的全面积为a2,则它的体积为 36 .

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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[解析]

设棱长为x,则6x2=a2,

6 6 3 3 ∴x= a,V=x = a . 6 36

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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新课引入 2008年北京奥运会的重要前奏是奥运圣火的传递,圣火由 “祥云”火炬承载,传遍五洲四海,弘扬奥林区匹克精神.“祥 云”火炬外形是细长的圆台形式,长72cm,重985g,燃料为丙 烷.那么其内部能盛装多少液态的丙烷?本节课我们将探求计算 几何体体积的方法.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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自主预习 阅读教材P25-26,回答下列问题: 1.柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指 两底面 之间的距离,即从一底面 上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的 交点)之间的距离. (2)柱体的底面积为S,高为h,其体积V= Sh .特别地,圆
2 柱的底面半径为r,高为h,其体积V= πr h .

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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十棱柱的底面积为 3,高为2 3,则其体积等于 ________.

[答案] 6
[解析] V=Sh= 3×2 3=6.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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2.锥体的体积

顶点与 垂足 (1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线,
(垂线与底面的交点)之间的距离.
1 Sh (2)锥体的底面积为S,高为h,其体积V= 3 .特别地,

1 2 πr h 圆锥的底面半径为r,高为h,其体积V= 3 .

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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已知圆锥SO的底面半径r=2,高为4,则其体积等于 ________.
[答案] 16 π 3

[解析]

1 2 1 16 2 V= πr h= π×2 ×4= π. 3 3 3

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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3.台体的体积 (1)圆台(棱台)的高是指 两个底面 之间的距离.

(2)台体的上、下底面面积分别为S′,S,高为h,其体积

1 (S+ SS′+S′)h V= 3 .特别地,圆台的上、下底面半径分别 1 2 π(r +rr′+r′2)h 为r,r′,高为h,其体积V= 3 .

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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[破疑点]柱、锥、台体的体积有如下关系:

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积 是( ) A.18+6 2 C.24 B.6+2 2 D.18

[答案] B
1 [解析] 体积V= (2+ 2×4+4)×3=6+2 2. 3

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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圆台OO′的上、下底面半径分别为1和2,高为6,则其 体积等于________.

[答案]

14π

1 [解析] V=3π×(12+1×2+22)×6=14π.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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思路方法技巧

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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空间几何体的体积
学法指导 1.常见的求几何体体积的方法:

(1)公式法:直接代入公式求解. (2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需 选用底面积和高都易求的形式即可. (3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱 柱、三棱柱补成四棱柱等. (4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体 积.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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2.求几何体体积时需注意的问题: 柱、锥、台的体积的计算,一般要找出相应的底面和 高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入 公式计算.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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[例1]

一个直角梯形的两底长为2和5,高为4.

(1)将其绕垂直于底的腰所在直线旋转一周,求所得旋转 体的表面积和体积. (2)将其绕较长底所在直线旋转一周,求所得旋转体的表 面积和体积. [分析] (1)旋转所得到的几何体为圆台,而(2)中几何体

则为圆柱与圆锥的组合体.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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[解析]

(1)旋转所得几何体如图.

∵梯形的上底长为2,下底长为5,高为4,∴腰长为5.由 圆台的表面积与体积公式得S表=π(4+25+10+25)=64π, 1 2 1 2 V=3π(r +rr′+r′ )· 3π(25+10+4)· h= 4=52π.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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(2)旋转所得几何体如图. 由图可知:几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的 侧面积和底面圆的面积之和, ∴S=S圆+S圆柱侧+S圆锥侧 =π×42+2π×4×2+π×4×5 =16π+16π+20π=52π. 1 V=V柱+V锥=π×4 ×2+ ×π×42×3=32π+16π=48π. 3
2

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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长方体相邻三个面的面积分别为2、3、6求它的体积.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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[解析] ?ab=6 ? ?ac=3 ?bc=2 ?

设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则有

,∴a2b2c2=36,∴abc=6.

又V=abc=6,∴体积为6.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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探索延拓创新

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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利用割补法求体积
学法指导 当一个几何体的形状不规则时,无法直接运

用体积公式求解,这时一般通过分割与补形,将原几何体分 割或补形成较易计算体积的几何体,从而求出原几何体的体 积,这种方法就称为割补法.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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提示:割补法的原则是将不易求体积的几何体变为易求体 积的几何体,是求体积问题的一种常见方法.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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[例 2]

如图,在多面体 ABCDEF 中,已知四边形 ABCD

是边长为 1 的正方形,且△ADE,△BCF 均为正三角形,EF ∥AB,EF=2,求多面体的体积. [分析]

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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[解析]

如图,取 AD 中点 M,过 M 作 MN⊥EF 于 N,取

BC 的中点 G,过 G 作 GH⊥EF 于 H,则原几何体可分割为左 棱锥 E-ADN、右棱锥 F-BCH、直三棱柱 ADN-BCH,且两 1 3 锥 高 各 是 2 , 棱 柱 高 1 , 连 接 EM , 则 EM = 2 , MN = 32 12 2 ? 2 ? -?2? = 2 . 1 2 1 1 2 1 2 2 2 ∴V= ×1× ×1+2× × × ×1× = + = . 2 2 3 2 2 2 4 12 3

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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三棱台 ABC-A1B1C1 中,AB:A1B1=1:2,则三棱锥 A1 -ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1 的体积之比为( A.1:1:1 C.1:2:4 B.1:1:2 D.1:4:4 )

[答案] C

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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[分析]

如图, 三棱锥 B-A1B1C 可看作棱台减去两个三棱

锥 A1-ABC 和 C-A1B1C1 后剩余的几何体, 分别求几何体的体 积,然后相比即可.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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[解析]

设棱台的高为 h,S△ABC=S,则 S△A1B1C1=4S.

