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2018年高中数学人教版选修4-5课件:基本不等式_图文

2018年高中数学人教版选修4-5课件:基本不等式_图文

证明 因为a ? b ? 2ab ? ?a ? b ? ? 0,当且仅 a ? b时等号成立 , 所以,当且仅当 a ? b时, 等号 成立. 2 2 2 A H I K D G F B J C E 图1.1 ? 2 以 a ? b 为例, 如图1.1 ? 2, 在正方形 ABCD中, AB ? a ; 在正方形 CEFG中, EF ? b.那么 S正方形ABCD ? S正方形CEFG ? a ? b . 矩形BCGH和矩形 JCDI 的长 2 2 均为 a, 宽为 b,它们的面积和是 S矩形BCGH ? S矩形JCDI ? 2ab. 矩形BCGH和和矩形 JCDI的公共部分是正 A I 方形 JCGK,它的边长 D F 等于 b, 其面积与正方 G H K 形CEFG相等. 所以 , 上述两个矩形的面积 J C E B 和 2ab就 等 于 图中阴 图1.1 ? 2 影部分的面积 ,它不大 于正方形 ABCD 与正方形 CEFG 的面积的和 , 即a ? b ? 2ab.当且仅当 a ? b时, 两个矩形成为 2 2 两个正方形 ,阴影部分面 积 等于正方形 ABCD 与正 方形 CEFG 面积和 , 即 a 2 ? b2 ? 2ab. a?b 如果 a, b 都是正数 , 我们就称 为a , b 2 ?arithm eticm ean? , ab 为 a, b 的 的 不等式可以表述为: ? geom etricm ean? , 于是 , 基本 下面我们讨论一下基本 不等式的几何意义 . 在图 1.1 ? 3中, CD是 Rt?ABC 中斜边 AB 上的高 , OC 是斜边 C AB上的中线 , AD ? A D O B a, BD ? b. 于是, 图1.1 ? 3 1 1 0 OC ? AB ? ?a ? b ? . 因为?DCA ? ?A ? 90 , 2 2 ?B ? ?A ? 900 , 所以 ?DCA ? ?B. AD CD 于是 , Rt ?DCA ~ Rt ?DBC , 从而 ? , CD BD a CD 即 ? .所以 CD ? ab . CD b C 当a ? b时, 在Rt?OCD中, 斜边 OC大于直角边 CD, A D O B a?b 图1.1 ? 3 所以 ? ab . 2 当a ? b时, Rt?ABC斜边 AB上的中线 OC和高 CD a?b 重合 , 所以 ? ab . 2 综上所述可知 , 基本不等式的几何意义 是 : 直角 三角形斜边上的中线不 小于斜边上的高 . 解 设矩形的长为 x , 宽为 y . x? y 根据基本不等式 ? xy , 2 l 可得 ? xy . 4 l2 于是, 矩形的面积 xy ? , 当且仅当 x ? y时, 16 等号成立 , 即当且仅当矩形是正方 形时 , 面 ?1?设矩形周长为定值 l, 即2x ? 2 y ? l为定值. l2 积 xy 取得最大值 . 16 ?2?设矩形面积为定值 S , 即 xy ? S 为定值 . x? y 根据基本不等式 ? xy , 2 矩形的周长 2?x ? y ? ? 4 xy ? 4 S , 当且仅当 x ? y 时, 等号成立 , 即当且仅当 值4 S. 矩形是正方形时 , 周长 2? x ? y ? 取得最小 一般地 , 从基本不等式可以得到 下面结论 : 对两个正实数 x, y, 如果它们的和 S 是定值, 则当且仅当x ? y时, 它们的积P取得最大值; 如果它们的积P是定值, 则当且仅当x ? y时, 它们的和S取得最小值. 图1.1 ? 4 解 ?1?设DQ ? y米, 则 2 x2 ? 4 xy ? 200, 200? x 从而 y ? . 于是 4x S ? 4200x2 ? 210? 4 xy ? 80? 2 y 2 2 2 图1.1 ? 4 2 ? 200 ? x 200 ? x ? 4200x ? 210? 4 x ? 80 ? 2? ? 4x 4x ? 400000 ? 38000 ? 4200 x ? 2 x 2 ? ? ? ? 2 ?2?由基本不等式可知 400000 4000x ? 2 x 2 400000 ? 2 4000x ? ? 80000 , 2 x 图1.1 ? 4 所以 S ? 38 000? 80 000 ? 118 000. 400 000 2 当且仅当 4 000 x ? , 即x ? 3.16时, 等号成立 . 2 x 由此可知 ,当AD约为 3.16米时, 休闲场所总造价 S取 2 最小值 118 000元.

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