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电磁场与电磁波课件 第3章2_图文

电磁场与电磁波课件 第3章2_图文

3.3 恒定磁场分析

3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件
恒定磁场分析的基本变量 一个源变量 两个场变量
r J

r r r ? ( Idl × er ) 磁感应强度(磁通密度) = B 4π ∫ r2 l

单位为T(特斯拉)

r r r 1 ( Idl × er ) 磁场强度(单位安/米) H = 4π ∫ r2 l r r B = ?H

1. 基本方程

∫ B ? dS = 0
S

∫ B ? dl =? I
l

积分形式

??B = 0

?× B = ?J

微分形式

r r B = ?H

本构方程

2. 边界条件
(1) 磁场强度的边界条件
H1t ? H 2t = J S
H1t = H 2t

若分界面上没有自由表面电流

对于各向同性的线性媒质,上式又可表示为 对于各向同性的线性媒质, 各向同性 媒质
B1t

?1

=

B2t

?2

(2) 磁感应强度的边界条件 磁感应强度的边界条件
B1n = B2n

对于各向同性的线性媒质, 对于各向同性的线性媒质,有 各向同性 媒质

? 1 H1n = ? 2 H 2 n


一无限长同轴介质圆柱截面如图所示,磁导率为?0 。芯线 通有均匀分布的电流I,外皮通有量值相同,方向相反的 电流,试求各部分磁感应强度。

解:本题中B线是中心位于芯线轴上的同心圆。 (1) 芯线内,r<R1,电流密度J=I/πR12,作一半径为r的圆作为积 分回路,用柱坐标,穿过圆面积的电流I’为 r r r2 I r2 I'= ? πr 2 = I 2 ∫ B ? dl = ?0 I R12 2 πR1 R1 l

? 0 Ir r2 B? = B? r 2π = ? 0 I 2 2 2πR1 R1 (2) 中间层中R1<r<R2,取一半径为r的 圆作积分回路,穿过圆面积的电流为I

∫ B ? dl =? I
l 0

B? r 2π = ? 0 I

?0 I B? = 2πr

(3)外圈R2<r<R3, 取一半径为r的圆作积分回路,穿过圆面积的 电流为I’。 2 2 r 2 ? R2 R3 ? r 2 ∫ B ? dl =?0 I

I'= I ? I

R3 ? R2
2

2

=I

R3 ? R2
2

l

2

? 0 I R3 2 ? r 2 B? = 2πr R3 2 ? R2 2
(4)圆柱外r>R3,

B? = 0

r<R
1

?0 Ir B? = 2 2πR1
?0 I B? = 2πr

R1<r<R2 R2<r<R
3

? 0 I R3 2 ? r 2 B? = 2πr R3 2 ? R2 2
B? = 0

r>R
3

3.3.2 矢量磁位
(1)矢量磁位的引入 磁感应强度B 磁感应强度 可以写为

B = ?× A
可见,某点磁感应强度 B 等于该点矢量函数 A 的旋度, 该点矢量函数 的旋度, 可见,某点磁感应强度 等于该点 称为矢量磁位 单位Wb/m(韦伯 米)或 矢量磁位, 该矢量函数 A 称为矢量磁位,单位 (韦伯/米 T?m。 。 一般规定

r ?? A = 0

库仑规范

已知矢量磁位 A 与磁感应强度 B 的关系为
B = ?× A

矢量磁位与电位不同, 没有任何物理意义,仅是一个计算辅助量。 矢量磁位与电位不同,它没有任何物理意义,仅是一个计算辅助量。 任何物理意义 计算辅助量 当电流分布未知时,必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。 当电流分布未知时,必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为 微分方程。 需要导出矢量磁位应该满足的微分方程 此,需要导出矢量磁位应该满足的微分方程。 已知 ? ? A = 0,那么 求得
? × ? × A = ?? ? A ? ? 2 A

? 2 A = ?? × B

? × B = ? 0J

? 2 A = ?? 0 J

满足的矢量泊松方程 泊松方程。 这就是矢量磁位 A 满足的矢量泊松方程。

无源区中 矢量拉普拉斯 在无源区中,J = 0,则上式变为下述矢量拉普拉斯方程 ,则上式变为下述矢量拉普拉斯方程

?2 A = 0
已知在直角坐标系中, 已知在直角坐标系中,泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个 坐标分量的标量方程。 坐标分量的标量方程。 方程 在直角坐标系中 ? 2 A = ? ? 0 J 可分解为三个标量泊松方程