1 1 ∴VA1-ABC=3S△ABC· 3Sh, h= 1 4 VC-A1B1C1= S△A1B1C1· Sh, h= 3 3 1 7 又 V 台=3h(S+4S+2S)=3Sh, ∴VB-A1B1C=V 台-VA1-ABC-VC-A1B1C1 7 Sh 4Sh 2 =3Sh- 3 - 3 =3Sh. ∴体积比为 1:2:4.∴应选 C.
第一章 1.3 1.3.1 第2课时

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总结评述:三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥,分 割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积,在立体几何中,割 补法是重要的方法.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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与三视图有关的体积问题
[例 3] (2011· 天津高考)一个几何体的三视图如下图(单

位:m),则该几何体的体积为________m3.

[答案]

(6+π)
第一章 1.3 1.3.1 第2课时

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[解析]

此几何体是由一个长为 3,宽为 2,高为 1 的长方

体与底面直径为 2,高为 3 的圆锥组合而成的,故 V=V 长方体+ π 2 V 圆锥=3×2×1+ ×1 ×3=(6+π)m3. 3

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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(2010· 陕西高考)若某空间几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积是( )

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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1 A.3 C.1

2 B.3 D.2

[答案] C

第一章

1.3

1.3.1

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[解析]

由三视图可知,该空间几何体是底面为直角三角

形的直三棱柱,三棱柱的底面直角三角形的边长分别为 1 和 2,三棱柱的高为 2,故该几何体的体积为 × 2=1.故选 C.
?1 V= ?2× ? ? 2×1? ?

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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基础巩固训练

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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1.长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1、2、3,则长方 体的体积与表面积分别为( A.6,22 C.6,11 B.3,22 D.3,11 )

[答案]

A

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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2.已知圆台 OO′的上、下底面半径分别为 2 和 4,高为 9,则圆台 OO′的体积是( A.84π C.54π
[答案] A

)

B.60π D.40π

1 2 [解析] V= π(2 +2×4+42)×9=84π. 3

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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1 3.圆锥的高扩大为原来的 n 倍,底面半径缩小为原来的n 倍,那么它的体积变为原来的( A.1 倍 C.n 倍
2

)

B.n 倍 1 D.n倍

[答案]

D

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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[解析]

1 2 由锥体的体积公式 V=3πr h,可知锥体的体积与

高成正比,与底面半径的平方成正比.

第一章

1.3

1.3.1

第2课时

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4.已知高为 3 的棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 1 的 正三角形(如图),则三棱锥 B1-ABC 的体积为( 1 1 A.4 B.2 3 3 C. 6 D. 4 )

[答案]

D

第一章

1.3

1.3.1

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[解析] 3 ×1 = 4 ,
2

3 三棱锥 B1-ABC 的高 h=3, 底面积 S=S△ABC= 4

1 1 3 3 则 VB1-ABC=3Sh=3× 4 ×3= 4 .

第一章

1.3

1.3.1

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5.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那 么圆柱与圆锥的体积之比为( A.1 1 B. 2 3 C. 2 ) 3 D. 4

[答案]

D

第一章

1.3

1.3.1

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[解析]

设圆柱底面半径为 R, 圆锥底面半径 r, 高都为 h,

由已知得 2Rh=rh,∴r=2R, 1 2 V 柱?V 锥=πR h? πr h=3? 4 ,故选 D. 3
2

第一章

1.3

1.3.1

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6.(2012· 全国新课标(文))如图,网格上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的体积为( )

A.6 B.9
[答案] B

C.12 D.18

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1.3

1.3.1

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[解析]

由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底面为

1 1 一边长为 6,这边上高为 3,棱锥的高为 3,故其体积为 × 3 2 ×6×3×3=9,故选 B.

第一章

1.3

1.3.1

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7.(2012· 上海高考数学试题(理科))若一个圆锥的侧面展 开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为________.

[答案]

3π 3

第一章

1.3

1.3.1

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[解析]

根据该圆锥的底面圆的半径为r,母线长为l,根

1 2 据条件得到 πl =2π,解得母线长l=2,2πr=πl=2π,r=1所以 2 1 1 3 2 2 该圆锥的体积为:V圆锥= Sh= × 2 -1 π= π. 3 3 3 [点评] 本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开

图.审清题意,所求的为体积,不是其他的量,分清图形在 展开前后的变化;其次,对空间几何体的体积公式要记准记 牢,属于中低档题.

第一章

1.3

1.3.1

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8.如图所示,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,截 去三棱锥C1-BCD后剩余部分的几何体的体积V=________.

[答案]
[解析]

20 3
? 1 ?1 20 ? ×2×2?×2= . V=V正方体-VC1-BCD=2 -3× 2 3 ? ?
3

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1.3.1

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