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山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试 理科数学(一模第2套)Word版含答案

山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试 理科数学(一模第2套)Word版含答案

高三自评试卷

数学 (理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考 试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题
一项是符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

1. 设复数 z 的共轭复数为 z ,若 (1 ? i) z ? ?2i 3, 则复数 z ? A. i B. ?i C. ?1 ? i D. ?1 ? i

2 2. 已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? n , n ? A} ,则 A ? B ?

A. {0,1}

B. {0,1,4}

C. {1,4}

D. {0,4}

2 2 3.“ k ? 0 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x ? y ? 1 相交”的

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4. 若 e1 , e2 是夹角为 A. 1

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?? ?? ?

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 的单位向量,且 a ? ?2e1 ? e2 , b ? 3e1 ? 2e2 ,则 a ? b ? 3 7 7 B. ?4 C. ? D. 2 2
C. 5 D. 6

5. 若 ( x 2 ? )n (n ? N + ) 的展开式中,常数项为 15 ,则 n 的值可以为 A. 3 6. 若当 x ? B. 4

1 x

?
4

时,函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f (

A.奇函数且图象关于点 (

?
2

3? ? x) 是 4

, 0) 对称

B.偶函数且图象关于点 (? ,0) 对称

-1-

C.奇函数且图象关于直线 x ?

?
2

对称

D.偶函数且图象关于点 (

?
2

, 0) 对称

7. 已知 m 、 n 、 l 是三条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,给出以下命题: ①若 m ? ? , n / / ? ,则 m / / n ;②若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l ,则 m ? n ;③ 若 n / / m , m ? ? ,则 n / /? ;④若 ? / /? , ? / /? ,则 ? / / ? .其中正确命题的序号是 A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③ 8. 如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径 为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为 A. 4? ? B.

9. 若 a , b 是任意实数,且 a ? b ,则下列不等式成立的是 .. A. a ? b
2 2

3 ? 2

C. 3?

D. 2?
主视图
a

左视图

B.

b ?1 a
x

C. lg( a ? b) ? 0

D. ( ) ? ( )

1 3

1 3

b

第8题图
俯视图

10. 已知函数 f ( x) ? 2 ?1 ,对于满足 0 ? x1 ? x2 ? 2 的任意

x1 , x2 ,给出下列结论:① ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 )? ? 0 ;② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ;
③ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ;④ A. ①② 11. 如 果 B. ①③

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) ,其中正确结论的序号是 2 2
C. ②④ D. ③④

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? c(a ? 0) 导 函 数 图 象 的 顶 点 坐 标 为 (1,? 3), 那 么 在 曲 线

y ? f ( x) 上任一点处的切线的倾斜角 ? 的取值范围是

? 2? ? 2? 5? ] ,? ) ,? ) C. ( , D. [0, ) ? [ 2 3 2 3 2 6 ?x ? y ? 3 a ?1 ? 12. 已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若 0 ? ax ? by ? 2 ,则 的取值范围为 b?2 ?y ? 1 ?
A. [0,

2? ] 3

B. [0,

?

]?[

A. [1, ??)

B. [

1 ,1] 10

C. [ ,1]

1 3

D. [ , ]

1 2 3 3

-2-

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如右框 图所示,则式子 (2 tan 的值为
2 2

?

1 ) ? ln e ? lg100 ? ( ) ?1 4 3
;


开始 输入 a , b

14. 已知双曲线 x ? ky ? 1 的一个焦点是
输出 a (b ? 1)

a ? b?



