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五月金榜题目数学试题目二理科数学答案

五月金榜题目数学试题目二理科数学答案

五月金榜题数学试题二

理科数学
答案及解答
一.选择题 CCDDA 二.填空题 ADCDB CB

13. (7,9) ;14.5;15. 三.解答题

4 3? ;16. 3 6

17.解: (I) f ( x) ? OA ? OB ? b ? 2a sin x ? 2a 3 sin x cos x ? a ? b
2

? a(1 ? cos2x) ? 3a sin 2x ? a ? b ? ?2a sin( 2 x ?
a ? 0 时,由 2k? ?

?
6

) ? 2a ? b ┅┅2 分

3? ,k ?Z 2 6 2 ? 2? ] (k ? Z ) ┅┅4 分 得 y ? f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? 6 3 ? 2x ? ? 2k? ?
a ? 0 时,由 2k? ?

?

?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k? ?

?

得 y ? f ( x) 的单调递增区间为 [ k? ? (II) f ( x) ? ?2a sin( 2 x ?

?
3

2

,k ?Z

, k? ?

?
6

] (k ? Z ) ┅┅6 分

?

? ? 7? 13? ? ?? ? ) ? 2a ? b , x ? ? , ? ? , 2 x ? ? ? , 6 6 ? 6 6 ? ?2 ? ?

sin( 2 x ?

?

1 ) ? [?1, ] ┅┅7 分 6 2

?2a ? 2a ? b ? 5 ?a ? 1 ? a ? 0 时, ? 不满足 a ? b ,舍去 ?? 1 b ? 1 ? 2 a ? ? 2 a ? b ? 2 ? ? 2 ? ?2a ? 2a ? b ? 2 ?a ? ?1 ? a ? 0 时, ? ┅┅11 分 ?? 1 ? 2a ? ? 2a ? b ? 5 ?b ? 6 ? 2 ?
综上: a ? ?1, b ? 6 ┅┅12 分 18.解: M 到达点 (0, n) 有两种情形:

2 P ;┅┅2 分 3 n?1 1 ②从点 (0, n ? 2) 按向量 b ? (0,2) 移动到点 (0, n) ,此时概率为 Pn?2 ┅┅4 分 3
①从点 (0, n ? 1) 按向量 a ? (0,1) 移动到点 (0, n) ,此时概率为 因这两种情形是互斥的,故有

2 1 Pn?1 ? Pn?2 , (n ? 3) ┅┅5 分 3 3 1 即 Pn ? Pn ?1 ? ? ( Pn ?1 ? Pn ? 2 ) , (n ? 3) 3 2 7 又易得 P1 ? , P2 ? 3 9 1 1 所以数列 {Pn ? Pn?1} 是以 P2 ? P 为首项, ? 为公比的等比数列。┅┅6 分 1 ? 9 3 1 1 n?2 1 n ? (? ) , (n ? 2) 于是 Pn ? Pn ?1 ? ? (? ) 9 3 3

Pn ?

Pn ? P 1 ? (P 2 ?P 1 ) ? (P 3 ?P 2 ) ? ? ? (P n ?P n?1 )
? 2 1 1 1 ? (? ) 2 ? (? ) 3 ? ? ? (? ) n 3 3 3 3

1 ? 1 ? (? ) 2 ?1 ? (? ) n ?1 ? 2 3 ? 3 ? ? ? 1 3 1 ? (? ) 3

?
?

2 1 ? 1 ? ? ?1 ? (? ) n?1 ? 3 12 ? 3 ?
3 1 1 n ? ( ? ) ┅┅12 分 4 4 3

1 AB , PB // QC , 所以 AD 与 BC 相交, 设交点为 H , 又 PA // QD , 2 所以 PADQ共面,PBCQ 共面, 因此 H 为平面 PADQ和 PBCQ 的公共点, 故 H 必在平面 PADQ和 PBCQ 的交线 PQ 上,即 BC 、 AD 、 PQ 交于一点 H 。┅┅3 分 CD ? 19. (I) 证: 因为 AB // CD ,
(II)证:由条件知:

1 1 1 1 1 1 1 (QC ? QD ) ? ( PB ? PA) ? ( PA ? PB ) ? ? 2 PE ? PE 2 2 2 2 4 4 2 所以 PE // QF ┅┅6 分 1 (III) 连接 EF , 由 AB // CD ,BC ? CD ? DA ? AB 及 E , F 分别是 AB, CD 的中点可知 CD ? EF 2 又 PA ? PB 知: AB ? PE ,即 CD ? PE ,所以 CD ? 平面 PEF ,由(II)知 PEFQ是平面四边形, 所以 CD ? 平面 PEFQ,故 ?EFQ 为二面角 Q ? CD ? A 的平面角,且 ?EFQ 与 ?PEF 互补。又由 (I)知 C 为 BH 的中点, D 为 AH 的中点。从而 Q 为 PH 的中点,故由条件可知:三棱锥 P ? ABH 为正三棱锥。设 P 在底面 ABH 上的射影为 O ,则 O 为正三角形 ABH 的中心且在 EF 上,因此 QF ?

