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2016_2017学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4(2)放缩法几何法与反证法课件北师大版选修4_109_图文

2016_2017学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4(2)放缩法几何法与反证法课件北师大版选修4_109_图文

§4

不等式的证明(二)

放缩法 几何法与反证法

[学习目标]
1.掌握放缩法证明不等式的原理,并会用其证明不等 式.

2.理解几何法证明不等式的原理,会用其证明不等式.
3.理解反证法在证明不等式中的应用,掌握用反证法证 明不等式的方法.

[学法指要]
1.利用反证法、几何法、放缩法证明不等式.(重点) 2.在不等式证明中,常与数列、三角结合,将放缩法渗 透其中进行考查.(难点)

预习学案

1.比较法
求差比较法 , 用比较法证明不等式分为两种方法: _____________ 求商比较法 . _____________ 2.综合法 定义、公理、定理、性质 已知条件 出发,利用____________________________ 从__________ 等,经过一系列的推进、论证而得出命题成立,这种证明方法 顺推证法或由因导果法 叫做综合法,又叫______________________________ .

3.分析法 充分条件 要证的结论 出发,逐步寻求使它成立的 __________ 从 _____________ 已知条件或一个明显成立的事实 直至所需条件为 ______________________________________ , 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一 种______________ 的思考和证明的方法. 执果索因

分式的分母(或分子) , 1.有时可以通过缩小 ( 或放大) ____________________ 被减式(或减式) 或通过放大(或缩小) ____________________ 来证明不等式,这 放缩法 . 种证明不等式的方法称__________ 几何图形 ,利用 __________ 几何图形 的性质来证明 2 .通过构造 __________ 几何法 . 不等式的方法称为__________ 命题结论的否定 不能成立,来肯定命题 3 .通过证明 __________________ 反证法 . 结论一定成立的方法称为__________

具体步骤:

(1)做出否定结论的假设;
(2)进行推理,导出矛盾; (3)否定假设,肯定结论.

1.lg 9·lg 11与1的大小关系是(
A.lg 9·lg 11>1 C.lg 9·lg 11<1
?lg 11<? ? ?

)

B.lg 9·lg 11=1 D.不能确定

解析: lg 9· lg
?lg 99? ?lg =? 2 ?2<? ? ? ?

9+lg 11? ?2 ? 2 ?

100?2 ? =1 2 ?

答案: C

2.否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反 设为( ) A.a、b、c都是奇数

B.a、b、c都是偶数
C.a、b、c中至少有两个偶数 D.a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数

解析:

a 、 b 、 c 是否是偶数,共为全不是偶数, 1 个偶

数,2个偶数,3个偶数共四种情况,恰有一个偶数的否定为至 少有2个偶数或全是奇数. 答案: D

1 x 3.设 x>1,则 +2与 1 的大小关系为________. 1+x
解析: ∵x>1,∴1+x>2.

1+x 1 1 1 x 1 x ∴ <2,∴ +2> + = =1. 1+x 1+x 1+x 1+x 1+x

答案:

1 x + >1 1+x 2

1 1 1 1 4.求证: + + +…+ <1(n∈N+). 1×2 2×3 3×4 n· ?n+1?
证明: 1 1 1 ∵ =n- , n?n+1? n+1

1 1 1 1 ∴ + + +…+ 1×2 2×3 3×4 n· ?n+1?
?1 ? 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? ? =?1-2?+?2-3?+?3-4?+…+?n-n+1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 =1- <1. n+1 故原不等式成立.

课堂讲义

放缩法证明不等式
|x+y| |x| |y| 若 x,y∈R,求证: ≤ + . 1+|x+y| 1+|x| 1+|y|
[思路点拨] 含绝对值不等式的证明与其他不等式的证明

一样,可以用分析法来探索证明途径.由|x+y|≤|x| +|y| 知|x| +

|y|-|x+y|≥0,再由真分数性质可得证.

[解题过程]

|x+y| |x| |y| 证法一:要证明 ≤ + , 1+|x+y| 1+|x| 1+|y|

只需证明: |x + y|(1 + |x|)(1 + |y|)≤|x|· (1 + |y|)· (1 + |x + y|) + |y|· (1+|x|)(1+|x+y|),展开,合并同类项得 |x+y|≤|x|+2|xy|+|x2y+xy2|+|y|, ∵|x+y|≤|x|+|y|, ∴|x+y|≤|x|+|y|+2|xy|+|x2y+xy2|成立, |x+y| |x| |y| ∴ ≤ + . 1+|x+y| 1+|x| 1+|y|

证法二:∵|x+y|≤|x|+|y|, ∴|x|+|y|-|x+y|≥0. a a+m 由真分数性质b< (0<a<b,m>0)知 b+m |x+y| |x+y|+|x|+|y|-|x+y| ≤ 1+|x+y| 1+|x+y|+|x|+|y|-|x+y| |x|+|y| |x| |y| = ≤ + . 1+|x|+|y| 1+|x| 1+|y| |x+y| |x| |y| 即 ≤ + 成立. 1+|x+y| 1+|x| 1+|y|

1.已知实数 x、y、z 不全为零, 3 求证: x +xy+y + y +yz+z + z +zx+x > 2 (x + y +
2 2 2 2 2 2

z) .

