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2018-2019年数学高中学业水平测试课件专题六第22讲随机事件的概率ppt版本_图文

2018-2019年数学高中学业水平测试课件专题六第22讲随机事件的概率ppt版本_图文

专题六概率

第 22 讲 随机事件的概率

1.随机事件和确定事件
(1)在条件 S 下,一定会发生的事件,叫作相对于条 件 S 的必然事件.
(2)在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫作相对于 条件 S 的不可能事件.
(3) 必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确 定事件.

(4) 在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫作 相对于条件 S 的随机事件.
(5) 确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字 母 A,B,C…表示.

2.频率与概率
在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机 事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件 A 发生的频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作随 机事件 A 的概率,记作 P(A).

3.事件的关系与运算
互斥事件:在一个随机试验中,我们把一次试验下 不能同时发生的两个事件 A 与 B 称作互斥事件.
事件 A+B:事件 A+B 发生是指事件 A 和事件 B 至 少有一个发生.对立事件:不会同时发生,并且一定有 一个发生的事件是相互对立事件.

4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率 P(E)=1. (3)不可能事件的概率 P(F)=0. (4)互斥事件概率的加法公式. ①如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+ P(B). ②若事件 A 与事件-A 互为对立事件,则 P(A)=1- P(-A ).

5.互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事 件是不能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两 个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生, 因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未 必是对立事件.

1.事件关系的判断
【例 1】 判断下列各对事件是不是互斥事件或对立 事件:某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学 去参加演讲比赛,其中
①恰有 1 名男生和恰有 2 名男生; ②至少有 1 名男生和至少有 1 名女生; ③至少有 1 名男生和全是女生.

解:①是互斥事件,不是对立事件.“恰有 1 名男生” 实质选出的是“1 名男生和 1 名女生”,与“恰有 2 名男 生”不可能同时发生,所以是互斥事件,不是对立事件.
②不是互斥事件,也不是对立事件.“至少有 1 名男 生”包括“1 名男生和 1 名女生”与“2 名都是男生”两 种结果,“至少有 1 名女生”包括“1 名女生和 1 名男生” 与“2 名都是女生”两种结果,它们可能同时发生.

③是互斥事件且是对立事件.“至少有 1 名男生”, 即“选出的 2 人不全是女生”,它与“全是女生”不可能 同时发生,且其和事件是必然事件,所以两个事件互斥且 对立.

剖析:对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对 立事件除不能同时发生外,其和事件应为必然事件.这些 也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果 写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而判定所给 事件的关系.

2.随机事件的频率与概率 【例 2】 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓 球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检 测,检查结果如下表所示:
抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1902 优等品频率mn

(1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等 品的概率是多少(结果保留到小数点后三位)? 解:(1)依据公式 f=mn ,计算出表中乒乓球优等品的
频率依次是 0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.

(2)由(1)知,抽取的球数 n 不同,计算得到的频率值 不同,但随着抽取球数的增多,频率在常数 0.950 的附近 摆动,所以质量检查为优等品的概率约为 0.950.

剖析:(1)概率与频率的关系:频率反映了一个随机 事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定 的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小, 有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.

(2)随机事件概率的求法:利用概率的统计定义求事 件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐 渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.

3.互斥事件、对立事件的概率

【例 3】 下表为某班英语及数学成绩的分布,学生

共 50 人,成绩分 1~5 五个档次.例如表中所示英语成绩

为 4 分、数学成绩为 2 分的学生为 5 人.将全班学生的姓

名卡片混在一起,任取一张,该卡片对应学生的英语成绩

为 x,数学成绩为 y.(注:没有相同姓名的学生)

y

数学

x

543

21

51 3 1

01

41 0 7

英 语

3

2

1

0

21 b 6

51 93 0a

10 0 1

13

(1)x=1 的概率为多少?x≥3 且 y=3 的概率为多 少?
(2)a+b 等于多少? 解:(1)由表可知,x=1 的学生共有 5 人,x≥3 且 y =3 的学生共有 8 人, 故 x=1 的概率为 P=580=110, x≥3 且 y=3 的概率为 P=550=245.

(2)由表可知:x=1 的学生有 5 人, x=2 的学生有(a+b+7)人,x=3 的学生有 15 人, x=4 的学生有 14 人,x=5 的学生有 6 人. 所以 5+(a+b+7)+15+14+6=50,所以 a+b=3.

