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吉林市普通中学2012—2013学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学(理)答案

吉林市普通中学2012—2013学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学(理)答案

吉林市普通中学 2012—2013 学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测 吉林市普通中学 2012—2013 学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测

(2) ? bn ? ln an ? (?1) n an ? ln 2 2 n ?1 ? (?1) n 2 n ? Sn ? ln 2 ?

? n ln 2 ? ( ?1) n 2 n

数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题 1 B 2 C 3 C 4 A 5 B 6 A 7 B 8 B 9 C 10 D 11 B 12 D

(n ? 1)n ? [?2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? (?1) n 2 n ] 2 ln 2(n ? 1) n ?2[1 ? ( ?2) n ] 2 ln 2( n ? 1) n 2 ? ? ? ? (?2) n ? ? ????12分 2 3 3 2 3
因为 H、E 分别为 PA、PD 的中点,所以 HE∥AD, HE ? 因为 ABCD 是平行四边形,且 F 为线段 BC 的中点 所以 HE∥FC, HE ? FC 四边形 FCEH 是平行四边形

19、证明(1)取 PA 中点为 H,连结 CE、HE、FH,

二、填空题 13: 33 ;14: 1三、解答题

? 4

15: 1/3 ;16: ( ,?) +

1 4

1 AD , 2 1 AD 2
……4 分

所以 FC∥AD, FC ? 所以 EC∥HF

17 解 则 的最小正周期是



又因为 CE ? 平面PAF , HF ? 平面PAF

所以 CE∥平面 PAF

;……………4 分

(2)因为四边形 ABCD 为平行四边形且∠ACB=90° , 所以 CA⊥AD 又由平面 PAD⊥平面 ABCD 可得 CA⊥平面 PAD 由 PA=AD=1,PD=

所以 CA⊥PA

2 可知,PA⊥AD…………5 分

(2) ? 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z ? k ? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ? Z

所以可建立如图所示的平面直角坐标系 A-xyz

5? ? ? ? 所以函数的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? ,k ? Z ; 单调递减区间是 ? k? ? , k? ? ,k ? Z 6 3? 3 6 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? 所以函数f ( x)在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减??? 8分 ? 3? ?3 2? 3 ? 1 3 ? ?? 又f (0) ? ? , f ( ) ? ? .所以函数f ( x)在 ?0, ? 上的最小值是 ? ????10分 2 2 2 2 ? 2?

?

??

?

因为 PA=BC=1,AB= 2 所以 AC=1

所以 B(0,?1,0), C (1,0,0), P(0,0,1)

假设 BC 上存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60° , 设点 G 的坐标为(1,a,0) ? 1 ? a ? 0 , 设平面 PAG 的法向量为 m ? ( x, y, z ) 则? 所以 AG ? (1, a,0), AP ? (0,0,1)

? x ? ay ? 0 令 x ? a, y ? ?1, z ? 0 ?z ? 0

所以 m ? (a,?1,0)

.H

.E

18. 解 (1)设数列 {a n } 的公比为 q (q ? 0)

(1 分)

又 CG ? (0, b,0), CP ? (?1,0,1) 设平面 PCG 的法向量为 n ? ( x, y, z )

? a3 ? 1 是 a1和a4 的等差中项
? 2(a3 ? 1) ? a1 ? a4
解得 q =2 又因为 a1 =2 所以 an ? 2
n

(6 分)

则?

?by ? 0 令 x ? 1, y ? 0, z ? 1 所以 n ? (1,0,1) ?? x ? z ? 0
PAG 和 平 面 PGC

……………9 分 60° , 所 以

因 为 平 面

所 成 二 面 角 的 大 小 为

c o? m, n? ? s

a a ?1 ? 2
2

?

1 2

所以 a ? ?1 又 ? 1 ? a ? 0 所以 a ? ?1 ……………11 分 所以线段 BC 上存在一点 G, 使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60° G 即为 B 点 点……12 分 20 解:因为频率和为 1 所以 b ? 0.18, 因为频率=频数/样本容量 所以 c ? 100, a ? 15, (1)每位学生成绩被抽取的机会均等 p ?