??2 Ax = ??0 J x ? 2 ?? Ay = ??0 J y ? 2 ?? Az = ??0 J z

矢量磁位和标量电位之间的区别
两者一个是矢量,一个是标量 电位是一个物理量,是客观存在的;但矢量 磁位不是物理量,即客观上不存在

自电感 互电感 耦合系数 磁场能量 磁能密度

self-inductance mutual inductance coefficient of coupling magnetic field energy magnetic energy density

3.3.3 电感
线性媒质中 媒质中, 在线性媒质中, 单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电 正比,因此穿过回路的磁通也与回路电流 成正比。 磁通也与回路 流 I 成正比,因此穿过回路的磁通也与回路电流 I 成正比。 磁通链, 表示, 与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的磁通链,以Ψ 表示, 的比值为L, 令Ψ 与 I 的比值为 ,即
L=

Ψ
I

式中L 称为回路的电感 单位为H 亨利)。由该定义可见, 电感, )。由该定义可见 式中 称为回路的电感,单位为 (亨利)。由该定义可见,电感又 可理解为与单位电流交链的磁通链。 可理解为与单位电流交链的磁通链。 单位电流交链的磁通链 单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关,与回路中电流无关。 单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关,与回路中电流无关。 形状 电流无关 应注意,磁通链与磁通不同,磁通链是指与某电流交链的磁通。 应注意,磁通链与磁通不同,磁通链是指与某电流交链的磁通。 不同 电流交链的磁通

则磁通链增加N 部分交链 交链, 若交链 N 次,则磁通链增加 倍;若部分交链,则必须给予适当 折扣。因此, 那么, 的折扣。因此,与N 匝回路电流 I 交链的磁通链为 Ψ = NΦ 。那么, 由 N 匝回路组成的线圈的电感为
L=
z l1 dl1 r1 0 x I1 r2 - r1 r2 y l2 dl2 I2

Ψ
I

=

NΦ I

交链的磁通链 磁通链是由 与回路电流 I1交链的磁通链是由 两部分磁通形成的, 本身产 两部分磁通形成的,其一是 I1本身产 生的磁通形成的磁通链 Ψ11 ,另一是 电流 I2 在回路 l1 中产生的磁通形成 的磁通链 Ψ 12 。

那么, 那么,与电流 l1 交链的磁通链Ψ1为

Ψ1 =Ψ11 +Ψ12

同理, 同理,与回路电流 I2 交链的磁通链为
Ψ 2 =Ψ 21 +Ψ 22

在线性媒质中, 在线性媒质中,比值
Ψ11
I1

Ψ11
I1

Ψ Ψ Ψ 均为常数。 , 12 , 22 及 21 均为常数。
I2
I2 I1



L11 =

M 12 =

Ψ12
I2

式中L 自感, 互感,单位为H。 式中 11称为回路 l1的自感,M12称为回路 l2 对 l1 的互感,单位为 。 同理定义
L22 =

Ψ 22
I2

M 21 =

Ψ 21
I1

式中L 自感, 互感。 式中 22 称为回路 l2的自感,M21称为回路 l1对 l2的互感。 自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。 自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。 互感还与两个回路的相互位置有关。 互感还与两个回路的相互位置有关。

代入前式, 将上述参数 L11,L22,M12 及 M21 代入前式,得

Ψ1 = L11I1 + M 12 I 2 Ψ 2 = M 21I1 + L22 I 2
可以证明, 可以证明,在线性均匀媒质中
M 12 = M 21

因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为
M 21 = dl1 ? dl 2 4π ∫ l2 ∫ l1 r2 ? r1

?

M 12 =

dl 2 ? dl1 4π ∫ l1 ∫ l2 r1 ? r2

?

诺伊曼公式

所以由上两式可见, 考虑到 dl1 ? dl 2 = dl 2 ? dl1 , r2 ? r1 = r1 ? r2 ,所以由上两式可见,
M 12 = M 21

M 21 =

dl1 ? dl 2 4π ∫ l2 ∫ l1 r2 ? r1

?

M 12 =

dl 2 ? dl1 4π ∫ l1 ∫ l2 r1 ? r2

?

