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普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷,解析版)

普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷,解析版)

2010 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷,解析版)
【名师简评】今年是我省实施新课改后的首届高考,本套试卷从题目的新颖度、整体难度等各个方面都是 质量较高的一套试卷,完全遵循了《普通高中新课程标准教学要求》和 2010 年《考试说明》 ,具体来说具 有以下几个特点: (1)命题遵循“考查基础知识的同时,注重考查能力”,贯彻“以能力立意命题”,“考查目标以考查能 力与考查素质为主”的指导思想.如本卷的第 10、11、21 题. (2)推出创新型题目,命题在主干知识的分布、试题难易程度的安排保持稳定的情况下,按照“试题相对 稳定,重点更加突出,稳中有变,变中求新,适度创新”的基本思路,在题型创新方面有一些背景新颖、 内涵丰富、富有新意的新题型.如本卷的第 10、19 题. (3) 新课标增加内容考查突出, 注意新旧知识结合, 在知识网络的交汇处设计试题, 加强综合能力的考查. 在 知识与方法的考查上,注重知识与方法并重,能力与创新并举,发挥导向作用.如本卷的第 4、5、8、11、 15、19 题. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每小题 5 分, 共 50 分). 1.集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x x ? 1 ,则 A∩B= (A) (C)

?

?

?

?

? x x ? 1?
? x ? 1 ? x ? 1?

(B) x ? 1 ? x ? 2 (D) x ? 1 ? x ? 1

?

?

?

?

【答案】D 【命题意图】本题主要考查集合基本运算中的交集的运算问题. 【解析】 A 2.复数 z=

B ? ? x ?1 ? x<1? .故选 D.

i 在复平面上对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(A)第一象限 【答案】A

【命题意图】本题主要考查复数的除法运算问题. 【解析】? z ?

i i(1 ? i) 1? i 1 1 ?1 1? ? ? ? ? i ,? 对应点 ? , ? 在第一象限. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 1 ? 1 2 2 ?2 2?

3.函数 f ( x) ? 2sin x cos x 是

(A)最小正周期为 2π 的奇函数 (C)最小正周期为 π 的奇函数 【答案】C

(B)最小正周期为 2π 的偶函数 (D)最小正周期为 π 的偶函数

【命题意图】本题主要考三角函数周期及奇偶性定义. 【解析】

f ? x ? ? sin 2 x,?T ?

2? ? ? , 又f ? ? x ? ? ? sin 2 x ? ? f ? x ? ,? f ? x ? 为奇函数.故选 C. 2

4.如图, 样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体, 它们的样本平均数分别为 xA和xB ,样本标准差分别为 sA 和 sB , 则 (A) xA > xB , sA > sB (B) xA < xB , sA > sB (C) xA > xB , sA < sB (D) xA < xB , sA < sB 【答案】B 【命题意图】本题主要考查对统计里面的均值及样本标准差的公式掌握.

【解析】由图知 x A ?

?x
i ?1

6

i

6

?

35 35 , x B ? ,由图可知样本 A 的曲线波动大,则 sA > sB .故选 B. 6 3

5.右图是求 x1,x2,…,x10 的乘积 S 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为 (A) S=S ? (n ? 1) (B) S ? S ? xm?1 (C) S ? S ? n (D) S ? S ? xm 【答案】D 【命题意图】本题主要考查程序框图的运用,重点是分析循环结构. 【解析】由图知空白框处在一个循环体中,开始时 n ? 1, S ? 1 每循环一次 n 增加 1,由输出结果可知第 K 次 循环后 S 应为循环前的 xK 倍,故选 D. 6.“ a ? 0 ”是“ a >0”的

(A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】A

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【命题意图】本题主要考查对充要条件的理解. 【解析】 | a |? 0 ? a ? 0或a ? 0 .故选 A. 7.下列四类函数中,具有性质“对任意的 x ? 0, y ? 0 ,函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)n ”的是 (A)幂函数 (C)指数函数 (B)对数函数 (D)余弦函数【答案】C

【命题意图】本题主要考查高中四个基本函数形式及运算法则. 【解析】因选项中四个函数解析式分别为: y ? xa , y ? loga x, 8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 (A)2 (C) (B)1 (D)

y ? a x , y ? cos x ,故由运算法则知选 C.