当 x ? (0, x 2 ) 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 在(0, x 2 )上单调递减, 当 x ? ( x2 ,??) 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 在( x 2 ,+∞)单调递增 当 x ? x2 时, g ' ( x2 ) =0, g (x) 取最小值 g ( x 2 ) .

(1 分) (3 分) (5 分)

100 1 ? 800 8

? x 2 ? 2m ln x 2 ? 2mx 2 ? 0, ? g ( x2 ) ? 0, 则? 既? 2 ……………10 分 ? 2 ? g ' ( x2 ) ? 0, ? x 2 ? mx 2 ? m ? 0. ?
所以 2m ln x2 ? mx 2 ? m ? 0 ,因为 m ? 0 ,所以 2 ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 (*) 设函数 h( x) ? 2 ln x ? x ? 1 ,因为当 x ? 0 时, h(x ) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有一解. 因为 h(1) ? 0 ,所以方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即

(2) 在第六、七、八组共有 30 个样本,用分层抽样方法抽取 6 名学生的成绩,每个被抽 取的概率为

1 1 。第七组被抽取的样本数为 ?10 ? 2 。 5 5

将第六组、第八组抽取的样本用 a,b,c,d 表示,第七组抽出的样本用 E,F 表示。 抽取 2 个的方法有 ab ac ad aE aF bd bc bE bF cd cE cF dE dF EF, 共 15 种。 至少含 E 或 F 的取法有 9 种,概率为

3 5

1 m ? m 2 ? 4m ? 1 ,解得 m ? ……12 分 2 2

(9 分)

(直接看出 x=1 时,m=1/2 但未证明唯一性的给 3 分)

(3)75x0.04+85x0.06+95x0.2+105x0.22+115x0.18+125x0.15+135x0.1+145x0.05=110.4 估计平均分为 110.4 分 (12 分) 21 解: (1)依题意, f (x) 的定义域为(0, 知 +∞), a ? b ? 当

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? 22.解:(1)设点E(x,y),OE ? OA ? (x ? 2 2,y),OE ? OA ?(x ? 2 2,y) 由已知得 (x ? 2 2)2 ? y2 ? (x ? 2 2)2 ? y 2 ? 6 即E到两定点(?2 2,0), 2,0)的距离之和为定值6,且4 2 ? 6 (2 故轨迹C是以(?2 2,0)为焦点,长轴长为6的椭圆, 其方程为 x2 ? y2 ? 1...............(4分) 9

1 1 2 1 时,f ( x) ? ln x ? x ? x , 2 4 2

1 1 1 ? ( x ? 2)( x ? 1) ……………2 分 f ' ( x) ? ? x ? ? x 2 2 2x
令 f ' ( x) =0,解得 x ? 1.(∵ x ? 0 ) 当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递增;当 x ? 1时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f (x) 单 调递减. 所以 f (x) 的极大值为 f (1) ? ?
2

(2)如图,设P(x0 ,y0 )(x0y 0 ? 0)为曲线C上任一点由题设知O、A、P、B在以OP为直径的圆上, x ? y0 2 x0 2 y ) ?(y ? 0 )2 ?( 0 ) 2 2 2 而AB是圆O和以OP为直径的圆的公共弦
2 2

其方程为(x ?

3 ,此即为最大值 ……………4 分 4
2

将这两圆的方程相减得AB的方程为:x0 x ? y0y ? 1???? 8分 所以M( 1 1 ,0),N(0, ) x0 y0 1 1 OM ? ON ? 2 2 x0 y 0 1 1 1 ? ? 2 ? x 3 x0 3 2 0 ? y0 ? y02 3 9 ??12分 1

(2)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解, 设 g ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx , 则 g ' ( x) ?
2

2 x ? 2mx ? 2m . 令 g ' ( x) ? 0 , x
2

所以SΔ MON ?

x 2 ? mx ? m ? 0 .
因为 m ? 0 , x ? 0 , 分
2 2 所以 x1 ? m ? m ? 4m ? 0 (舍去), x2 ? m ? m ? 4m ,…… 6 2 2

1 ? ? 3

当且仅当

x0 1 ? y0 时等号成立,故Δ MON面积的最小值为 3 3


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