1.甲:A1、A2 是互斥事件:乙:A1、A2 是对立事件, 那么( )
A.甲是乙的充分非必要条件 B.甲是乙的必要非充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的非充分非必要条件 解析:根据对立事件与互斥事件的关系知,甲是乙的 必要非充分条件. 答案:B

2.同时掷 3 枚硬币,那么互为对立事件的是( ) A.至少有 1 次正面和最多有 1 次正面 B.最多有 1 次正面和恰有 2 次正面 C.不多于 1 次正面和至少有 2 次正面 D.至少有 2 次正面和恰有 1 次正面
解析:对于 A,两事件可能同时发生;对于 B、D, 两事件是互斥事件但不是对立事件;对于 C,事件“不多 于 1 次正面”包含“没有一次正面”和“恰有一次正面” 两种可能,事件“至少有 2 次正面”包含和“恰有 2 次正 面”和“恰有 3 次正面”两种情况,故两事件是对立事件.
答案:C

3.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高

小于 160 cm 的概率为 0.2,该同学的身高在[160,175]的

概率为 0.5,那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为

() A.0.2

B.0.3

C.0.7

D.0.8

解析:“身高超过 175 cm”与“身高超不过 175 cm”

是对立事件,故所求概率为 1-0.2-0.5=0.3.

答案:B

4.某城市 2010 年的空气质量状况如下表所示:
污染指 30 60 100 110 130 140
数T

概率 P

1 10

1 6

1721 3 30 15 30

其中污染指数 T≤50 时,空气质量为优;50<T≤100

时,空气质量为良:100<T≤150 时,空气质量为轻微污

染,该城市 2010 年空气质量达到良或优的概率为( )

A.35

B.1180

1

5

C.19

D.6

解析:由表知空气质量为优的概率为110,空气质量为 良的概率为16+13=36=12,故空气质量为优或良的概率为110 +12=35.
答案:A

5.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度 在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和[25,30) 上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用 频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二 等品的概率为( )

A.0.09 C.0.25

B.0.20 D.0.45

解析:设区间[25,30)对应矩形的另一边长为 x,则 所有矩形面积之和为 1,即(0.02+0.04+0.06+0.03+ x)×5=1,解得 x=0.05.产品为二等品的概率为 0.04×5 +0.05×5=0.45.
答案:D

6.在 200 件产品中,有 192 件一级品,8 件二级品, 则下列事件:
①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品; ②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品; ③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是二级品. 其中③是必然事件;②是不可能事件;①是随机事 件.

7.某射手的一次射击中,射中 10 环、9 环、8 环的 概率分别为 0.2、0.3、0.1,则此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为________.
解析:依题意知,此射手在一次射击中不超过 8 环 的概率为 1-(0.2+0.3)=0.5.
答案:0.5

8.若随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等

于 0,且 P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数 a 的取值范

围是________.

??0<P(A)<1,

?

解析:由题意可知?0<P(B)<1,

?

?

??P(A)+P(B)≤1

??0<2-a<1, ??1<a<2,

? ?0<4a-5<1 ? ??3a-3≤1

,??????54a<≤a43<32,?54<a≤43.

答案:???54,43 ???

9.某校有教职工 130 人,对他们进行年龄状况和受 教育情况(只有本科和研究生两类)的调查,其结果如图:

分类

本科

研究生

35岁以下

a

35

35~50岁

25

b

50岁以上

4

2

(1)随机抽取一人,是 35 岁以下的概率为1276,求 a,b

的值;

(2)从 50 岁以上的 6 人中随机抽取两人,求恰好只有

一位是研究生的概率.

解:(1)由已知得:a+ 13035=1276,解得 a=50, 故 b=130-(50+35+25+4+2)=14,即 b=14. (2)将 50 岁以上的 6 人进行编号:四位本科生为:1, 2,3,4,两位研究生为 A,B.从这 6 人中任取 2 人共有 15 种等可能发生的基本事件,分别为:12,13,14,1A, 1B,23,24,2A,2B,34,3A,3B,4A,4B,AB;

其中恰好有一位研究生的有 8 种,分别为:1A,1B, 2A,2B,3A,3B,4A,4B,
故所求的概率为 P=185.

10.某商场举行抽奖活动,从装有编号 0,1,2,3 四个小球的抽奖箱中,每次取出后放回,连续取两次,取 出的两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖,等于 4 中二 等奖,等于 3 中三等奖.求:
(1)中三等奖的概率; (2)中奖的概率. 解:设“中三等奖”为事件 A,“中奖”为事件 B,
从四个小球中有放回的取两个共有(0,0),(0,1),(0,
2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,
1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)共有
16 种不同的方法.

(1)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种:(0, 3),(1,2),(2,1),(3,0).
故 P(A)=146=14. (2)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种,两 个小球号码相加之和等于 4 的取法有 3 种:(1,3),(2, 2),(3,1),两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种: (2,3),(3,2),故 P(B)=146+136+126=196.

再见
2019/11/21


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