2 3

1 3

【答案】B 【命题意图】本题主要考查三视图与原图形之间的关系. 【解析】由三视图知几何体为直三棱柱,底面为直角三角形,两直角边分别为 1, 2 ,高为 2 ,体积为 1, 故选 B. 9.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 ( x ? 3) ? y ? 16 相切,则 p 的值为
2 2 2

(A)

1 2

(B)1

(C)2

(D)4

【答案】C 【命题意图】本题主要考查抛物线准线及直线与圆的位置关系的运用. 【解析】因抛物线的准线方程为 x ? ?

p p ,圆心 ? 3, 0 ? , r ? 4 ,? | 3 ? |? 4 ? 2 2

p ? 2 ? p ? 0? ,故选 C.
10.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 时再增 ..6 . 选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y ? ? x? ([x]表示不大 于 x 的最大整数)可以表示为

(A)y=[

x ] 10

(B)y=[

x?3 ] 10

(C)y=[

x?4 ] 10

(D)y=[

x?5 ] 10

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.观察下列等式: 13 ? 23 ? (1 ? 2)2 ,13 ? 23 ? 33 ? (1 ? 2 ? 3)2 ,

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4)2 ,
3 3 3 3 3

为 , 根据上述规律,第四个等式 .....
2

.

【答案】 1 +2 +3 +4 +5 = ?1+2+3+4+5 ?

?或15 ?
2

【命题意图】本题主要考查归纳推理的能力. 【解析】由前三个式子看出,第 K 个等式左边为从 1 到 K+1 的立方和,右边为这 K+1 个数和的平方,故第 四个等式为 1 +2 +3 +4 +5 ? ?1+2+3+4+5 ?
3 3 3 3 3
2

?或15 ? .
2

12.已知向量 a ? (2, ?1), b ? (?1, m), c ? (?1, 2) 若 (a ? b)∥c ,则 m= 【答案】 ? 1 【命题意图】本题主要考查向量的线性运算及向量平行的充要条件. 【 解 析 】 由 已 知 a ? b ? ?1, m ? 1? , c ? ?? 1,2? , 由

.

?

?

?

? ? ? ?a ? b ?// c

的 充 要 条 件 可 得

1? 2 ? ? m ?1? ? ? ?1? ? m ?1 ? 0 ,∴ m ? ?1 .
13.已知函数 f ( x) ? ? 【答案】2 【命题意图】本题主要考查复合函数求值的方法. 【解析】由题知 f ? 0? ? 2 ? f

?3x ? 2, x ? 1,
2 ? x ? ax, x ? 1,

若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a =

.

? f ?0?? ? f ? 2? ? 4 ? 2a ? 4a ? a ? 2 .
.

? x ? 2 y ? 4, ? 14.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ? x ? 2 ? 0, ?

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选做题)不等式 2x ?1 ? 3 的解集为 【答案】 ?x | ?1 ? x ? 2? 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法. 【解析】原不等式 ? ?3 ? 2 x ? 1 ? 3 ,故解集为 ?x | ?1 ? x ? 2? . B. (几何证明选做题) 如图, 已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC, BC 的长分别为 3cm, 4cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD= 【答案】 cm. .

16 5 16 cm . 5
.

【命题意图】本题主要考查平面几何的切割线定理的运用. 【解析】由题知边 AB=5cm,由切割线定理得 BC ? BD ? AB ? BD ?
2

C.(坐标系与参数方程选做题)参数方程 ?
2 【答案】 x ? ? y ? 1? ? 1 2

? x ? cos ? , ( ? 为参数)化成普通方程为 ? y ? 1 ? sin ?

【命题意图】本题主要考查参数方程与三角公式灵活运用.
2 2 2 2 【解析】由 1 ? sin ? ? cos ? ? x ? ? y ? 1? ,即 x ? ? y ? 1? ? 1 . 2 2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分). 16.(本小题满分 12 分) 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列 2

? ? 的前 n 项和 S .
an
n

17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理求解三角形问题,试题比较基础,入手比较容易.是一道立足 基础,灵活运用正余弦定理来求三角形中的边角问题的综合性试题. 【参考答案】解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos ?

1 AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 ?? , = 2 ?10 ? 6 2 2 AD DC

? ? ADC=120°, ? ADB=60°
在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理得

AB AD ? , sin ?ADB sin B

AD sin ?ADB 10sin 60? ? ? ? AB= sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ?5 6

【点评】本题针对的是大多数考生,试题比较好理解,入题相对容易些,加上正余弦定理在我们平时学习 中学生也常用到。所以做这一类题比较上手很容易得满分. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V.