处处保持垂直, 保持垂直 若 dl1与 dl2处处保持垂直,则互感 M 12 = M 21 = 0 。 若处处保持平行, 值达到最大 最大。 若处处保持平行,则互感 M 值达到最大。 平行 因此,在电子电路中,如果需要增强两个线圈之间的耦合, 因此,在电子电路中,如果需要增强两个线圈之间的耦合,应 彼此平行放置;若要避免两个线圈相互耦合,则应相互垂直。 彼此平行放置;若要避免两个线圈相互耦合,则应相互垂直。 互感可正可负,其值正负取决于两个线圈的电流方向, 互感可正可负,其值正负取决于两个线圈的电流方向,但电感 始终应为正值。 始终应为正值。 若互磁通与原磁通方向相同时,则使磁通链增加,互感应为正 若互磁通与原磁通方向相同时,则使磁通链增加,互感应为正 增加 反之,若互磁通与原磁通方向相反时,则使磁通链减少 减少, 值;反之,若互磁通与原磁通方向相反时,则使磁通链减少,互感 为 负 值。

求双线传输线单位长度的自感。导线半径为a,导线间距离D>>a。 例1 求双线传输线单位长度的自感。导线半径为 ,导线间距离 。
y

总的磁感应强度
B = ?0 ( H1 + H2 ) = e y

x

dx

×

?0 I ? 1 1 ? + ? ? 2π ? x ( D ? x ) ?

x

单位长度传输线交链的磁通为

D

Φ0 =
解:由

?0 I D?a ? 1 1 ? + ? ∫ a ? x ( D ? x) ? dx 2π ?

∫ H ? dl = I
l

=
I 2π ( D ? x )

得二导线在x处产生的磁场分别为 得二导线在 处产生的磁场分别为
H1 = e y I 2π x , H2 = e y

?0 I D ? a ln π a

单位长度的自感为
L= Φ0 ?0 D ? a ?0 D = ln ≈ ln I π a π a

计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行, 例2 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行,周 围媒质为真空,如图示。 围媒质为真空,如图示。
z b I1

建立圆柱坐标系, 解 建立圆柱坐标系,令 z 轴方向与电流 I1一 致,则 I1 产生的磁感应强度为
B1 =
?0
a D r dr S2 I2

? 0 I1
2π r



与线圈电流 I2 交链的磁通链 Ψ21 为
Ψ 21 = ∫ B1 ? dS
S2

若线框电流如图所示的顺时针方向, 方向相同。 若线框电流如图所示的顺时针方向,则dS 与B1方向相同。那么
Ψ 21 = ? 0 I 1a




D +b D

1 ? I a ? D+b? dr = 0 1 ln? ? 2π r ? D ?

z b I1

求得

M 21 =

Ψ 21
I1

=

?0 a ? D + b ?

?0
a D r dr S2 I2

ln? ?>0 2π ? D ?

若线圈电流为逆时针方向时, 若线圈电流为逆时针方向时,则B1与 dS 反向, M21 为负。 反向, 为负。 但在任何线性媒质中, 但在任何线性媒质中, M21 = M12 。

3.3.4 恒定磁场的能量
若在回路中加入外源,回路中产生电流。 若在回路中加入外源,回路中产生电流。在电流建 外源 立过程中,回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长, 立过程中,回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长,为 了克服反磁通产生反电动势,外源必须作功。 了克服反磁通产生反电动势,外源必须作功。 必须作功 若电流变化非常缓慢 , 可以不计 辐射 损失 , 则外源 辐射损失 若电流变化非常 缓慢, 可以不计辐射 损失, 缓慢 输出的能量全部储藏在回路电流周围的磁场中 输出的能量全部储藏在回路电流周围的磁场中。 全部储藏在回路电流周围的磁场 由此可见,磁场具有能量。 由此可见,磁场具有能量。 外源在建立磁场过程中作的 根据外源 在建立磁场过程中作的功 根据 外源 在建立磁场过程中作的 功 即可计算磁场 能量。 能量。

表示磁场能量 磁场能量, 若以 Wm 表示磁场能量,那么
1 2 Wm = LI 2 单个回路电流周围的磁场能量又可表 考虑到 L = Ψ ,则单个回路电流周围的磁场能量又可表

