9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> >>

线面垂直、面面垂直的性质定理_图文

线面垂直、面面垂直的性质定理_图文

练习
正方体AC1中,O是底面ABCD的中心, 1)求证:B1D⊥面D1AC; 2)求二面角D1-AC-D。 D1
A1

C1

B1 D

C

A

O

B

2.3.3-2.3.4直线与平面、 平面与平面垂直的性质

温故知新 直线与平面垂直定义: 如果直线 l 与平面 ? 内 的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 互相垂直。

直线与平面垂直判定定理: 一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直,则该 直线与此平面垂直.

线面垂直则线线垂直.

线线垂直则线面垂直.

(1)长方体ABCD ? A' B 'C ' D '中, 棱AA' , BB ' , CC , DD 所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
' '

C'
B'

A'
D A

C B

(2)如图, a ? ? , b ? ? , 那么直线a, b一定 平行吗?
a b

α

线面垂直的性质定理:

垂直于同一个平面的两条直线平行 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明: 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .

否定结论b’
a b

α

正确推理
o

导出矛盾

肯定结论

直线与平面垂直的性质1:
如果一条直线垂直于一个平面,那么这 条直线垂直于面上任意直线.(定义)
a ??? 符号语言: ? b ???
图形语言:

a?b
a b

α

简述为:线面垂直 ? 线线垂直

直线与平面垂直的性质2:
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面,那么另一条也垂直于这个平面.
a / /b ? 符号语言: ? a ???
图形语言:

b ??
?

a b

O

直线与平面垂直的性质3:
如果两条直线同时垂直于一个平面, 那么这两条直线平行.

a ??? 符号语言: ? b ?? ?
图形语言:
?

a // b
a b

O

简述为:线面垂直 ? 线线平行

例 1: 如图,已知? ? ? l , CA ? ? 于点A,CB ? ? 于点B, a ? ? , a ? AB, 求证: a // l .
证明:? CA ? ? , l ? ? .? CA ? l
同理可得: CB ? l ? CA ? CB ? C.? l ? 面ABC ? CA ? ? , a ? ? .? CA ? a 又 ? a ? AB ? a ? 面ABC ? a // l

C

β
B l A a α

课堂练习:
1、判断下列命题是否正确; (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行;(

(2)垂直于同一个平面的两个平面互相平行;(
(3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂 直,则这两条直线互相垂直。( )

√ x





2、已知直线a、b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的 位置关系 ____________



b // ?或b ? ?

温故知新
面面垂直的判定方法: 1、定义法: 找二面角的平面角 2、判定定理: 要证两平面垂直,只要在其中一个平面 内找到另一个平面的一条垂线。

说明该平面角是直角。

(线面垂直?面面垂直)

思考1:如果平面α 与平面β 互相垂直, 直线l在平面α 内,那么直线l与平面β 的位置关系有哪几种可能?
α l α l α l β β β

平行

相交

线在面内

平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平 面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直.
符号表示:
?

?
b

l

? 面面垂直 ? 线面垂直 作用: ? ?? ?l
关键:在一个平面内作(找)出垂直于交线的直线.

? 何时用 :已知面面垂直时 . b?l ?

? ? ? ? ? ? ?? ? b?? ? ? b?? ? b ?b ? ?

该命题正确吗?

(3)过一点有多少条直线与已知平面 垂直? 只有一条.
P

β
a

解:无论P在α内或α外,设PA⊥α.

α

A B

A

B
P

β
a

α

若另有直线 PB⊥α, 记PA、 PB确定的平面为β,且α∩β= a, 则,在平面β内过点P有两条直 线同垂直于直线a,这是不可能 的。

∴过点P与α垂直的直线只有一条。

推论:两个平面垂直,过其中一个平面 内一点作另一个平面的垂线,这条垂线在 这个平面内.
α P α

A

l
A

β

l
P

β

? ? ? , P ? ? , PA ? ?
证明见课本

PA ? ?

例:如图,已知PA⊥平面ABC, 平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB
证明:过点A作AE⊥PB,垂足 P 为E, ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, A ∴AE⊥平面PBC ∵BC ? 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC,BC ? 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB B

C

例4 ? ? ? , a ? ? , a ? ? , 判断a与? 位置关系
证明:设

?

? ?l
b

α

a // ?
a

在α内作直线b⊥l
β ? ?? ? ? ? ? ? l? ? ?b?? ? b ?? ? 又a ? ? ? ? a // b ? ? ?

l

线面垂直 性质

b?l

? ?

面面垂直性质

b ? ? ? ? a // ? ? a ???

练习:1、如图,以正方形ABCD的对角线AC为 折痕,使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面, 求BD与平面ABC所成的角。
D
D

折成
A

O

C A O B

C

B

练习 2、如图,平面AED ⊥平面ABCD, △AED是等边三角形,四边形ABCD是矩形, (1)求证:EA⊥CD (2)若AD=1,AB= 2 ,求EC与平面ABCD 所成的角。
E

D M A B

C

练习3、如图,在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中,

(正三棱柱指底面是正三角形,侧棱与底面垂 直的三棱柱),E为B B1 的中点,

求证:截面A1 EC⊥侧面AC1 。
A M C B O E A1 B1 C1

练习. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面 A1DC 求证: (1) MN∥AD1 (2) M是AB的中点.
D1 A1 O D N C M B C1

B1

A


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com