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二次函数与圆、相似形的综合(2)

二次函数与圆、相似形的综合(2)

二次函数的综合应用㈡
一、典例精析 考点一:二次函数与圆 9 1.如图所示,在平面直角坐标系 Oxy 中,已知点 A(- ,0),点 C(0,3),点 B 是 x 轴上一点(位于点 A 的 4 右侧),以 AB 为直径的圆恰好经过 点 C. .... (1)求∠ACB 的度数; (2)已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过 A、B 两点,求抛物线的解析式; (3)线段 BC 上是否存在点 D,使△BOD 为等腰三角形.若存在,则求出所有 符合条件的点 D 的坐标; 若不存在,请说明理由.

2.在平面直角坐标系中,抛物线经过 O(0,0) 、A(4,0) 、B(3, ?

2 3 )三点. 3

(1)求此抛物线的解析式; (2)以 OA 的中点 M 为圆心,OM 长为半径作⊙M,在(1)中的抛物线上是否存在这样的点 P,过点 P 作⊙M 的切线 l ,且 l 与 x 轴的夹角为 30°,若存在,请求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (注意:本题中的结果可保留根号)

1 3 3.已知二次函数 y ? ? x 2 ? x 的图象如图. 4 2
(1)求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标; (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与 x 轴, y 轴的交点分别为 A、B、C 三点, 若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式; (3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为 M,以 AB 为直径,D 为圆心作⊙D,试判断直线 CM 与⊙D 的 位置关系,并说明理由.

考点二:二次函数与相似形 4、如图,已知抛物线与 x 交于 A(-1,0)、E(3,0)两点,与 y 轴交于点 B(0,3)。 ⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 设抛物线顶点为 D,求四边形 AEDB 的面积; ⑶ △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。

5、如图,二次函数的图象经过点 D(0, 7 3 ),且顶点 C 的横坐标为 4,该图象在 x 轴上截 9 得的线段 AB 的长为 6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD 最小,求出点 P 的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点 Q,使△QAB 与△ABC 相似?如果存在,求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说 明理由.

x ? ?1,

6、已知抛物线的顶点为 A(2,1),且经过原点 O,与 x 轴的另一交点为 B。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 若点 C 在抛物线的对称轴上,点 D 在抛物线上,且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边 形,求 D 点的坐标; (3) 连接 OA、AB,如图②,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P,使得△OBP 与△OAB 相似?若存在, 求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由。
O y A B x O y A B x

图①

图②

二、能力提升 7、如图,在直角坐标系中,以点 M(3,0)为圆心,以 6 为半径的圆分别交 x 轴的正半轴于点 A,交 x 轴的负半轴交于点 B,交 y 轴的正半轴于点 C ,过点 C 的直线交 x 轴的负半轴于点 D(-9,0) (1) 求 A、C 两点的坐标; (2)求证 直线 CD 是⊙M 的切线‘ (2) 若抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 经过 M、A 两点,求此抛物线的解析式;

(3) 连接 AC,若(3)中抛物线的对称轴分别与直线 CD 交于点 E,与 AC 交于点 F。如果点 P 是抛物线 上的动点,是否存在这样的点 P,使得 S
PAM

:S

CEF

? 3 :3 ,若 存在,请求出此时点 P 的坐标;若

不存在,请说明理由。 (注意:本题中的结果均保留根号)

y C D B o M A x

8. 如图,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C .连结

AC、BC,A、C 两点的坐标分别为 A(?3, 0) 、C (0,3) ,且当 x ? ?4 和 x ? 2 时二次函数的函数值 y 相
等. (1)求实数 a,b,c 的值; (2)若点 M 、N 同时从 B 点出发,均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、BC 边运动,其中一个点 到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为 t 秒时,连结 MN ,将 △BMN 沿 MN 翻折, B 点恰 好落在 AC 边上的 P 处,求 t 的值及点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ,使得以 B,N,Q 为项点的三角形与

△ ABC 相似?如果存在,请求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.
y C P N

A

M O

B

x

9、如图 11,已知二次函数 y ? ( x ? m) 2 ? k ? m2 的图象与 x 轴相交于两个不同的点 A( x1, 0) 、 B( x2, 0) , 与 y 轴的交点为 C .设 △ ABC 的外接圆的圆心为点 P . (1)求 ⊙P 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标; (2)如果 AB 恰好为 ⊙P 的直径,且 △ ABC 的面积等于 5 ,求 m 和 k 的值.

