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高中数学 2-4第2课时等比数列精品课件同步导学 新人教A版必修5_图文

高中数学 2-4第2课时等比数列精品课件同步导学 新人教A版必修5_图文

第二章 解三角形

第四节 等比数列
第一课时 等比数列的性质

? 1.结合等差数列的性质,了解等比数列的性质的 由来. ? 2.理解等比数列的性质并能应用. ? 3.掌握等比数列的性质并能综合运用.

? 1.对等比数列性质的考查是本课时的热点. ? 2.本课时内容常与等差数列、函数、不等式结合 命题. ? 3.多以选择题和填空题的形式考查.

? 等差数列的常用性质
性 质1 通项公式的推广:an=am+(n-m)d(m、n∈N*)

性 质2
性 质3 性 质4 性 质5

若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*), 则ak+al=am+an
若{an}是等差数列,则2an=an-1+an+1,a1+an=a2+an -1=a3+an-2=… 若{an}、{bn}分别是以d1、d2为公差的等差数列,则{pan +qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列 若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k、m∈N*) 组成公差为md的等差数列

?

等比数列的常用性质
性 质1
性 质2 qn-m (n,m∈N*) 通项公式的推广:an=am· 若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak·l= a
?1? ? ? 若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},?a ?, ? n? ? ? ?an? ? ? {an },{an·n},?b ?仍是等比数列 b ? n? ? ?
2

性 质3
性 质4

在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等,即 a a1an=a2an-1=a3an-2=am·n … 在等比数列{an}中,序号成等差数列的项仍成等比数列

性 质5

? 1.将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成 新的数列a1a2,a2a3,a3a4,….此数列是( ) ? A.公比为q的等比数列 B.公比为q2的等比数列 ? C.公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列
解析: 设新数列为{bn},{bn}的通项公式为 bn=anan+1.

an+1an+2 an+2 2 所以 = a =q ,数列{bn}是公比为 q2 的等比数列. anan+1 n

? 答案: B

? 2.已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4 +2a3a5+ a4a6=36,那么a3+a5的值等于( ) ? A.6 B.10 ? C.15 D.20 ? 解析: 由题意知:a2a4=a32,a4a6=a52 ? ∴a32+2a3a5+a52=36,即(a3+a5)2=36, ? ∴a3+a5=6,故选6. ? 答案: A

? 3.在等比数列{an}中,a1·9=256,a4+a6=40,则公 a 比q=________.
解析: 根据 a1·9=a4·6, a a
?a +a =40, ? 4 6 ? 列方程组 ?a4·6=256. ? a ?a =32, ? 4 解得? ?a6=8, ?
2

?a =8, ? 4 或? ?a6=32. ?

a6 8 1 32 2 ∴q =a =32=4或 q = 8 =4. 4 1 ∴q=± 或 q=± 2. 2

1 答案: ± 或± 2 2

? 4.已知数列{an}为等比数列,若a1+a2+a3=7, a1·2·3=8,求数列{an}的通项公式. a a
解析: ∵a22=a1a3,代入已知, 得 a23=8,∴a2=2. 2 2 设前三项为q,2,2q,则有q+2+2q=7. 整理,得 2q2-5q+2=0, 1 ∴q=2 或 q=2. ?a1=4, a1=1, ? ? ?1?n-1. n -1 ∴? 或? 1 an=2 或 an=4·2? ? ? ? ?q=2, ?q=2. ?

已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1·2·3 =5, a a a7·8·9=10,则 a4·5·6=( a a a a A.5 2 C.6 ) B.7 D.4 2

[解题过程]

a1·2·3=a23=5 a a

a7·8·9=a83=10 a a a4·5·6=a53 a a 3 又∵a5 =a2·8,∴a5 =(a2·8)2 a a
2 3

1 3 1 ∴a4·5·6=(a2 a8 ) =(5×10) =5 a a
3

2

2

2.故选 A.

? 答案: A ? [题后感悟] 有关等比数列的计算问题,要灵 活应用等比数列的性质,以减少运算量.