示为

I

1 Wm = ΨI 2 交链的磁通链 磁通链。 式中Ψ 为与电流 I 交链的磁通链。

N 个回路产生的磁场能量为

1 Wm = ∑ I jΨ j j =1 2

N

磁场能量不只是存在于I≠0的电流回路中, 磁场能量不只是存在于 的电流回路中,而是分 的电流回路中 布在磁感应强度B≠0的整个空间内,所以 的整个空间内, 布在磁感应强度 的整个空间内
Wm = ∫ 1 ( H ? B )dV 2

V

式中V 为磁场所占据的整个空间 可见,上式中的被积函 整个空间。 式中 为磁场所占据的整个空间。可见,上式中的被积函 数即是磁场能量的分布密度。 即是磁场能量的分布密度。 密度 表示磁场能量密度 磁场能量密度, 若以小写字母 wm 表示磁场能量密度,则
wm = 1 H ?B 2

已知各向同性的线性媒质, 已知各向同性的线性媒质, = ?H ,因此磁场能量密度又 各向同性 媒质 B 可表示为

1 wm = ?H 2 2

计算同轴介质线中单位长度内的磁场能量。 单位长度内的磁场能量 例 计算同轴介质线中单位长度内的磁场能量。设同轴线中 内层介质的半径为a 通过的恒定电流为 I ,内层介质的半径为 ,外层介质的厚 度可以忽略, 内外介质之间为真空。 度可以忽略,其半径为 b ,内外介质之间为真空。 已知同轴线内的磁场强度 磁场强度为 解 已知同轴线内的磁场强度为
H1 = Ir 2πa 2
a

r≤a

O

b

H2 =

I 2πr

a<r ≤b

因此, 因此,单位长度内同轴介质线中磁场能量为
Ir 2 I 2 1 1 a 1 b 2 Wm1 = ∫ ?H dV = ∫ ? ( ) ? 2πrdr + ∫ ? 0 ( ) ? 2πrdr 2 0 a 2 2 2 2πr 2πa ?I 2 ? 0 I 2 ? b ? = + ln? ? 16π 4π ? a ?

3.4 静态场的边值问题及解的唯一性定理 静态场的边值问题及解的唯一性定理 静态场问题通常分为两大类:
分布型问题
由已知场源(电荷、电流)分布,直接从场的积分 公式求空间各点的场分布

边值型问题
已知场量在场域边界上的值,求场域内的场分布

静态场边值问题的解法可分为
解析法
给出的结果是场量的解析表示式,如镜像法、分离 变量法

数值法
通过数值计算,给出场量的一组离散数据,如有限 差分法、有限元法

3.4.1 边界条件的类型 实际边值问题的边界条件分为三类:
已知整个边界上的电位函数,称为“狄利克莱” 边界条件 已知整个边界上的电位法向导数,称为“诺伊 曼”边界条件 已知一部分边界上的电位函数和另一部分边界 上的电位法向导数,称为混合边界条件

3.4.2 唯一性定理
已知整个边界上的电位函数(第一类边界 条件),则场域的解答是唯一的。 已知整个边界上的电位法向导数(第二类 边界条件),则场域的解答是唯一的。 已知一部分边界上的电位函数和另一部分 边界上的电位法向导数(第三类边界条 件),则场域的解答是唯一的。

镜像法 镜像电荷 解析解 数值解

method of images the image charge analytical solution numerical solution

几个实例: 几个实例:
求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位

非均匀感应电荷

q 非均匀感应电荷产生的 电位很难求解, 电位很难求解,可以用 等效电荷的电位替代

等效电荷 等效电荷

q′ q

接地导体球附近有一个点电荷,如图。 接地导体球附近有一个点电荷,如图。

q′ 非均匀感应电荷

非均匀感应电荷产生的 电位很难求解, 电位很难求解,可以用 等效电荷的电位替代

3.5 镜像法 (method of images)
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响, 等效电荷代替边界的影响 实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响,将原来具 有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间 有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间,从而使计算过 非均匀空间变成无限大的均匀自由空间, 程大为简化。 程大为简化。 依据:惟一性定理。因此, 依据:惟一性定理。因此,等效电荷的引入必须维持原来的 边界条件不变,从而保证原来区域中静电场没有改变, 边界条件不变,从而保证原来区域中静电场没有改变,这是确定 等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位 等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位 置,因此称为镜像电荷(the image charge),而这种方法称为镜 因此称为镜像电荷( 镜像电荷 ) 而这种方法称为镜 像法。 像法。 关键:确定镜像电荷的大小及其位置。 关键:确定镜像电荷的大小及其位置。 镜像电荷位置选择原则: 镜像电荷位置选择原则: 1. 镜像电荷必须位于求解区域以外 2. 镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件 局限性:仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有 局限性: 可能确定其镜像电荷。 可能确定其镜像电荷。