1.解: (1) ∵以 AB 为直径的圆恰好经过 点 C ∴∠ACB= 90 0 .... (2) ∵△AOC∽△ABC ∴ OC 2 ? AO ? OB 9 9 OC ? 3 ∵A(- ,0),点 C(0,3),∴ AO ? 4 4
2 ∴3 ?

9 OB 4

∴ OB ? 4

∴B(4,0)

把 A、B、C 三点坐标代入得 y ? ?

1 2 7 x ? x?3 3 12 3 2

(3) ①OD=OB , D 在 OB 的中垂线上,过 D 作 DH⊥OB,垂足是 H 则 H 是 OB 中点。 DH=

1 OC 2

OH ?

1 OB 2

∴D (2, ) ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5

② BD=BO

过 D 作 DG⊥OB,垂足是 G ∴OG=

∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 2.解: (1)解析式为: y ? (2)存在 抛物线 y ?

4 5

DG=

3 5

∴D(

4 3 , ) 5 5
………………3分

2 3 2 8 3 x ? x 9 9

2 3 2 8 3 8 3 , x ? x 的顶点坐标是 (2, ? ) ,作抛物线和⊙M(如图) 9 9 9

设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B,与⊙M相切于点C 连接MC,过C作CD⊥ x 轴于D ∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30° , CM⊥BC ∴∠BCM = 90° ,∠BMC = 60° ,BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt△CDM中,∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴DM = 1, ∴ C (1, CD =
CM2 ? DM2 = 3

3)

l′

设切线 l 的解析式为: y = kx + b(k

0) ,点B、C在 l 上,可得:
3 2 3 ,b ? 3 3

?k ? b ? 3 ? ? ? ? ?2 k ? b ? 0

解得:

k?

∴切线BC的解析式为: y ? ∵点P为抛物线与切线的交点

3 2 3 x? 3 3

? ?y ? ? 由? ?y ? ? ?

2 3 2 8 3 x ? x 9 9 3 2 3 x? 3 3

1 ? x1 ? ? ? 2 ? 解得: ? ?y ? 3 1 ? ? 2
1 3 ), 2 2 P2 (6, 8 3 ) 3

? x2 ? 6 ? ? 8 3 ? y2 ? 3 ?

∴点P的坐标为: P , 1 (?

………………8分

∵ 抛物线 y ?

2 3 2 8 3 x ? x 的对称轴是直线 x ? 2 9 9

此抛物线、⊙M都与直线 x ? 2 成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线 x ? 2 的对称直线 l′(如图) 得到B、C关于直线 x ? 2 的对称点B1、C1 l′满足题中要求,由对称性,得到P1、P2关于直线 x ? 2 的对称点:

9 3 8 3 P3 ( , ) , P4 (?2, ) 即为所求的点. 2 2 3
∴这样的点P共有4个: P , 1 (? 3.解: (1)由 y ? ?