输出 b(a ? 1)

( 5,) 0 ,则其渐近线方程为

;
结束

15. 等差数列 {an } ,满足 a4 ? a8 ? 12 ,其前 n

0] 项和为 Sn .若随机从区间 [?2, 中取实数 d 作为该数列的公差, 则使得当 n ? 9 时 Sn 最大的概
率为_______; 16.下列说法中正确的是 (把所有正确说法的序号都填上).[来

①“若 am2 ? bm 2 ,则 a ? b ”的逆命题为真;

? ? ②线性回归方程 y ? bx? ? 对应的直线一定经过其样本数据点 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , a



( xn , yn )中的一个点;
2 2 ③命题“ ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ” ;

④用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? n) ? 2n ?1? 3?(2n ?1) ( n ? N )时,从“ n ? k ”到
*

“ n ? k ? 1 ”的证明中,左边需增加的一个因式是 2(2k ? 1) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知点 A(2, 0), B(0, ?2) , F (?2, 0) ,设 ?AOC ? ? , ? ?[0, 2? ) ,其中 O 为坐标原点. (Ⅰ)设点 C 到线段 AF 所在直线的距离为 3 ,且 ?AFC ?

?
3

,求 ? 和线段 AC 的大小;

(Ⅱ)设点 D 为线段 OA 的中点, 若 OC ? 2 ,且点 C 在第二象限内,求

???? ??? ??? ??? ? ? ? M ? ( 3 DC ? OB ? BC ? OA)cos? 的取值范围.
18. (本小题满分 12 分)

-3-

某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 p ,且各株大树是否成活互不影响.已知两种大树各成活 1 株的概率为 (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)求甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数的概率;

2 3

2 . 9

(Ⅲ)用 X , Y 分别表示甲、乙两种大树成活的株数,记 ? ?| X ? Y | ,求随机变量 ? 的分布列 与数学期望 E? . 19. (本小题满分 12 分) 如图, 已知 AB ? 平面 ACD , B E

DE ? 平 面 A C D, ?ACD 为 等 边 三 角 形 , AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点.
(Ⅰ)求证: AF // 平面 BCE ; (Ⅱ)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. 20. (本小题满分 12 分) C F A

D

已知函数 f (x) 的图象经过点 (1,5) ,且对任意的 x ? R 都有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 3 ,数列 ?an ? 满 足

?3n , n ? 2k ? 1 ( k 为正整数) . a1 ? 1, an ?1 ? ? ? f ( an ), n ? 2k
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? 3a3 ? 5a5 ? ? ? (2n ? 1)a2n ?1 ( n ? N ) .
*

21. (本小题满分 13 分) 若任意直线 l 过点 F (0,1) ,且与函数 f ( x ) ?

1 2 x 的图象 C 交于两个不同的点 A, B ,分别过点 4

A, B 作 C 的切线,两切线交于点 M .
(Ⅰ)证明:点 M 的纵坐标是一个定值,并求出这个定值; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立, g ( x) ? a ln x (a ? 0) ,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:

2 ln 2 2 ln 3 2 ln 4 2 ln n n ? 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? , 其中 e 是自然对数的底数, ( 2 2 3 4 n e

n ? 2, n ? N ).
22. (本小题满分 13 分)
-4-

设 F1 , F2 分别是椭圆 D :

x2 y2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线 2 3 a b

交椭圆 D 于 A , B 两点, F1 到直线 AB 的距离为 3 ,连接椭圆 D 的四个顶点得到的菱形面积为

4.
(Ⅰ)求椭圆 D 的方程; (Ⅱ) 作直线 l 与椭圆 D 交于不同的两点 P , Q ,其中 P 点的坐标为 (?a,0) ,若点 N (0, t ) 是线段

PQ 垂直平分线的一点,且满足 NP ? NQ ? 4 ,求实数 t 的值.

??? ???? ?

高三自评试卷

数学 (理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. DBACD CABDC DB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 13 14. y ? ?2 x 15.

1 4

16.③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)过 C 作 AF 的垂线,垂足为 E ,则 CE ? 3 在直角三角形 FCE 中, FC ? 又 OF ? 2 , ?OFC ? 所以 ?FOC ?

?
3

CE ?2 , sin ?CFE

,所以 ?OFC 为正三角形

?
3

,从而 ? ? ? ? ?FOC ?