3.5.1 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地的导体平面的镜像
P r q r q h h q′ P

ε 介质
导体

r′

ε 介质 ε 介质

以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响, 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响,使整个空间 的空间, 变成均匀的介电常数为ε 的空间,则空间任一点 P 的电位由 q 共同产生, 及 q' 共同产生,即

q q′ + ?= 4 πε r 4 πε r ′

因为无限大接地导体平面的电位为零, 因为无限大接地导体平面的电位为零,求得

q ′ = ?q

电荷守恒: 位于无限大的导体平面附近时, 电荷守恒 : 当点电荷 q 位于无限大的导体平面附近时 , 导体表 面将产生异性的感应电荷,因此, 面将产生异性的感应电荷 , 因此 , 上半空间的电场取决于原先的点 电荷及导体表面上的感应电荷。可见, 电荷及导体表面上的感应电荷 。 可见 , 上述镜像法的实质是以一个 异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。 镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用 异性的 镜像点电荷 代替导体表面上异性的 感应电荷 的作用 。 根据电 荷守恒原理,镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量, 荷守恒原理 , 镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量 , 读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个 结论。 结论。 半空间等效:上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立, 半空间等效 : 上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立 , 因 为在上半空间中,源及边界条件未变。 为在上半空间中,源及边界条件未变。

2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
P r ρ r ρ h h ρ′ P

ε 介质
导体

r′

ε 介质 ε 介质

镜像电荷的密度和位置分别为

ρ ′ = ? ρ , z′ = ?h

3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 y
如图,两半无限大接地导体平面 如图, 垂直相交。 垂直相交。

q2 = ?q h2

h2

q h1 h1

要满足在导体平面上电位为零, 要满足在导体平面上电位为零 , 则必须引入3个镜像电荷。如图所示。 则必须引入3个镜像电荷。如图所示。

x

q3 = q
对于非垂直相交的两导体平面 构成的边界, 构成的边界,若夹角为θ = π ,则 所有镜像电荷数目为2n-1个。 所有镜像电荷数目为 个

q1 = ?q

q

n

θ

x

对于半无限大导体平面形成的劈形边界应用镜像法时 对于半无限大导体平面形成的劈形边界应用镜像法时,仅当这 劈形边界应用镜像法时, 的整数分之一时,才可求出其镜像电荷。 种导体劈的夹角等于 π 的整数分之一时,才可求出其镜像电荷。为 了保证这种劈形边界的电位为零,必须引入几个镜像电荷。例如, 几个镜像电荷 了保证这种劈形边界的电位为零,必须引入几个镜像电荷。例如, π 个镜像电荷。 夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。 3

π/3

⊕q



π/3

⊕q



例:真空中,电量为1?C的点电荷位于点P(0,0,1)处,xOy平面是一个无限 大的接地导体板。求z轴上电位为10000V的点的坐标。 解:根据镜像法,可知上半空间的电位是
z

? ( x, y , z ) =

q 4πε 0
?6

[

1 x + y + ( z ? 1)
2 2 2

?

1 x + y + ( z + 1)
2 2 2

P

]
O x

? (0,0, z ) =

10 1 1 [ ? ] = 10 4 4πε 0 z ? 1 z + 1

z1 = 1.67

z2 = 0.45

3.5.2 导体球面的镜像
1. 点电荷对接地导体球面的镜像
若导体球接地, 若导体球 接地,导体球的电位 接地
P a o d r′ q′ f r q

为零。为了等效导体球边界的影响, 为零。为了等效导体球边界的影响, 令镜像点电荷q' 令镜像点电荷 位于球心与点电荷 q 的连线上。 那么, 球面上任一点 的连线上。那么, 电位为

q q′ + ?= 4 πε r 4 πε r ′
可见,为了保证球面上任一点电位为零, 可见,为了保证球面上任一点电位为零,必须选择镜像电荷为

r′ q′ = ? q r

r′ 为了使镜像电荷具有一个确定的值, 为了使镜像电荷具有一个确定的值,必须要求比值 对于球面 r

上任一点均具有同一数值。 由上图可见, 上任一点均具有同一数值 。 由上图可见 , 若要求三角形 △ OPq′

r′ a 相似, 常数。 与 △ OqP 相似,则 = = 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
P a o d r′ q′ f r q

q′ = ?

