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三,随机向量_图文

三,随机向量_图文

第三章

多维随机变量及其分布

1

第一节 二维随机变量与分布函数
1、二维随机变量 定义1:设E是一个随机试验,它的样本空间是?={e}. 设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间?上的两个随机 变量,则称(X(e),Y(e))为?上的二维随机向量或二维随 机变量.简记为(X,Y). 2、分布函数 定义2:设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,称 二元函数 F(x,y)=P{X?x,Y?y} 为二维随机向量(X,Y)的

分布函数或联合分布函数。

(X,Y)的分布函数满足如下基本性质:

(1)F(x,y)分别对x和y单调不减.
(2) 0?F(x,y)?1 且

对于任意固定的y, F (??, y) ? 0 对于任意固定的x, F ( x,??) ? 0

F ( ??,??) ? 0,F ( ??,??) ? 1
( 3)F ( x , y )关于x , y是右连续的,即 F ( x , y ) ? F ( x ? 0, y ),F ( x , y ) ? F ( x , y ? 0)

(4)对于任意( x1 , y1 )和( x2 , y2 ),x1 ? x2 , y1 ? y2 , 有 F ( x2 , y2 ) ? F ( x2 , y1 ) ? F ( x1 , y2 ) ? F ( x1 , y1 ) ? 0

第二节 二维离散型随机变量及其概率分布
1、联合概率分布律 定义3:若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有 限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机 向量。 设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj),i,j=1,2,… ,且(X,Y)取 各对可能值的概率为 P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,… (1) 非负性: pij≥0,i,j=1,2…;

(2) 规范性: pij ? 1 ?
i, j

(X,Y)的分布律也可用表格形式表示

Y X x1 x2 . . xi

y1

y2 …

yi



p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . pi1 pi2 pij…

离散型随机变量X , Y的联合分布函数为 F ( x, y ) ? P{ X ? x, Y ? Y } ? ? ? pij
xi ? x yi ? y

定义4:称P{ X ? x, Y ? Y } ? pij (i, j ? 1,2,...)为二维
离散型随机变量( X , Y )的概率分布或分布律, 或随机变量X和Y的联合分布律。

例1:从一个装有2个红球,3个白球和4个黑球的袋中随机 地取3个球,设X和Y分别表示取出的红球数和白球数,求 (X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2},及P{X=1}. 解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2,3.(X,Y)的所有可 能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).

由古典概率计算可得

于是(X,Y)的分布可用表示 Y 0 4/84 18/84 12/84 24/84 4/84 3/84 1 12/84 6/84 0 2 1/84 0 0 3

X
0 1 2

由(X,Y)的分布律,所求概率为

例2:随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值,另一个 随机变量Y随机地在1~X中等可能取值,试求(X,Y)的 联合分布。 解: 由乘法公式及条件概率公式可得: P{X=i,Y=j}的取值情况是:i=1,2,3,4. j取不大于i的正 整数,且 P{X=i,Y=j}=P{Y=j| }P{X=i}= ,i=1~4

于是(X,Y)的联合分布律为 Y 1 2 3 4

X 1
2

1/4
1/8

0
1/8

0
0

0
0

3
4

1/12
1/16

1/12
1/16

1/12
1/16

0
1/16

例3:(二维两点分布)设X,Y的联合分布由下表给出(其中 0<p<1),则称(X,Y)服从二维两点分布
Y X

0
0 1-P

1
0

1

0

P

例4:若二元函数为

?0, x ? y ? 0 F ( x, y ) ? ? ?1, x ? y ? 0

F(x,y)是否为某二维随机变量的分布函数?

解 容易验证F(x,y)满足二维分布函数的性质1-3,先验 证是否满足性质4: 取(x1,y1)=(0,0), (x2,y2)=(2,2)则 F(x2,y2) - F (x1,y2) - F (x2,y1) + F (x1,y1) =1-1-1+0=-1<0. 故F(x,y)不满足性质4,从而它不是二维随机变量的分布 函数

2、边缘分布 定义5:对于二元离散型随机变量(X,Y),其联合分布 律 为P{X=xi,Y=yj}=Pij, i,j=1,2, …,由边缘分布的定义

Fx(x)=F(x, ∞)= ? ? pij
xi ? x yi ? y

?



Fx(x)= ? P{ X
xi ? x

? xi }




pi·P{X=xi},i=1,2, … ≡
pi· =P{X=xi}= ? Pij ,i=1,2, …
j ?1
? yi ? y i ?1

?

同理,由FY (y)=F(+∞,y)= ?? Pij可知
p· ≡ P{Y=yj}= j

?p ,
i ?1 ij

?

j=1,2, …

分别称pi· p·,(i,j=1,2, …)为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律 , j

例6: (续例2) 求(X,Y)的边缘分布 解: X的所有可能取值为1,2,3,4
P{ X = 1}= ? p1 j =1/4
j ?1 ? ?

