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人教A版数学必修五第三章3.4《基本不等式》第二课时《基本不等式》的应用no.2课下检测

人教A版数学必修五第三章3.4《基本不等式》第二课时《基本不等式》的应用no.2课下检测

【创新方案】2013 版高中数学 第三章 3.4 基本不等式 第二 课时 基本不等式的应用 NO.2 课下检测 新人教 A 版必修 5 一、选择题 1.下列函数中,最小值为 4 的函数是( 4 A.y=x+ ) x -x 4 B.y=sin x+ sin x D.y=log3x+logx81 C.y=e +4e x 解析:A、D 不能保证是两正数之和,sinx 取不到 2,只有 C 项满足两项均为正,当且 仅当 x=ln2 时等号成立. 答案:C 2.已知 m=a+ A.m>n C.m=n 解析:∵a>2,∴a-2>0. 又∵m=a+ 2 1 1 =(a-2)+ +2≥ a-2 a-2 1 1 +2=4(当且仅当 a-2= ,即 a=3 时,“=”成立). a-2 a-2 2 1 2 (a>2),n=22-b (b≠0),则 m,n 之间的大小关系是( a-2 B.m<n D.不确定 ) ?a-2?× 即 m∈[4,+∞),由 b≠0 得 b ≠0, ∴2-b <2.∴22-b <4,即 n<4. ∴n∈(0,4),综上易知 m>n. 答案:A 1 2 3.设 a>b>c>0,则 2a + + A.2 C.2 5 1 2 解析:2a + + 1 2 2 ab a?a-b? -10ac+25c 的最小值是( 2 ) B.4 D.5 ab 1 2 -10ac+25c a?a-b? =2a + =2a + 2 2 a-b+b 2 -10ac+25c ab?a-b? 1 b?a-b? -10ac+25c 2 1 2 2 ≥2a + -10ac+25c (b=a-b 时取“=”号) b+a-b 2 ? ? 2 4 4 2 2 2 2 =2a + 2-10ac+25c =(a + 2)+(a-5c) ≥4. a a (当且仅当 a= 2,b= 答案:B 2 2 ,c= 时取“=”号). 2 5 4.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 C. 9 2 B.4 11 D. 2 ) 8-x 解析:∵x+2y+2xy=8,∴y= >0. 2x+2 8-x ∴0<x<8.∴x+2y=x+2· = 2x+2 (x+1)+ 9 -2≥2 x+1 9 ?x+1?· , 9 -2=4. x+1 当且仅当 x+1= x+1 即 x=2 时,取“=”号, 此时 x=2,y=1. 答案:B 二、填空题 5.已知 a>0,b>0,且 a + =1,则 a 1+b 的最大值为________. 2 解析:a 1+b = 2×a 1 2 ≤ 2× [a +( 2 = 1+b 2 )] 2 2 2 2 b2 2 1+b 2 2 2 1 3 2 3 2 (1+ )= ,当且仅当 a= ,b= 时等号成立. 2 2 4 2 2 3 2 2 ∴a 1+b 的最大值为 . 4 3 2 答案: 4 6.当 0<x<2 时,不等式 x(2-x)≤a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵0<x<2,∴2-x>0, ∴x(2-x)≤( x+2-x 2 ) =1.∴a≥1. 2 答案:[1,+∞) 7.建造一个容积为 8 m ,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方 米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为________元. 解析:设水池的造价为 y 元,长方体底的一边长为 x m,由于底面积为 4 m ,所以另一 4 边长为 m.那么 2 3 x y=120·4+2·80·?2x+2· ? x? ? ? 4? ? 4? =480+320?x+ ? ? x? x· =1 760(元). x 4 ≥480+320·2 当 x=2,即底为边长为 2 m 的正方形时,水池的造价最低,为 1 760 元. 答案:1 760 8.设正数 x,y 满足 log2(x+y+3)=log2x+log2y,设 x+y 的取值范围是________. 解析:原式等价于 x+y+3=xy≤( ?x+y? 3≤ , 4 即(x+y) -4(x+y)-12≥0. 解得 x+y≥6 或 x+y≤-2(舍去). 所以 x+y 的取值范围是[6,+∞). 答案:[6,+∞) 三、解答题 9.已知 a,b,c 是不全相等的三个正数, 求证: 证明: 2 2 x+y 2 ) (当且仅当 x=y 时取等号),所以 x+y+ 2 b+c-a a+c-b a+b-c + + >3. a b c b+c-a a+c-b a+b-c + + a b c = + + + + + -3 =( + )+( + )+( + )-3. ∵a,b,c 都是正数, ∴ + ≥2 b c a c a b a a b b c c b a a b c a a c c b b c b a a b b a · =2, a b 同理 + ≥2, + ≥2, ∴( + )+( + )+( + )≥6. ∵a,b,c 不全相等,上述三式不能同时取等号, ∴( + )+( + )+( + )>6, ∴ c a a c c b b c b a a b c a a c c b b c b a a b c a a c c b b c b+c-a a+c-b a+b-c + + >3. a b c 10. 围建一个面积为 360 m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用 旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上 要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为 45 元 /m, 新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙的长度为 x(单位 m), 修建此矩形场地围墙的总费 用为 y(单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙

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