a q f

镜像电荷离球心的距离d 镜像电荷离球心的距离 应为

a2 d= f

这样, 即可计算球外空间任一点的电场强度。 这样,根据 q 及 q' 即可计算球外空间任一点的电场强度。

2. 点电荷对不接地导体球面的镜像
若导体球不接地,则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电 若导体球不接地, 不接地 荷为负值,而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的 荷为负值, 而另一侧表面上的感应电荷为正值。 感应电荷应为零值。因此,对于不接地的导体球,若引入上述的镜 感应电荷应为零值。 因此, 对于不接地的导体球, 像电荷 q' 后,为了满足电荷守恒原理,必须再引入一个镜像电荷q", 为了满足电荷守恒原理,必须再引入一个镜像电荷 , 且必须令
a P r q′ f q

q ′′ = ? q ′

O d

显然,为了保证球面边界是一个等位面, 显然 ,为了保证球面边界是一个等位面 ,镜像电荷 q” 必须 位于球心。事实上,由于导体球不接地,因此,其电位不等零。 位于 球心。事实上 ,由于导体球不接地 ,因此, 其电位不等零 。 球心 在球面边界上形成的电位为零, 由q 及q’在球面边界上形成的电位为零,因此必须引入第二个镜像 在球面边界上形成的电位为零 以提供一定的电位。 电荷q” 以提供一定的电位。 电荷

例 真空中一点电荷 位于导体球附近。导体球半径为 , 真空中一点电荷Q位于导体球附近 导体球半径为a, 位于导体球附近。 点电荷距离球心距离为d( )。求 点电荷距离球心距离为 (d>a)。求: 导体球接地时空间电 )。 位分布。 位分布。 P ( r ,θ ) 当导体球接地时, 由镜像法, 解 : 当导体球接地时 , 由镜像法 , 原问 题可等效为空间只存在Q和镜像电荷 和镜像电荷q’。 题可等效为空间只存在 和镜像电荷 。 易知: 易知:
θ O d ' q'
r r' d R Q

a2 d'= d 处电位为: 则球外空间任意点 P ( x, y, z ) 处电位为: Q 1 ?= [ 4πε 0 r 2 + d 2 ? 2rd cos θ a ? ] (r > a) 2 4 2 2 d r + a / d ? 2r (a / d ) cos θ

a q' = ? q d

? 导体球接地,因此球内空间电位为0 导体球接地,因此球内空间电位为0,即: = 0

(r ≤ a)

3.5.4 介质平面的镜像
1. 点电荷对电介质分界平面的镜像
问题: 问题:点电荷位于两种电介质分界面上方 h,求空间电位分布。 ,求空间电位分布。

z h O

q

ε 分析:在介质分界面上将存在极化面电荷, 分析:在介质分界面上将存在极化面电荷, 1 空间电位由极化面电荷和电荷q共同产生 共同产生。 空间电位由极化面电荷和电荷 共同产生。 ε2
解决问题方法:镜像法, 解决问题方法:镜像法,即用镜像电荷 等效极化电荷作用。 等效极化电荷作用。

区域1的电位由 和位于区域 中的镜像电荷q′ 和位于区域2 区域1的电位由q和位于区域2中的镜像电荷 ′共同产生 区域2的电位由q和位于区域 和位于区域1 区域2的电位由 和位于区域1中的镜像电荷 q′′ 共同产生

z

q R1 O R1′ P

z q + q′′ h

ε1

h h

ε2

O R2 P

q′

1 ? q q′ ? + ? ?1 = ? q + ? q′ = ? ′ 4πε 1 ? R1 R1 ?

q + q '' 1 q + q '' ? ( z < 0) ? 2 ( x, y , z ) = ( )= 2 2 2 4πε 2 x + y + ( z ? h) 4πε 2 R

1

z

q R1 O R1′ P

q′′ z q + q′′
h

ε1

h h

ε2

O R2 P

q′

=0面上应用电位边界条件 在z=0面上应用电位边界条件 =0

??1 z =0 = ? 2 z =0 ? ? ??1 ?? 2 = ε2 ?ε1 ?z ?z z =0 ?