? 1.(1)等比数列{an}中,若a9=-2,则此数列前17 项之积为________. ? (2)在等比数列中,若a2 =2,a6 =162,则a10 = ________. ? (3)在等比数列{an}中,a3·4·5=3,a6·7·8=24, a a a a 则a9·10·11的值是________. a a
解析: (1)由题意得 a1a2a3?a15a16a17 =(a1a17)· 2a16)· 3a15)?a9=a917=(-2)17 (a (a =-217.

(2)∵{an}成等比数列,∴a2,a6,a10 仍成等比数列, ∴a62=a2a10, a62 1622 ∴a10= a = 2 =13 122. 2

(3)∵{an}成等比数列, ∴a3·4·5,a6·7·8,a9·10·11 仍成等比数列, a a a a a a a6a7a8 24 此数列公式 q=a a a = 3 =8, 3 4 5 a9a10a11=(a6a7a8)· q=24×8=192.

答案: (1)-217 (2)13 122

(3)192

?

有四个数,前三个数成等比数列,后三 个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为 21,中间两个数的和为18,求这四个数.

? 由题目可获取以下主要信息: ? ①四个数中前三个数成等比数列,后三个数成等差数 列. ? ②第一个与第四个数的和为21,中间两数和为18.
a 解答本题由前三个数成等比数列, 可设这三个数为 , a, q aq(q≠0);由后三个数成等差数列,可设后三个数为 a-d, a,a+d;由第一个数与第四个数的和为 21,中间两个数的 和为 18,可设第一个数为 a,则第四个数为 21-a,设第二 个数为 b,则第三个数为 18-b.

a [解题过程] 方法一: 设前三个数分别为q, aq(q≠0), a, 则第四个数为 2aq-a, ?a ? +?2aq-a?=21 由题意得?q , ?a+aq=18 ? 3 解得 q=2 或 q= , 5 当 q=2 时,a=6,这四个数为 3,6,12,18; 3 45 75 45 27 9 当 q= 时,a= ,这四个数为 , , , . 5 4 4 4 4 4

方法二:设后三个数为 a-d,a,a+d, ?a-d?2 则第一个数为 a , ?a-d?2 因此这四个数为 a ,a-d,a,a+d. ??a-d?2 ? +?a+d?=21 a 由题意得? ?a-d+a=18 ?
? 27 ?a=12 ?a= 4 ? 解得? 或? ?d=6 ? ?d=-9 2 ? ,



75 45 27 9 ∴这四个数为 3,6,12,18 或 , , , . 4 4 4 4

? 方法三:设第一个数为a,则第四个数为21- a,设第二个数为b,则第三个数为18-b,则 这四个数为a,b,18-b,21-a,
?a?18-b?=b2 ? 由题意得? ?b+?21-a?=2?18-b? ?



? 75 ?a=3 ?a= 4 ? 解得? 或? ?b=6 ? ?b=45 4 ?



75 45 27 9 ∴这四个数为 3,6,12,18 或 , , , . 4 4 4 4

[题后感悟]

合理地设出所求数中的三个,根据题意得

出另一个是解决这类问题的关键.一般来说,三个数成等比 a 数列时可设 ,a,aq;三个数成等差数列时可设 a-d,a,a q +d;四个数成等差数列时,可设为 a-3d,a-d,a+d,a a a +3d,但当四个数成等比数列时,不能设成q3,q,aq,aq3, 这样隐含了公比 q2>0 这一条件,可能会产生失根.

? 2.若条件改为:已知四个数,前3个数成等差数列,后 三个数成等比数列,中间两个数之积为16,首尾两数之 积为-128,则如何求这四个数?
解析: a 依题意设后三个数为 ,a,aq, q

又∵前三个数成等差数列, 2a ∴第一个数为 q -a,则由已知得: ?a a=16 ?q· ?? ? 2a ?? -a?· aq=-128 q ?? ? ① ②

由①得 a2=16q 由②得 a
2



?2 ? ? -1?· q=-128. ?q ?

将③代入得:q2-2q-8=0, ∴q=4 或 q=-2. 又 a2=16q,∴q>0,∴q=4,∴a=± 8. 当 a=8 时,所求四个数分别为:-4,2,8,32. 当 a=-8 时,所求四个数分别为:4,-2,-8,-32.

?

