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线性代数习题3.1线性方程组的解

线性代数习题3.1线性方程组的解


第三章 线性方程组与向量组的 线性相关性
§3.1 线性方程组的解

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§3.1 线性方程组的解

? a11 x1 ? a12 x2 ? ? a x ?a x ? ? 21 1 22 2 ? ? ?????????? ? ?am1 x1 ? am 2 x2 ?

? a1n xn ? b1 ? a2 n xn ? b2 ? amn xn ? bm

矩阵方程

Am?n X ? B

m?n
? b1 ? ? ? b2 ? ? B? ? ? ? ? ? bm ?
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? a11 ? a 21 ? A? ? ? ? am1

a12 a22 am 2

a1n ? ? x1 ? ? ? ? a2 n ? x2 ? ? X ? ? ? ? ? ? ? amn ? ? xn ?
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§3.1 线性方程组的解

Th3.1.1 n 元线性方程组 Ax ? b , (1)无解的充要条件是 R( A) ? R( A, b) ; (2)有唯一解的充要条件是R( A) ? R( A, b) ? n ; (3)有无限多解的充要条件是R( A) ? R( A, b) ? n .

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§3.1 线性方程组的解

例 1.

? x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ? x4 ? 0 ? 解 ?2 x1 ? x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 0 ? x ? x ? 4 x ? 3x ? 0 2 3 4 ? 1

?1 2 2 1 ? ? ? 解 : A ? ? 2 1 ? 2 ? 2? ? 1 ?1 ? 4 ? 3? ? ?

~

?1 2 2 1 ? ? ? ? 0 ? 3 ? 6 ? 4? ? 0 ? 3 ? 6 ? 4? ? ?
5 ? 1 0 ?2 ? 3 ? ? ?
.

?1 2 2 1 ? ? ? 行阶梯形 ~ ? 0 ? 3 ? 6 ? 4 ? ~ ? 0 1 2 4 ? 3 ? ?0 0 0 0? ? ? 0 0 0 0 ? ? ? ? ? 行最简形
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? R( A) ? 2 ? 4

? 有非零解
5 ? ? x1 ? 2 x3 ? 3 x4 同解方程组 : ? 4 ? x2 ? ?2 x3 ? x4 3 ?

( x3 , x4为自由未知量)

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§3.1 线性方程组的解

5 ? ? x1 ? 2c1 ? 3 c2 ? ? x ? ?2c ? 4 c 1 2 即 ? 2 3 ? ? x3 ? c1 ? x 4 ? c2 ?

令x3 ? c1 ,

x4 ? c2

? x1 ? 2 ? ? ? ? ? ? x2 ? ? 2? ? ? 通解: ? x ? ? c1 ? 1 ? 3 ? ? ? 向量形式 ? ?x ? ? 0 ? ? 4? ? ?
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? ? ? ? ? c2 ? ? ? ? ?

5 ? ? 3 ? 4? ? ? 3? 0 ? 1 ? ?

?c1 , c2 ? R ?.

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§3.1 线性方程组的解

? x1 ? x2 ? 5 x3 ? x4 ? 0 ? 例2.解 ? x1 ? x2 ? 2 x3 ? 3 x4 ? 0 ? 3x ? x ? 8 x ? x ? 0 3 4 ? 1 2

? 1 ? 1 5 ? 1? ? ? 解 : A ? ?1 1 ? 2 3 ? ?3 ?1 8 1 ? ? ?

~

? 1 ? 1 5 ? 1? ? ? 行阶梯形 ~ ? 0 2 ? 7 4 ? ?0 0 0 0 ? ? ? ? R( A) ? 2 ? 4
? 有非零解
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5 ? 1? 5 ?1 ? ?7 4 ?7 4 ? ? ?7 4 ? 3 1 0 1 ? ? 2 ? ? ?7 ~? 0 1 2? 2 ? ?0 0 0 0? ? ? ? 行最简形 ?1 ?1 0 ?0 ? ?0
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?1 ?1 2 2 2

§3.1 线性方程组的解

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3 ? ? x1 ? ? 2 x3 ? x4 ( x , x 为自由未知量) 3 4 同解方程组 : ? 7 ? x 2 ? x 3 ? 2 x4 ? 2 3 ? ? x1 ? ? 2 c1 ? c2 ? 令x3 ? c1 , x4 ? c2 ? x ? 7 c ? 2c 2 即 ? 2 2 1 ? ? ? 3? x ? c 3 1 ? ? ? x ?1 ? ? 1? ? 2 ? ? ? ? ? ? x 4 ? c2 ? ? x2 ? 7 ? ? 2? ? ? ? 通解: ?c1 , c2 ? R ?. ? x ? ? c1 ? 2 ? ? c2 ? 0 ? 向量形式 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?x ? 1 ? ? 1 ? ? ? 4? ? 0 ? ? ? 首页 上一页 下一页 返回 结束

§3.1 线性方程组的解

? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 2 x4 ? 1 ? 例3.解 ? 2 x1 ? 4 x2 ? x3 ? x4 ? 5 ? x ? 2x ? 2x ? x ? 4 2 3 4 ? 1

?1 ~ ? 解:A ? ? 2 ?1 ? ?1 ? ~ ?0 ?0 ?