? q + q ' q + q '' = ? ε2 ? ? ε1 ?q ? q ' = q + q '' ? z =0 (计算媒质1中电位) (计算媒质2中电位)

ε1 ? ε 2 ? ?q ' = ε + ε q ? 1 2 ?? ?q '' = ? q ' = ? ε1 ? ε 2 q ? ε1 + ε 2 ?

z

2. 线电流对磁介质分界平面的镜像
问题: 问题:线电流位于两种磁介质分界面上方 h,求空间磁场分布。 ,求空间磁场分布。 分析:在介质分界面上将存在磁化电流, 分析:在介质分界面上将存在磁化电流,空间 中的磁场由磁化电流和直线电流I共同产生 共同产生。 中的磁场由磁化电流和直线电流 共同产生。
?1 ?2

I h O x

解决问题方法:镜像法,即用镜像线电流等效磁化电流作用。 解决问题方法:镜像法,即用镜像线电流等效磁化电流作用。 区域1的磁场由 和位于区域 中的镜像线电流I’共同产生 和位于区域2 区域1的磁场由I和位于区域2中的镜像线电流 共同产生 区域2的的磁场由 和位于区域 中的镜像线电流I”共同产生 和位于区域1 区域2的的磁场由I和位于区域1中的镜像线电流 共同产生

z I

z I

H2 r

H1 P r'

φ

?1 ?2

h O

x

?1 ?1

h O h φ' I' x

v H = H 1 + H 2 = e?

I v I′ + e? 2π r 2π r ′
?2 ?2

z I+I'' h O r'' x P

v I + I ′′ H = e? 2π r ′′
为了维持边界条件不变, 为了维持边界条件不变,求出的上半空间及下半 空间的场在边界上应满足恒定磁场的边界条件, 空间的场在边界上应满足恒定磁场的边界条件, 即 H1t = H 2t , B1n = B2n 。由此求得

z

H2 r I

H1 P r' H2 H H1 x

H1t = H 2t , B1n = B2n
v H = H1 + H 2 = e? I v I′ + e? 2π r 2π r ′
?1 ?1

φ

h O h φ' I' z I+I''

v I + I ′′ H = e? 2π r ′′
?I ? I ′ = I + I ′′ ? ?? 1 ( I + I ′) = ? 2 ( I + I ′′)
? ′ ? 2 ? ?1 ?I = ? + ? I ? 1 2 ? ? I ′′ = ? ? 2 ? ?1 I ? ?1 + ? 2 ?
?2 ?2

h O

r” x P

y I

例3 设一根载有恒定电流 I 的无 限长导线与无限大的 导线与无限大的理想导磁平面 限长导线与无限大的理想导磁平面
x

?0 ?=∞

h O X

平行放置,如图示。 平行放置,如图示。导线与平面间 的距离为 h ,试求上半空间任一点 磁场强度。 磁场强度。

y I

y I x

H2 r

H1 P r'

φ

?0 ?=∞

h O X

?0 ?0

h O h φ' I' x

采用镜像法。 解 采用镜像法。设在镜像位置放置一根无限长的恒定电流 I′ , 那么上半空间任一点合成磁场强度为

v H = H 1 + H 2 = e?
根据 I ′ = ? 2 ? ?1 I ?1 + ? 2 则 I′= I

I v I′ + e? 2π r 2π r ′

y I

H2 r

H1 P r'

因此合成磁场为
?0 ?0

φ

h O h φ' I' x

H = H 1 + H 2 = eφ

I I + eφ 2π r 2π r ′

H=

? I ?? x x ? 2 ?e + 2 ?? 2 2 ? y 2π ?? x + ( y ? h) x + ( y + h) ? ? ? ? y?h y+h ? 2 ?e ?? + 2 2 2 ? x? x + ( y + h) ? ? ? x + ( y ? h)

使用镜像法时必须注意
边界必须是无限大,或者是具有球或圆柱 对称性。 为了保证待求场区域内原方程成立,镜像 电荷不能出现在待求场区域内。 镜像电荷的确定必须保证原有的边界条件 全部满足。

第三章作业
3.2,3.3,3.7,3.9,3.15(1),3.22, 3.23,3.26(1)


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