P{ X = 1}= ? p2 j =1/4
P{ X = 1}= ? p3 j =1/4
j ?1 ? j ?1 ?

P{ X = 1}= ? p4 j =1/4
j ?1

同理P{Y=1}=25/48,P{Y=2}=13/48 P{Y=3}=7/48 ,P{Y=4}=3/48

如下表格可以用来说明联合分布与边缘分布的关系 1 2 3 4 Y P{X=xi}

X
1 2 1/4 1/8 0 1/8 0 0 0 0 1/4 1/4

3
4

1/12
1/16

1/12
1/16

1/12
1/16

0
1/16

1/4
1/4

P{Y=yj}

25/48 13/48 7/48 3/48

1

表中,每一列的和表示Y的边缘分布,每一行的和表示X的 边缘分布.右下角的1是所有pij的和,也是X,Y各自边缘分 布的和.

例7:设二维随机变量(X,Y)的联合分布为 Y 1 1/4 2 1/6 3 1/24

X
1

2
3

1/8
1/8

a
1/12

1/24
b

又P{Y=2}=1/3 求 (1)a,b (2)求边缘分布律

解 (1)由 ?? pij =1可知 a+b=1/6 i ?1 j ?1 又P{Y=2}=1/6+a+1/12=1/3 所以 a=1/12 b=1/6-a=1/12
(2) X的概率分布为

3

3

X pi·
Y的概率分布为 Y p·j

1 1/2

2 1/3

3 1/6

1 11/24

2 6/24

3 7/24

第三节 随机变量的独立性
1、随机变量的独立性 定义6:设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量 (X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数,若对于所有 x,y有 即 P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y},则称随机变量X与Y 相互独立。它的意义是事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立. 当(X,Y)是离散型随机变量时,X和Y相互独立的条件 等价于:对于(X,Y)的所有可能取值(xi,yi)有 P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yi},即pij=pi· ·(i,j=1,2,…) pj

例1: 设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。
Y -1 0 2 X 1/2 2/20 1/20 2/20 1 2/20 1/20 2/20 2 4/20 2/20 4/20 问:X与Y相 互独立吗?

解: X与Y的边缘分布律分别为
Y X 1/2 1 2 p· j

-1
0 2 pi·

2/20 2/20 4/20
1/20 1/20 2/20 2/20 2/20 4/20 1/4 1/4 2/4

2/5
1/5 2/5 1

逐一验证可知, pij= pi. · j(i=1,2,3,j=1,2,3) p. 从而X与Y相互独立。

2、条件分布 定义6:

例2: 一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为 p(0<p<1)且假设各次击中目标与否相互独立,射击进行 到击中目标两次为止.设X表示到第一次击中目标时的射 击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合 分布和条件分布. 解: 由题意,{X=i}表示第i次首次击中目标,{Y=j}表示 第j次击中目标,因而i<j,{X=i, Y=j}表示第i次和第j次 击中目标而其余j-2次均未击中目标.于是(X,Y)的联 合分布律为:

第四节 二维连续型随机变量及其密度函数
定义9:设(X,Y)为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为

F(x,y).若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y,有

y
1

y y=x O 1 x

o y

1

x

y

O

1

x

O

1

x

例2 : 设 ( X , Y )的密度函数为 f ( x, y ) ? { 0
( ce ? x ? y)

x ? 0, y ? 0 其他

求(1)常数c; ( 2) F (x, y); (3) P{Y ? X }

设(X,Y)为二维连续型随机向量,具有概率密度f(x,y), 则
从而知,X为连续型随机变量且概率密度为

同理,Y也是连续型随机变量,其概率密度为

例1:设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为

定义10: 对固定的实数y,设对于任意给定的正数ε, P{y-ε<Y≤y+ε}>0,且若对于任意实数x,极限

存在,则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数,

记作P

或记为

.

同样,在X=x条件下随机变量Y的条件分布函数

设(X,Y)的分布函数为F(x,y),概率密度为f(x,y)。若在点 (x,y)处f(x,y)连续,边缘概率密度fY(y)连续,且fY(y)>0, 则有:

亦即

若记 式知:

为条件Y=y下X的条件概率函数,则由上

类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件概率 密度为

例3: 设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上 服从均匀分布,求条件概率密度 。

解: (X,Y)的概率密度为
且有边缘概率密度

当-1<y<1时有:

特别y=0和y=

时条件概率密度分别为

类似于条件概率的乘法公式,也有

例4: 若(X.,Y)的概率密度为

试求二维正态分布的边缘分布密度及其条件分布密度

解:FX ( x) ? ? ( y ? ?2

??