某市2009年新建住房400万平方米,其中250万平方米 是中低价房,预计今年后的若干年内,该市每年新建住 房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中 低价房的面积比上一年增加50万平方米,那么到哪一年 底 ? (1)该市历年所建中低价房的累计面积 ? (以2009年为累计的第一年)将首次不 ? 少于4 750万平方米? ? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于85%.

? 本题主要考查构建数学模型解决实际问题,通 过阅读之后,找出题目中的相关信息,构造等 差数列和等比数列.

[规范作答]

(1)设中低价房面积构成数列{an},由题意

可知,{an}是等差数列,其中 a1=250,d=50, n?n-1? 则 Sn=250n+ 2 ×50=25n2+225n, 令 25n2+225n≥4 750,即 n2+9n-190≥0, 解得 n≤-19 或 n≥10,而 n 是正整数. ∴n≥10.4 分 故到 2018 年年底,该市历年所建中低价房的累计面积 将首次不少于 4 750 万平方米.6 分

? ? ? ? ?

(2)设新建住房面积构成数列{bn}, 由题意可知,{bn}是等比数列, 其中b1=400,q=1.08,则bn=400×(1.08)n-1, 由题意可知an>0.85bn, 即250+(n-1)×50>400×(1.08)n-1×0.85满足上述不 等式的最小正整数n=6.10分 ? 故到2014年年底,当年建造的中低价房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于85%.12分

? [题后感悟] 本题将实际问题抽象出一个数列 问题,解决数列应用题的关键是读懂题意, 建立数学模型,弄清问题的哪一部分是数列 问题,是哪种数列.在求解过程中应注意首 项的确立,时间的推算.不要在运算中出现 问题.

? 3.2009年,某县甲、乙两个林场森林木材的存 量分别为16a和25a,甲林场木材存量每年比 上年递增25%,而乙林场木材存量每年比上年 递减20%. ? (1)求哪一年两林场木材的总存量相等? ? (2)问两林场木材的总量到2013年能否翻一番?

解析:

(1)由题意可得 16a(1+25%)n-1=25a(1-20%)n-1,

解得 n=2, 故到 2011 年两林场木材的总存量相等. (2)令 n=5,则
?5? ?4? 4 a5=16a?4? +25a?5?4<2(16a+25a), ? ? ? ?

故到 2013 年不能翻一番.

? 1.等比数列的“子数列”是否成等比数列? ? 若数列{an}是公比为q的等比数列,则 ? (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比 数列; ? (2)奇数项数列{a2n-1}是公比为q2的等比数列; ? 偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列; ? (3)若{kn}成等差数列且公差为d,则{akn}是公比为qd 的等比数列,也就是说等比数列中项的序号若成等差 数列,则对应的项依次成等比数列.

? 2.等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列 等比数列

不 同点

(1)强调每一项与前一项 的差; (2)a1和d可以为零; (3)等差中项唯一.

(1)强调每一项与前一项的比; (2)a1与q均不为零; (3)等比中项有两个值.

相 同点

(1)都强调每一项与前一项的关系; (2)结果都必须是常数; (3)数列都可以由a1、d或a1、q确定.

联 系

(1)若{an}为正项等比数列,则{logaan}为等差数列;(2){an}为等差 数列{bn}为等比数列,则{ban}为等比数列.

? ◎在等比数列{an}中,a5,a9是方程7x2-18x +7=0的两个根,试求a7.
【错解】 因为 a5, 9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根, a 18 ? ?a5+a9= , 7 所以? 又因为 a7 是 a5,a9 的等比中项, ?a5·9=1. ? a 所以 a72=a5·9=1,即 a7=± a 1.

【错因】

上述解法忽视了对 a7 符号的讨论,由于 a5, a7 =± a5 a9 , 所以不论 q 取正 a7

a9 均为正数且公比为 q=±

还是取负,a7 始终与 a5 和 a9 符号相同.
【正解】 因为 a5, 9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根, a 18 ? ?a5>0 ?a5+a9= , ? 7 所以? 所以? ?a9>0. ? ?a5·9=1. a ? 又因为 a7 是 a5,a9 的等比中项, 所以 a72=a5·9=1. a 由于 a7=a5·2,故 a7 与 a5 同号,∴a7=1. q


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