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2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练: 4 Word版含解析

2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练: 4 Word版含解析

高考大题专攻练 4.数列(B 组) 大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点! 1.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(an +1,Sn)在直线 y= x-1 上, n∈N*. 世纪金榜导学号 92494440 (1)当实数 t 为何值时, 数列{an}是等比数列?并求数列{an}的通项公 式. (2)若 f(x)=[x]([x]表示不超过 x 的最大整数),在(1)的结论下,令 bn=f(log3an)+1,cn=an+ ,求 {cn}的前 n 项和 Tn. 【解析】(1)由题意得 Sn= an+1-1, 所以 Sn-1= an-1, 两式相减得 an= an+1- an, 即 an+1=3an, 所以当 n≥2 时,数列{an}是等比数列, 要使 n≥1 时,数列{an}是等比数列, 则只需要 =3, 因为 a1= a2-1, 所以 a2=2a1+2, 所以 =3,解得 t=2, 所以实数 t=2 时,数列{an}是等比数列,an=2·3n-1. (2)因为 bn=f(log3an)+1=[log3(2×3n-1)]+1, 因为 3n-1<2×3n-1<3n, 所以 n-1<log3(2×3n-1)<n, 所以 bn=n-1+1=n, 所以 cn=an+ =2×3n-1+ = 2×3n-1+ , 因为{an}的前 n 项和为 =3n-1, 的 前 n 项 和 为 (1- + - + … + = - )= , 所以 Tn=3n-1+ =3n- . 2.已知等比数列{ an}满足 an+1+an=9·2n-1,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn=nan,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn>kan-1 对一切 n ∈N*恒成立,求实数 k 的取值范围. 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为 q, 因为 an+1+an =9·2n-1, 所以 a 2+a1=9,a3+a2=18, 所以 q= = =2. 又 2a1+a1=9,所以 a1=3, 所以 an=3·2n-1,n∈N*. (2)bn=nan=3n·2n-1, 所以 Sn=3×1×20+3×2×21+…+3(n-1)×2n-2+3n×2n-1, 所以 Sn=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1, 所以 Sn=1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n, 所以- Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n= 所以 Sn=3(n-1)2n+3, 因为 Sn>kan-1 对一切 n∈N*恒成立, -n×2n=(1-n)2n-1, 所以 k< = =2(n-1)+ , 令 f(n)=2(n-1)+ , 则 f(n+1)-f(n)=2n+ - =2+ - =2- = >0, 故 f(n)随着 n 的增大而增大, 所以 f(x)min=f(1)= , 所以实数 k 的取值范围是 .

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