【命题意图】本题主要考查立体几何中点线面位置关系,并以我们熟悉的四棱锥为载体,尽管侧重推理和 运算,但所用知识点不多,运算也不麻烦,对于大多考生来说还是一道送分题. 【参考答案】 解: (Ⅰ) 在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴ EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G,

则 EG⊥平面 ABCD,且 EG=

1 PA. 2

在△PAB 中,AP=AB, ? PAB=90°,BP=2,∴AP=AB= 2 ,EG=

2 . 2

∴S△ABC=

1 1 AB·BC= × 2 ×2= 2 , 2 2
1 1 2 1 S△ABC·EG= × 2 × = . 3 3 2 3

∴VE-ABC=

【点评】本题是我们常见的题型,相比平时那些求角及距离的题要容易的多,并且所考知识点不多运算也 不麻烦,是一道基础题. . 19 (本小题满分 12 分) 为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样检查,测得身高情况的统计 图如下:

(Ⅰ)估计该校男生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; (Ⅲ)从样本中身高在 180~190cm 之间的男生 中任选 2 人,求至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的概率. .. 【命题意图】本题主要考查统计里面的分层抽样,及古典型概率问题. 【参考答案】解 : (Ⅰ)样本中男生人数为 40 ,由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400. (Ⅱ)由统计图知,样本中身高在 170~185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人,样本容量为 70 ,所以样 本中学生身高在 170~185cm 之间的频率 f ?

35 ? 0.5, 故有 f 估计该校学生身高在 170~180cm 之间的概率 70

p1 ? 0.5.
(Ⅲ)样本中身高在 180~185cm 之间的男生有 4 人,设其编号为①,②,③,④, 样本中身高在 185~190cm 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤,⑥, 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为:

故从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为 15, 至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的可能结果数为 9,因此,所求概率 p2 ?

9 3 ? . 15 5

【点评】本题是我们平时统计里常考的题,只要概念掌握的好,前两问很容易得满分,第三问就要我们能 够熟练运用树状图表示基本事件了,这样即要求不重也不能漏,需要考生做题细心.

20.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 的 顶 点 为 A1 , A2 , B1 , B2 , 焦 点 为 F1 , F2 , a 2 b2

A1B1 ? 7, S

B1 A1B2 A2

? 2S

B1F1B2 F2

.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 n 为过原点的直线, l 是与 n 垂直相交于 P 点,与椭圆相交于 A, B 两点的直线, OP ? 1 .是否存 在上述直线 l 使 OA ? OB ? 0 成立?若存在,求出直线 l 的方程;并说出;若不存在,请说明理由. 【命题意图】本题主要考查圆锥曲线,以及运用代数的思想来解决椭圆和直线之间的一些几何问题,让考 生充分体会解析几何的本质,也考查考生做题的仔细程度. 【参考答案】解 : (Ⅰ)由 A1B1 ? 7 知 a +b =7,
2 2

① ② ③

由S A 1B 1A 2 B2 ? 2S B 1F 1B2 F2 知 a=2c, 又 b =a -c
2 2 2

由 ①,②,③解得 a =4,b =3, 故椭圆 C 的方程为

2

2

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ) 设 A,B 两点的坐标分别为(x1, y1), ? x2 , y2 ? 假设使 OA OB ? 0 成立的直线 l 存在, (i) 当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y ? kx ? m , 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 OP ? 1 得

【点评】本题主要对圆锥曲线中的椭圆进行了考查,问题的设置上比较简单,但第二问运算量大,学生不 易得分,是一道即考查学生基础知识又考查运算,分析能力的题.

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x , g ( x) ? a ln x , a ? R .

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 h( x) 存在最小值时,求其最小值 ? (a ) 的解析式; (Ⅲ)对(Ⅱ)中的 ? (a ) ,证明:当 a ? (0, ??) 时, ? (a) ? 1 .

(ii)当 a ? 0 时, h?( x) ?

x ? 2a ? 0, h( x) 在(0,+∞)上递增,无最小值。 2x

故 h( x) 的最小值 ? ( a ) 的解析式为 ? (a) ? 2a(1 ? ln 2a)(a ? 0).

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 ? (a) ? 2a(1 ? ln 2 ? ln a).