2? 4? ,或 ? ? ? ? ?FOC ? ……………4 分 3 3

在 ?AFC 中, AC ?

AF 2 ? CF 2 ? 2 AF ? CF cos ?AFC
1 ? 2 3 …………………………………………………………6 分 2

? 42 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 4 ?

(Ⅱ)? A(2, 0) ,点 D 为线段 OA 的中点,? D(1, 0) ……………………………………7 分

-5-

???? ? ? OC ? 2 且点 C 在第二象限内,?C (2cos ? , 2sin ? ) , ? ? ( , ? ) …………………8 分 2 ???? ??? ? ??? ? ??? ? 从而 DC ? (2cos ? ?1, 2sin ? ), BC ? (2cos ? , 2sin ? ? 2) , OA ? (2,0) , OB ? (0, ?2)
则 M ? ( 3 DC ? OB ? BC ? OA)cos ? ? ?4 3 sin ? cos ? ? 4cos

???? ??? ??? ??? ? ? ?

2

?

? ? ?2 3sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 cos(2? ? ) ? 2 ……………………………………10 分 3 ? ? 4? 7? 1 ? , ) ,从而 ? ? cos(2? ? ) ? 1 因为 ? ? ( , ? ) ,所以 2? ? ? ( 2 3 3 3 2 3
所以 M 的取值范围为 (0, 6] 18. (本小题满分 12 分) 解:设“甲种大树恰有 i 株成活”为事件 Ai (i ? 0,1, 2) ,则 P( Ai ) ? C2 ( ) ( )
i i

……………………………………………………………12 分

2 3

1 3

2 ?i



i 设“乙种大树恰有 i 株成活”为事件 Bi (i ? 0,1, 2) ,则 P( Bi ) ? C2 pi (1 ? p)2?i .

(Ⅰ)两种大树各成活 1 株的概率 P ? P ( A1 ? B1 ) ? C2

1

2 1 2 1 ? ? C2 p ? (1 ? p ) ? 3 3 9

?p?

1 2

……………………………………………………………………………………3 分

(Ⅱ)设“甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数”为事件 C 则 P(C) ? P( A2 B1 ) ? P( A2 B0 ) ? P( A ? B0 ) 1

2 1 2 1 1 1 4 1 1 1 2 ? ( ) 2 ? C 2 ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? C2 ? ? ( ) 2 ? 3 2 2 3 2 3 3 2 9
所以,甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数的概率为 (Ⅲ)由题意知, ? 所有可能取值为 0,1, 2 .

4 . 9

………………6 分

…………………………………………7 分

P(? ? 0) ? P( A2 ? B2 ) ? P( A1 ? B1 ) ? P( A0 ? B0 )
2 1 1 1 1 1 13 1 2 1 1 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? C2 ? ? C2 ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 3 2 3 3 2 2 3 2 36 2 1 1 1 5 P(? ? 2) ? P( A2 ? B0 ) ? P( A0 ? B2 ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 3 2 3 2 36 1 P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 2) ? 2
所以 ? 服

?
P

从的分布列为

0

1

2

13 36

1 2

5 36


-6-

……………………………………………10 分

E? ? 0 ?

13 1 5 7 ?1 ? ?2 ? ? ……………………………………………………12 分 36 2 36 9

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 证明:取 CE 的中点 G ,连结 BG , FG

1 ? F 为 CD 的中点, FG / / DE , 2 ? AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,? AB / / DE
? DE ? 2 AB ,? FG / / AB ,且 FG ? AB ,
从而 ABGF 为平行四边形,? AF / / BG ………………………………………………3 分

? BG ? 平面 BCE , AF ? 平面 BCE ,∴ AF // 平面 BCE …………………………4 分
(Ⅱ) 证明:? ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,? AF ? CD ,