??

f ( x, y )dy,由于

?2

2 ) ? 2?

x ? ?1

?1
1

?

y ? ?2

?2

?(
2? 1
2

y ? ?2

?2
??

??

x ? ?1

?1

) ? ?2(

x ? ?1

?1

)2

? f X ( x) ? 令t ? 1

2??1? 2 1 ? ?
2

2

?e

?

( x ? ?1 ) 2

?

??

?

e

1 y ? ?2 x ? ?1 2 ?? ) 2 ( ?1 2 (1? ? ) ? 2

dy

1? ?

(

y ? ?2

?2

??
2? 12

x ? ?1

?1

? 1 ), 则有 e 2??1

( x ? ?1 ) 2 2? 12

? f X ( x) ? 同理fY ( y ) ?

? 1 ?e 2? ? 1

( x ? ?1 ) 2

,?? ? x ? ?? ,?? ? y ? ??
2

1 2? ? 2
2

?e

?

( y ??2 )2 2? 2 2

即 X ~ N ( ?1 , ? 1 ), Y ~ N(? 2 , ? 2 )

由条件分布密度的定义可知 fY | X ( y x) ? f ( x, y ) 1 ? ?e 2 f X ( x) 2? ? 2 1 ? ? f ( x, y ) 1 ? ?e 2 fY ( y ) 2? ? 1 1 ? ?
? 1 2 1? ? 2) (

[(

y ? ?2

?2

??

x ? ?1

?1

)2 ]

由对称性,将x与y交换, 得 f X Y ( x y) ?
? 1 2 1? ? 2) (

[(

x ? ?1

?1

??

y ? ?2

?2

)2 ]

由此例可知()对于二维正态分布的随机变量(X,Y)当? ? 0时 1 , 有f ( x, y ) ? f X ( x) fY ( y ), 即X , Y独立, 反之若X , Y独立, 则f ( x, y ) ? fY ( x) f X ( y )特别f ( ?1 , ? 2 ) ? f X ( ?1 ) fY ( ? 2 ).由此可推得? ? 0,所以 对于二维正态分布的随机变量(X,Y),X、Y独立的充要条件是? ? 0.

在条件X ? x下, y的条件密度函数为正态分布

?1 2 (x - ?1 ), (1 ? ? 2 )? 2 ).在条件Y ? y下, X的条件密度函 ?2 ?1 2 数为正态分布N(?1 ? ? (y - ? 2 ), (1 ? ? 2 )? 1 ). ?2
N ( ?2 ? ?

第五节 二维离散型随机变量函数的分布

设(X,Y)是二维离散型随机变量,其概率分布为 P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…,z=g(x,y)是一个二元函 数,则Z=g(X,Y)是二维离散型随机变量的函数.要求 出Z=g(X,Y)的概率分布,就要先求出随机变量Z的所 有可能取值,再求出取这些值的概率.

例1 设X , Y相互独立, 其概率分布为P{ X ? k} ? p(k), k ? 0,1,2..., P{Y ? r} ? q(r), r ? 0,1,2... 求Z ? X ? Y的概率分布 解Z的可能取值为0,1,2..., P{Z ? i} ? P{X ? Y ? i} ? P{X ? 0, Y ? i} ? P{X ? 1, Y ? i - 1} ? ? ? P{X ? i, Y ? 0} ? ? P{ X ? k, Y ? i ? k} ? ? p(k)q(i - k).
k ?0 k ?0 i i

此结果可作为公式使用, 称为离散型的卷积公式

第六节 二维连续型随机变量的函数的分布
设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y), 又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情 况下,Z是一连续型随机变量。 为求Z的概率密度,可先求出Z的分布函数

例1:设 独立,求

且X与Y相互

的概率密度。

解 : X和Y的概率密度分别为

由于X与Y相互独立,于是(X,Y)的概率密度为

先求Z的分布函数FZ(z) 当z<0时 当z≥0时 FZ(z)=0

所以 于是可得 的概率密度 如果一随机变量的概率密度为上式,称该随机变量服从 参数为?的瑞利分布。由题可知,若X,Y独立服从同一分





服从参数为?的瑞利分布。

1、Z=X+Y(和的分布)

z

x+y=z

x+y? z

例2:设X,Y是相互独立且分别服从参数?1,?和? 2, ?的?分布,即X,Y的概率密度分别为

证明 : X+Y服从参数为 证 : 由定义,Z=X+Y的概率密度为



分布

当z≤0时

fZ(z)=0

当z>0时,

综上所述,Z=X+Y的概率密度为

这正是参数为



分布的概率密度。

z
1 z=x 1 z=2-x 2

0

x

如图所示,称它为三角形函数

2、Z=X/Y(商的分布)

3、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布(极值分布)

X X Y Y

解: (1)串联情况

X

Y

(2)并联情况

X Y


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