1 3 8 3 9 3 8 3 ) , P2 (6, ) , P3 ( , ) , P4 (?2, ) ………12分 2 2 3 2 2 3

1 2 3 b x ? x得 x ? ? ? 3 …………1 分 4 2 2a 1 2 3 x ? x?k 4 2 1 3 ? x2 ? x ? k ? 0 4 2
…………3 分

∴D(3,0)…………2 分 (2)方法一:如图 1, 设平移后的抛物线的解析式为 y ? ? 则 C (0, k ) OC= k 令y?0 即

得 x1 ? 3 ? 4k ? 9

x2 ? 3 ? 4k ? 9 …………4 分

∴A (3 ? 4k ? 9,0) ,B (3 ? 4k ? 9,0) ∴ AB2 ? ( 4k ? 9 ? 3 ? 3 ? 4k ? 9)2 ? 16k ? 36 ………5 分

AC2 ? BC2 ? k 2 ? (3 ? 4k ? 9)2 ? k 2 ? (3 ? 4k ? 9)2 ? 2k 2 ? 8k ? 36 ……………………6 分 2 2 2 ∵ AC ? BC ? AB 2 即: 2k ? 8k ? 36 ? 16k ? 36 得 k1 ? 4 k2 ? 0 (舍去) ……………7 分 1 2 3 ∴抛物线的解析式为 y ? ? x ? x ? 4 ……………8 分 4 2
方法二: ∵ y??

1 2 3 x ? x 4 2

∴顶点坐标 ? 3,

? 9? ? ? 4?

设抛物线向上平移 h 个单位,则得到 C ? 0, h? ,顶点坐标 M ? 3, ∴平移后的抛物线: y ? ?

? ?

9 ? ? h ? …………3 分 4 ?

1 9 2 ? x ? 3? ? ? h ……………………4 分 4 4

1 9 2 ? x ? 3? ? ? h ? 0 , 得 x1 ? 3 ? 4h ? 9 x1 ? 3 ? 4 4 ∴ A (3 ? 4h ? 9,0) B (3 ? 4h ? 9,0) ……………………5 分
当 y ? 0 时, ? ∵∠ACB=90°
2

4 h? 9

∴△AOC∽△COB

∴ OC ? OA·OB……………………6 分

h2 ?

?

4h ? 9 ? 3

??

4h ? 9 ? 3

?

得 h1 ? 4 , h2 ? 0 舍去 …………7 分

?

?

∴平移后的抛物线: y ? ? (3)方法一:

1 9 1 25 2 2 ? x ? 3? ? ? 4 ? ? ? x ? 3? ? …………8 分 4 4 4 4

如图 2, 由抛物线的解析式 y ? ?

1 2 3 x ? x ? 4 可得 4 2 25 A(-2 ,0),B(8,0) ,C(4,0) ,M (3, ) …………9 分 4
过 C、M 作直线,连结 CD,过 M 作 MH 垂直 y 轴于 H, 则 MH ? 3
2 ∴ DM ? (

25 2 625 ) ? 4 16

CM 2 ? MH 2 ? CH 2 ? 32 ? (

25 225 ? 4)2 ? 4 16

在 Rt△COD 中,CD= 32 ? 42 ? 5 =AD ∴点 C 在⊙D 上 …………………10 分

25 2 625 ) ? 4 16 225 25 625 CD 2 ? CM 2 ? 52 ? ? ( )2 ? 16 4 16 2 2 2 ∴ DM ? CM ? CD
2 ∵ DM ? (

……11 分

∴△CDM 是直角三角形,∴CD⊥CM ∴直线 CM 与⊙D 相切 …………12 分 方法二: 如图 3, 由抛物线的解析式可得 A(-2 ,0),B(8,0) ,C(4,0) ,M (3,

25 ) 4

…………9 分

作直线 CM,过 D 作 DE⊥CM 于 E, 过 M 作 MH 垂直 y 轴于 H,则 MH ? 3 , DM ? 定理得 CM ?

25 , 由勾股 4

15 4

∵DM∥OC ∴∠MCH=∠EMD ∴Rt△CMH∽Rt△DME

…………10 分 …………11 分

DE MD ? ∴ MH CM 由(2)知 AB ? 10

得 DE ? 5

∴⊙D 的半径为 5 ∴直线 CM 与⊙D 相切 …………12 分

6.


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