2 ?1 4 2 2 0 0

R( A) ? R( A) ? 2 ? 4

1? ? 1 ? ? 1 1 5? ~ ? 0 ? 0 2 ? 1 4? ? ? ? 1 2 1? ? 1 ? ? 1 ? 1 1? ~ ? 0 ?0 0 0 0? ? ? 2

2 ?1 2 1 ? ? 0 3 ?3 3 ? 0 3 ?3 3 ? ? 2 0 1 2? ? 0 1 ? 1 1? 0 0 0 0? ? 行最简形
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? 无穷多解
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§3.1 线性方程组的解

? x1 ? ?2 x2 ? x4 ? 2 ( x2 , x4为自由未知量) 同解方程组 : ? ? x3 ? x4 ? 1 令x2 ? c1 , x4 ? c2
? x1 ? ? ? 2? ? ? 1? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 0 ? ? 0? ? x2 ? ? ? 通解: ? ? ? c1 ? c2 ? ? ? ? ? ? ? x3 1 0 1 ? ? ? ? 0? ? ? 0 ? ? ?x ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ?

(c1 , c2 ? R)

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§3.1 线性方程组的解

?(1 ? ? ) x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? 例4 设有线性方程组 ? x1 ? (1 ? ? ) x2 ? x3 ? 3 ? x ? x ? (1 ? ? ) x ? ? 2 3 ? 1
问 ? 取何值时,此方程组 (1)有唯一解? (2)无 解? (3)有无限多个解?并在有无限多解时求其通 解 解: 对增广矩阵B施行初等行变换,得

1 0? r ?1 1 ?1 ? ? 1 1? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? 1 1? ? 1 3? ~ 0 ? ?? 3?? ? ? ? 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? ? ? 0 0 ? ? (3 ? ? ) (1 ? ? )(3 ? ? ) ? ?
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§3.1 线性方程组的解

1? ? ? ?1 1 ? ? 因 B ~ ?0 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 0 0 ? ? (3 ? ? ) (1 ? ? )(3 ? ? ) ? ? ? (1) 当 ? ? 0 且 ? ? ?3 时 ?

R( A) ? R(B) ? 3? 方程组有唯一解?
(2) (3)

R(A) ?1,R(B) ? 2? 方程组无解; 当 ? ? 0时,
当 ? ? ?3 时,

R(A) ? R(B) ? 2,方程组有无限多个解?
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§3.1 线性方程组的解

(3) 当 ???3时,R(A) ?R(B) ?2,方程组有无限多个解?

1 0? ?? 2 1 1 0 ? ?1 ? ? 1 ? ? ? ? 这时? B ? ? 1 1 ? ? 1 3? ? ? 1 ? 2 1 3 ? ? 1 ? ? ? 1 1 ? ? ? 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 1 0 ? 1 ? 1? ? x1 ? x3 ? 1 ? ? ~ ? 0 1 ? 1 ? 2 ? 由此得 ? x ? x ? 2 ? 2 3 ?0 0 0 ? 0 ?x ? x ? ? 3 ? 3 ? x1 ? ? 1? ? ? 1 ? 即 ? x ? ? C ? 1 ? ? ? ? 2 ? (c?R)? ? ? ? ? ? 2? ? 1? ? 0 ? ?x ? ? ? ? ? ? 3?
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§3.1 线性方程组的解

? ?x1 ? x2 ? x3 ? 1 问?取何值时, 无解, ? 例5 设 ? x1 ? ?x2 ? x3 ? ? , 唯一解,无穷多解 ? ? x ? x ? ?x ? ?2 求其通解 ? ? 1 2 3 2 ? ? 1 1 ? ? ?? 1 1 1 ? ? ? ? ~ ? 解 :A ? ? 1 ? 1 ? ? ~ ? 1 ? 1 ? ? ? 1 1 ? ?2 ? ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ?1 1 ? ?2 ? ? ? 2 ~ ? 0 ? ?1 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 1 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?3 ? ? ?
1 不宜作 r2 ? ? ?1
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§3.1 线性方程组的解

2 ?1 ? 1 ? ? ? ? 行阶梯形 2 ~ ?0 ? ?1 1? ? ? ?? ? 2 2 3? ?0 0 2 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?2 ? 0 ? ? ?2, 无解 1.无解 R ? A ? ? R A ? 2 3 1 ? ? ? ? ? ? ?0 ?