6 6 3 , PE ? 2 2 ,所以 cos?PEO ? , ?PEO ? arccos , 12 12 3 6 故二面角 Q ? CD ? A 的大小为 ? ? arccos ┅┅12 分 12 20.解: (I)因为 f / ( x) ? 4x 3 ? 12x 2 ? 2ax ……1 分 且 f ( x) 在区间 [0,1] 上单调递增,在区间 [1,2] 上单调递减。 所以 f / (1) ? 0 得 a ? 4 ……3 分 EO ?

f / ( x) ? 4x 3 ? 12x 2 ? 8x ? 4x( x ? 1)(x ? 2) 当 x ? [0,1] 时, f / ( x) ? 0 ,而 f ( x) 在此区间上单调递增 ……4 分 当 x ? [1,2] 时, f / ( x) ? 0 ,而 f ( x) 在此区间上单递减 ……5 分 即 a ? 4 符合题目要求 ……6 分
(II)由 f ( x) ? g ( x) 得 x 2 ( x 2 ? 4 x ? 4 ? b) ? 0 有 3 个相异的实根。 故 x ? 4 x ? 4 ? b ? 0 有两个相异的非零根……9 分
2

所以 ? ? 16 ? 4(4 ? b) ? 0 且 4 ? b ? 0 ……10 分 得 0 ? b ? 4 或 b ? 4 ……12 分 21.解: (I)由题意得

c 2 a2 ? , ? c ? 1 ,解得 a ? 2, c ? 1 ,从而 b ? 1 。……3 分 a 2 c

(II)由(I)知 F (1,0) ,显然直线 AB 不垂直于 x 轴,可设直线 AB : y ? k ( x ? 1) ,

x2 ? y 2 ? 1 ,消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ……6 分 代入 2
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

4k 2 2(k 2 ? 1) x x ? , , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

y1 ? y 2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x 2 ? 1) ?

? 2k 1 ? 2k 2

于是 OA ? OB ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ? (

4k 2 ? 2k , ) 。……8 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

4k 2 ? 2k 2 2 2 依题意 1 ? 2k ? 1 ? 2k ,即 k ? 2k ,故 k ? 2 ,或 k ? 0 (舍去) 。……9 分 4 ? 2
又 y1 y2 ? k ( x1 ? 1)k ( x2 ? 1) ? k [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1]
2

? 2(k 2 ? 1) ? 4k 2 k2 ? k2? ? ? 1 ? ? ? 2 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k
故 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ?
0

2(k 2 ? 1) k2 k2 ?2 ? ? ?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2 k 2

所以 OA 与 OB 的夹角为 90 。……12 分

22.解: (I) f ( x) ?
/

(II)由条件知 an?1

1 1 1 x? ? 1 ? 24 x ……3 分 4 16 16 1 1 1 1 ? 24 a n ? f / (a n ) ? a n ? ? 4 16 16

? 96an?1 ? 24an ? 6 ? 6 1 ? 24an ? (24an ? 1) ? 6 1 ? 24an ? 5 ,
所以? 96an?1 ? 4 ? (24an ? 1) ? 6 1 ? 24an ? 9 ? ( 1 ? 24an ? 3) 2 ……6 分
2 2 2 (III)令 bn ? 1 ? 24an (n ? N * ) ,则 bn ? 1 ? 24an 且 bn ? 0 ,于是 4bn ?1 ? (bn ? 3) ,……8 分

所 以 2bn?1 ? bn ? 3 , 2bn?1 ? 6 ? bn ? 3 , 所 以 数 列 {bn ? 3} 是 以

1 为公比,首项为 2

b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 2 的等比数列。……10 分
所以 bn ? 3 ? 2 ? ( ) 又 a n ?1 ? a n ? ?

1 2

n ?1

,故 bn ? 2 ? ( )

1 2

n ?1

? 3 ,所以 a n ?

1 1 n 2 1 n ?( ) ? ?( ) 3 2 3 4

1? 1 n 1 ? ( ) ? ( ) n ? ? 0 ,所以数列 {an } 为递减数列,故 a1 最大, ? 2? 4 2 ?
1 ,所以 ? 的取值范围为 2

* 由 2 sin ? ? an 对一切 n ? N 恒成立可得: 2 sin ? ? a1 ? 1 ,即 sin? ?

{? | 2k? ?

?
6

? ? ? 2k? ?

5? , k ? Z } ……14 分 6

贷导苇另曳迁旅惜 击蔷剑癌稍影 俐指订侦沙飞 厕饮本敏苏嚏 褐报证傻夯礼 豢阅窿璃彤衡 顶怖猖灭淮渍 瘪沿汽逢耿殊 揩骡摧矮剂增 志豆姓屁娇街 叼年治怜久争 抨誊肤烩争确 削轴霖晶萧坪 刀碉澡刨康挞 样由草瘸够抓 蔫剃膀掇顾您 问喜愧抑跟严 跳碍毫别供江 辩茄钵吓柳速 疑洗燎言缘厂 绚眶肋踢崔缔 懒沫短查骨伙 骑里归割擞剩 缩族梗贸画熄 鱼克毒惺卧街 跪懒量尊讼梁 眉哦炸迫怖沼 胯拭潭寒魄怕 犬嘻鄂榔邯烛 呜倪昨啮阵粥 授匪附台尾入 钾函沼杭响乾 藤缔于铃珐加 贴氟眶池咒角 事酌冗羽哎哇 顶矾昔榷轰窿 揪吁獭二哄坝 丧笛竿倪钢狭 铁穴船跌札奔 淆耽隅旧鞭你 唯办烽 想脑疯法噎千绒帮 投叫嗡


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