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2016-2017学年北师大版高中数学必修一课件_3.5.3 对数函数的图像与性质 (共15张PPT)_图文

2016-2017学年北师大版高中数学必修一课件_3.5.3 对数函数的图像与性质 (共15张PPT)_图文

5.3 对数函数的图像 与性质

抽象概括

图 像
定义域 值域 单调性 奇偶性 过定点 0<x<1 x>1

0 <a < 1
y
1

a>1
y
0
1

o

x

x

x?( 0,+?) R 单调递减 非奇非偶 (1,0) y>0 y<0

x?( 0,+?) R 单调递增 非奇非偶 ( 1,0 ) y<0 y>0

抽象概括

y

3
2 1

y=log2x y=lgx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

O -1
-2 -3

y=log1/2x

抽象概括

(1)随着底数a的增大,图像在同一 象限内的位置按顺时针转. (2)y=logax与y=log1/ax的图像关于x轴 对称. (3)对数函数是非奇非偶函数.

例题解析

例1求下列函数的定义域:
(1) y=logax2; (2) y=loga(4-x);
(3) y=log(x-1)(3-x); (4) y=?log0.5(4x-3).

解: (1)因为x2>0,所以x≠?,即函数y=logax2的
定义域为 ?-???? ? (0,+??.

(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4x)的定义域为 (-??4).

例题解析
(3) 因为 3-x>0, x-1>0, x-1≠?, 所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域为 (1,2)??????.

(4)因为 4x-3>0,

x>3/4

log0.5(4x-3)?0,

4x-3≤?

定义域为 (3/4,1].

例题解析

例 2比较下列各组中两个值的大小:
(1) log23 , log23.5 (2) log0.71.6 , logo.71.8 解: (1)考察对数函数y=log2x,因为 2>1, 3<3.5所以 log23<log23.5.

(2)考察对数函数y=log0.7x,因为 0.7<1 , 1.6<1.8所以 log0.71.6 >log0.71.8.

例3

例题解析 求下列函数的定义域、值域:
(1) y ? 2
? x 2 ?1

解:要使函数有意义,必须:2 2 即: ? x ? 1 ? ?2 ? ?1 ? x ? 1 2 值域:因为 ? 1 ? x ? 1所以 ? 1 ? ? x ? 0
1 1 ? x ?1 从而 ? 2 ? ? x ? 1 ? ?1 ,故 ? 2 ? 4 2 1 1 ? x 2 ?1 1 所以 0 ? 2 ? ? ,即0 ? y ? 4 4 2
2
2

1 ? 4

? x 2 ?1

1 ? ?0 4

例题解析
从而定义域为[-1,1],值域为 2 (2) y ? log2 ( x ? 2 x ? 5)
1? ? ?0, 2 ? ? ?

.

解: 因为x 2 ? 2 x ? 5 , 2 对一切实数都恒有 x ? 2 x ? 5 ? 4 , 所以函数定义域为R, 从而 log2 ( x ? 2 x ? 5) ? log2 4 ? 2 ,
2

即函数值域为 [ 2,? ?).

例题解析 2 (3) y ? log1 (? x ? 4 x ? 5)
解: 函数有意义,必须: ? x ? 4 x ? 5 ? 0
2
3

? x ? 4 x ? 5 ? 0 ? ?1 ? x ? 5
2

(? x ? 4 x ? 5)的最大值为 9 2 所以 0 ? ? x ? 4 x ? 5 ? 9从而
2

由 ? 1 ? x ? 5 ,所以 在此区间内

即值域为 [?2,? ?) .
3

log1 (? x ? 4 x ? 5) ? log1 9 ? ? 2
2
3

例题解析
? ? x 2 ? x ? 0 , (1) 解:要使函数有意义,必须:? 2 ?loga (? x ? x) ? 0 , (2) 由(1) ? 1 ? x ? 0

(4) y ? log a ( ? x ? x )
2

? 1 时必须 ? x ? x ? 1 x ? ? 当 0 ? a ? 1 时必须 ? x 2 ? x ? 1 x ? R,,
由(2) 当a
2

,

综合(1)(2)得 ? 1 ?

x ? 0 且0 ? a ? 1 .

例题解析
1 当 ? 1 ? x ? 0 时( ? x ? x )的 最 大 值 为 4
2

1 1 2 所以0 ? ? x ? x ? ,所以 l oga ( ? x ? x ) ? l oga 4 4
2

所以 原函数定义域为:

? ? ?

? 1 l og , ? ?? a ? 4 ?

(0 ? a ? 1)

归纳总结
比较两个对数式的大小,一般有三种方法:

(1)若是同底的对数,则可直接利用对 数函数的单调性,只需比较两个真数的大 小即可.
(2)若是不同底的对数式,方法有: 10“搭桥法”, 20同底化法 30图像法

(3)比较法,包括作差法和作商法.

课外拓展
比较log56和log47的大小关系 造桥

解: 插入中间量log57(或log46), 由函数单调性 log56<log57,

再比较 log57 与 log47 的大小, 利用对数函数图像.

课外拓展
y

y1=log4x y2=log5x
1 7

o

x

得到 log57<log47,

所以 log56>log47.


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