2.唯一解

? ? R ? A? ? R ? A? ? 3

2 ? ? ? ?2 ? 0

3.无穷多解

? ? 1, ? 2 唯一解 R ? A? ? R A ? 3

? ?

?2 ? ? ? ?2 ? 0 ? 2 3 1 ? ? ? ? ? ? ?0 ?
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? ? 1 无穷多解

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§3.1 线性方程组的解

? ?1

x1 ? 1 ? x2 ? x3

1 1 1 1? ? 1 1 1 1? ? ? ? ? ? A ? ? 1 1 1 1? ~ ? 0 0 0 0 ? ? 0 0 0 0 ? 1 1 1 1? ? ? ? ? ?

( x2 , x3为自由未知量)

令x2 ? c1 ,

x3 ? c2

? x1 ? ? ? 1? ? 1 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? c2 ? 0 ? ? ? 0 ? (c1 , c2 ? R) 通解: ? x2 ? ? c1 ? ? 1 ? ? 0? ? 0 ? ?x ? ? ? ? ? ? ? ? 3?

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§3.1 线性方程组的解

由定理1可得线性方程组理论中两个最基本的定理: Th2

n 元线性方程组Ax ? b 有解的充要条件是
R( A) ? R( A, b).

Th3

n 元齐次线性方程组Ax ? 0 有非零解的充要
条件是 R( A) ? n.

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§3.1 线性方程组的解

由定理2、3推广到矩阵方程有定理4、5: Th4 矩阵方程 AX ? B 有解的充要条件是 R( A) ? R( A, B) Th5 矩阵方程 Am?n X n?l ? 0只有零解的充要 条件是R( A) ? n

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§3.1 线性方程组的解

?2 ?5 5 ? ? ? 例7 设 A ? ? 3 4 ? 4 ? , ?1 t ? 2 ? ? B为三阶非零矩阵,且 AB=O , 求 t。 解 因 A3?3 B3?l ? O3?l , 且 B 为三阶非零矩阵,



AX=O 有非零解 。

由定理9(Am?n Xn? l ?0 只有零解<=>R(A)=n)知 R(A)<3,
?2 ?5 5 ? ? ? 而 A ? ? 3 4 ? 4? , ?1 t ? 2 ? ?
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t = -2 。

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§3.1 线性方程组的解

内容小结
线性方程组有解(有唯一解、无穷多解),

无解的条件。

n 元线性方程组 Ax ? b



(1)无解的充要条件是 R( A) ? R( A, b) ;
(2)有唯一解的充要条件是R( A) ? R( A, b) ? n ;
R( A) ? R( A, b) ? n (3)有无限多解的充要条件是

.

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§3.1 线性方程组的解

思考与练习
?x ? y ? z ? w ? 0 ? y ? 2 z ? 2w ? 1 ? 问a,b为何值时,有解? ? ?? y ? (a ? 3) z ? 2 w ? b 有解时,求出通解. ? ?3 x ? 2 y ? z ? aw ? ?1

1 1 0 ? 1 1 0 ? ?1 1 ?1 1 ? ? ? ?0 1 2 2 1 ? 0 1 2 2 1 ? ? ~? A?? ? 0 0 a ? 1 0 b ? 1 ? 0 ?1 a ? 3 ?2 b ? ? ? ? ? ? ?0 ?1 ? 2 a ? 3 ?1 ? ? 3 2 1 a ? 1 ? ?
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§3.1 线性方程组的解

1 1 0 ? ?1 1 ?0 1 2 2 1 ? ? ~? 0 0 a ?1 0 b ? 1? ? ?0 0 ? 0 a ? 1 0 ? ? (1)当a ? 1时R( A) ? R R( B A) ? 4,唯一解

( 2)当a ? 1且b ? ?1时R( A) ? 2, R (B ) ? 3 无解 R A
无穷多解

? ? R(?B A (3)当a ? 1且b ? ?1时R( A) ? R )?? 2 ? 4,
?1 ? ?0 ~? 0 ? ?0 ? 0 ? 1 ? 1 ? 1? ? 1 2 2 1 ? 0 0 0 0 ? ? ? 0 0 0 0 ?
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? ?

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§3.1 线性方程组的解

? x1 ? ?1 ? x3 ? x4 ? x3 , x4为自由未知量? ? ? x2 ? 1 ? 2 x3 ? 2 x4 取x3 ? c1 x4 ? c2 1 ? 1 ? ? ? x ? 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ?x ? ? 1 ? ? 2? ? 2? ? ? 2 ? ??? ? ? c1 ? c2 ? ? ?c1 , c2 ? R ? ? ? x3 ? ? 0 ? 1 0 ? ?x ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 0 1 ? ? ? ?

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