1 . 2 1 1 当 0 ? a ? 时, ? ? (a) ? 0 ,∴ ? ( a ) 在 (0, ) 上递增; 2 2 1 1 当 a ? 时, ? ? (a) ? 0 ,∴ ? ( a ) 在 ( , ??) 上递减. 2 2 1 1 ∴ ? ( a ) 在 a ? 处取得最大值 ? ( ) ? 1, 2 2 1 ∵ ? ( a ) 在 (0, ??) 上有且只有一个极值点,所以 ? ( ) ? 1也是 ? ( a ) 的最大值. 2
则 ? ? (a) ? ?2ln 2a ,令 ? ? (a) ? 0 解得 a ? ∴当 a ? (0, ??) 时,总有 ? (a) ? 1.

【点评】本题题目条件给的比较清晰,直接.只要抓住概念就可以很好的解决第一问,后两问主要难在需 要细心并且有耐心的去分类讨论,运算,方法并不难,所以考试时做这一类题时力争拿到第一步分,后面 的尽量争取.

参考答案 一、选择题 1-5DACBD 二、填空题 11. 1 +2 +3 +4 +5 =(1+2+3+4+5) (或 15 ) 12. -1 13.2 14.5 B
3 3 3 3 3 2 2

6-10ACBCB

15.A x ?1 ? x ? 2 三、解答题

?

?

16 5

C x +(y-1) =1.

2

2

16. 解: (Ⅰ)由题设知公差 d ? 0, 由 a1 ? 1, a1 , a3 , a9 成等比数列得 解得 d ? 1, d ? 0 (舍去) , 故 ?an ? 的通项 an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
an

1 ? 2 d 1 ? 8d ? , 1 1 ? 2d

? 2n ,

由等比数列前 n 项和公式得

Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ?

2(1 ? 2n ) ? 2n?1 ? 2. 1? 2

17. 解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,

1 AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 ?? , 由余弦定理得 cos ? = 2 ?10 ? 6 2 2 AD DC

? ? ADC=120°, ? ADB=60°
在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理得

AB AD ? , sin ?ADB sin B

AD sin ?ADB 10sin 60? ? ? ? AB= sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ?5 6

18. 解: (Ⅰ) 在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC.

20. 解 : (Ⅰ)由 A1B1 ? 7 知 a +b =7,
2 2

① ② ③

由S A 1B 1A 2 B2 ? 2S B 1F 1B2 F2 知 a=2c, 又 b =a -c
2 2 2

由 ①,②,③解得 a =4,b =3,

2

2

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ) 设 A,B 两点的坐标分别为(x1, y1), ? x2 , y2 ? 假设使 OA OB ? 0 成立的直线 l 存在, (i) 当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y ? kx ? m , 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 OP ? 1 得

m 1? k
2

? 1 ,即 m2 ? k 2 ? 1 .

由 OA OB ? 0 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0. 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程,得

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? (4m2 ?12) ? 0 ,
由求根公式可得

x1 ? x2 ?

?8km , 3 ? 4k 2



x1 x2 ?

4m2 ? 12 , 3 ? 4k 2



0 ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)

? x1x2 ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ,
将④,⑤代入上式并化简得

(1 ? k 2 )(4m2 ?12) ? 8k 2m2 ? m2 (3 ? 4k 2 ) ? 0,
将 m ? 1 ? k 代入⑥并化简得 ?5(k ? 1) ? 0 ,矛盾.
2



2

即此时直线 l 不存在. (ii)当 l 垂直于 x 轴时,满足 OP ? 1 的直线 l 的方程为 x ? 1或x ? ?1 , 则 A,B 两点的坐标为 (1, ), (1, ? ), 或 (?1, ), ( ?1, ? ), 当 x ? 1 时, OA OB ? (1, ) (1, ? ) ? ?

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

5 ? 0; 4

当 x ? ?1 时, OA OB ? (?1, ) (?1, ? ) ? ? ∴ 此时直线 l 也不存在.

3 2

3 2

5 ? 0; 4

综上可知,使 OA OB ? 0 成立的直线 l 不存在.

∴ ? (a) 在 a ?

1 1 处取得最大值 ? ( ) ? 1, 2 2 1 2

∵ ? ( a ) 在 (0, ??) 上有且只有一个极值点,所以 ? ( ) ? 1也是 ? ( a ) 的最大值. ∴当 a ? (0, ??) 时,总有 ? (a) ? 1.


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