? DE ? 平面 ACD , AF ? 平面 ACD ,? AF ? DE ,又 CD ? DE ? D
? AF ? 平面 CDE …………………………………………………………………………6 分
由 (Ⅰ)知: AF / / BG ,? BG ? 平面 CDE , ? BG ? 平面 BCE ,

? 平面 BCE ? 平面 CDE …………………………………………………………………8 分
(Ⅲ) 解: 设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,建立如图所示的坐标系 A ? xyz ,则 A(0, 0, 0) ,

C (2a, 0, 0) , B(0,0, a) , D(a, 3a,0) , E(a, 3a, 2a) ,
∵ F 为 CD 的中点,∴ F (

3a 3a , , 0) , 2 2
G

z
B A E

??? ? 3a 3a ??? ? ? BF ? ( , , ?a) , BE ? (a, 3a, a) , 2 2

??? ? BC ? (2a,0, ?a)
? 设平面 BCE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , ? ??? ? ? ??? ?

y

x C

F

D

由 n ? BE ? 0, n ? BC ? 0 可得: x ? 3 y ? z ? 0, 2x ? z ? 0 ,令 x ? 1 ,则 z ? 2, y ? ? 3 , 取 n ? (1, ? 3, 2) .

?

-7-

??? ? ? BF ? n 2a 2 ? 设 BF 和平面 BCE 所成的角为 ? ,则 sin ? ? ??? ? ? ? 4 2a ? 2 2 BF ? n

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 20. (本小题满分 12 分)

2 . 4

……………………………………12 分

解 : Ⅰ ) 由 题 意 知 f (1) ? 5 , 又 对 任 意 的 x ?R 都 有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 3 , 所 以 有 (

f (n ? 1) ? f (n) ? 3 , 从 而 ? f (n)? 是 以 f (1) ? 5 为 首 项 , 3 为 公 差 的 等 差 数 列 , 故 f (n) ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ………………………………………………………………2 分
当 n 为偶数时, an ? 3n ?1 当 n 为奇数且 n ? 3 时, an ? f (an ?1 ) ? 3an ?1 ? 2 ? 3 ? 3n ? 2 ? 2 ? 3n ?1 ? 2

?1, n ? 1 ? n ?1 综上, an ? ?3 , n ? 2k ( k 为正整数)…………………………………………6 分 ?3n ?1 ? 2, n ? 2k ? 1 ?
(Ⅱ) a1 ? 3a3 ? 5a5 ? ? ? (2n ? 1)a2n ?1

? 1 ? 3? (32 ? 2) ? 5 ? (34 ? 2) ? ?? (2n ?1) ? (32n?2 ? 2) ? [1 ? 3? 32 ? 5 ? 34 ? ?? (2n ?1) ? 32n?2 ] ? 2[3 ? 5 ? 7 ? ?? (2n ?1)] ? [1 ? 3? 32 ? 5 ? 34 ? ? ? (2n ?1) ? 32n?2 ] ? 2(n2 ?1)
令 T ? 1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)3
2 4 2 4 6 2n ? 2

则 9T ? 3 ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)3 两式相减: ? 8T ? 1 ? 2(3 ? 3 ? ? ? 3
2 4

2n

2n ? 2

) ? (2n ? 1)32n

n 5 5 T ? ( ? ) ? 32 n ? 4 32 32
所以 a1 ? 3a3 ? 5a5 ? ? ? (2n ? 1)a2 n ?1 ? ( 21. (本小题满分 13 分) 证明:(Ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题意知 AB 的斜率必存在,设 AB : y ? kx ? 1 ,

n 5 59 ? ) ? 32 n ? 2n 2 ? …………………12 分 4 32 32

-8-

1 2 x 得 : x 2 ? 4 k x? 4 ? 0, ? x1 x2 ? ?4 … … … … … … … … … … 2 分 4 x x 1 2 1 ? f ( x) ? x , f ?( x) ? x ,? k AM ? 1 , k BM ? 2 , 4 2 2 2
将其代入 y ?

? AM : y ?

x12 x1 x x2 ? ( x ? x1 ) , 化简得: AM : y ? 1 x ? 1 ……① 4 2 2 4

2 x2 x2 x? 同理: BM : y ? ,……② 2 4

由①②消去 x 得: y ?

x 2 x1 ? ?1 …………………………………………………………5 分 4
1 2 x a x 2 ? 2a x ? a ln x(a ? 0, x ? 0) ,? F ?( x) ? ? ? 4 2 x 2x

(Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 令 F ?( x) ? 0 得 x ?

2a ,

当 x ? (0, 2a ) 时 F ( x) ? 0 , F (x ) 在 x ? (0, 2a ) 上单调递减; 当 x ? ( 2a ,??) 时

F ( x) ? 0 , F (x) 在 x ? ( 2a ,??) 上单调递增;

? F ( x) 在 x ?

2a 时取得最小值, ………………………………………………………7 分

要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只需 F( 2a ) ? 0

a e e ? a ln 2a ? 0 ,解得 a ? ,又 a ? 0 ,? 0 ? a ? ……………………………9 分 2 2 2 e 1 2 e 2 ln x 1 (Ⅲ)根据(Ⅱ) :取 a ? ,则有 x ? ln x ,化简得: 2 ? ………………11 分 2 4 2 x e 2 ln 2 1 2 ln 3 1 2 ln n 1 分别令 x ? 2,3, 4, ???, n 得: 2 ? , 2 ? ,……, 2 ? 2 e 3 e n e 2 ln 2 2 ln 3 2 ln 4 2 ln n n ? 1 ? ??? ? 2 ? 相加: 2 ? 2 ? ………………………………………13 分 2 2 3 4 n e
即 22. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0), (c,0) ,其中 c ? 0 由题意得 AB 的方程为: y ? 3( x ? c)

因 F1 到直线 AB 的距离为 3 ,所以有 所以有 a ? b ? c ? 3 ……①
2 2 2

? 3c ? 3c 3 ?1

? 3 ,解得 c ? 3 ……………………2 分

-9-

由题意知:

1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab ? 2 ……② 2

联立①②解得: a ? 2, b ? 1

所求椭圆 D 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 …………………………………………………………5 分 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: P(?2,0) , 设 Q( x1 , y1 ) 根据题意可知直线 l 的斜率存在,可设直线斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) 把它代入椭圆 D 的方程,消去 y ,整理得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0

4k 16k 2 2 ? 8k 2 ,则 x1 ? , y1 ? k ( x1 ? 2) ? 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2k 8k 2 所以线段 PQ 的中点坐标为 (? ) ……………………………………………8 分 , 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2
由韦达定理得 ? 2 ? x1 ? ? (1)当 k ? 0 时, 则有 Q(2,0) ,线段 PQ 垂直平分线为 y 轴 于是 NP ? (?2,?t ), NQ ? (2,?t ) 由 NP ? NQ ? ?4 ? t 2 ? 4 ,解得: t ? ?2 2 ………………………………………………10 分 (2) 当 k ? 0 时, 则线段 PQ 垂直平分线的方程为 y ? 因为点 N (0, t ) 是线段 PQ 垂直平分线上的一点 令 x ? 0 ,得: t ? ?

2k 1 8k 2 ? ? (x ? ) 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2

6k 1 ? 4k 2

于是 NP ? (?2,?t ), NQ ? ( x1, y1 ? t ) 由 NP ? NQ ? ?2 x1 ? t ( y1 ? t ) ?

14 4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ? 4 ,解得: k ? ? 2 2 7 (1 ? 4k )

代入 t ? ?

2 14 6k ,解得: t ? ? 2 1 ? 4k 5 2 14 .………………………………13 分 5

综上, 满足条件的实数 t 的值为 t ? ?2 2 或 t ? ?

- 10 -


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