[思路点拨]

左边是三个根式的和,平方后十分复杂,使

用前面几种方法难以奏效,故考虑对根号内的式子进行配方后 再用“放缩法”.

[解题过程]

x +xy+y =

2

2

? y ?2 3 2 ?x+ ? + y ≥ 2? 4 ?

? y ?2 ?x+ ? = 2? ?

y y z x 2 2 2 2 |x+2|≥x+2,同理可得 y +yz+z ≥y+2, z +zx+x ≥z+2. 由于 x、y、z 不全为零,故上述三式中至少有一式取不到等号, 所以三式累加得 x2+xy+y2 + y2+yz+z2 + z2+zx+x2
? y? ? z ? ? z ? 3 >?x+2?+?y+2?+?z+2?=2(x+y+z). ? ? ? ? ? ?

用几何法证明不等式
已知 0<a<1,0<b<1,求证: a2+b2+ ?a-1?2+b2+ a2+?b-1?2 + ?a-1?2+?b-1?2≥2 2.

[思路点拨] 大于第三边等.

几何法证明不等式比代数法更加形象,更加

直观,主要运用我们所熟悉图形的性质,比如三角形两边之和

[解题过程]

构造单位正方形,O 是正方形内一点,O 到

AD,AB 的距离为 a,b, 则|AO|+|BO|+|CO|+|DO|≥|AC|+|BD| 其中|AO|= a2+b2, |BO|= ?a-1?2+b2, |CO|= ?a-1?2+?b-1?2, |DO|= a2+?b-1?2 又|AC|=|BD|= 2 ∴ a2+b2+ ?a-1?2+b2+ a2+?b-1?2 + ?a-1?2+?b-1?2≥2 2.

2.若 x, y, z>0, 则 x2+y2+xy+ y2+z2+yz> z2+x2+zx. [思路点拨] 结合几何图形,利用三角形有关知识解题. 证明: 作∠AOB=∠BOC=∠COA=120° ,设|OA|=x,
|OB|=y,|OC|=z, 则 由 余 弦 定 理 |AB| = x2+y2+xy, |BC| = z2+x2+zx, 因为|AB|+|BC|>|CA|, 所以 x2+y2+xy+ y2+z2+yz> z2+x2+zx. y2+z2+yz , |CA| =

反证法证明不等式
已知0<x<2,0<y<2,0<z<2, 求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1. [思路点拨] “不都大于1”即等价于“至少有一个小于或 等于 1” ,由于涉及三个式子,它们出现的情况很多,此类问 题的常用方法是考虑问题的反面,即“不都”的反面为 “都”,可用反证法来证明.

[解题过程] 证法一:假设x(2-y)>1且y(2-z)>1 且z(2-x)>1均成立,

则三式相乘有:xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1①
由于0<x<2, ∴0<x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1.

同理:0<y(2-y)≤1,且0<z(2-z)≤1,
∴三式相乘得:0<xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1② ②与①矛盾,故假设不成立. ∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1.

证法二:假设 x(2-y)>1 且 y(2-z)>1 且 z(2-x)>1, ∴ x?2-y?+ y?2-z?+ z?2-x?>3③ x+?2-y? y+?2-z? 而 x?2-y? + y?2-z? + z?2-x? ≤ + 2 2 z+?2-x? + =3④ 2 ④与③矛盾,故假设不成立, ∴原题设结论成立.

3.若 a、b、c 都是小于 1 的正数,求证(1-a)· b,(1-b)c, 1 (1-c)a 不可能同时大于4.

[思路点拨]

本题是以否定形式给出的命题,通常考虑用

反证法,通过推理论证,得出与条件或与事实矛盾的结论,

[解题过程] 成立.

1 1 1 假设(1-a)b>4,(1-b)c>4,(1-b)c>4同时

?1-a?+b 1 ∵1-a>0,b>0,∴ ≥ ?1-a?b>2. 2 ?1-b?+c 1 ?1-c?+a 1 同理 >2, >2, 2 2 3 3 把上述三个不等式相加,得2>2,矛盾. 1 故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不可能同时大于4.

放缩法
证明不等式A<B成立,有时可以将它的一边放大或缩小, 寻找一个中间量,如将A放大成C,即A<C,后证C<B,这种证 法便称为放缩法.常用的放缩技巧有: (1)舍掉(或加进)一些项; (2)在分式中放大或缩小分子或分母;

(3)应用基本不等式进行放缩.如
? 1?2 3 ? 1?2 ①?a+2? +4>?a+2? ; ? ? ? ?

1 1 1 1 1 2 ②k2< , 2> , < , k?k-1? k k?k+1? k k+ k-1 1 2 > (以上 k>2,且 k∈N+). k k+ k+1 放缩法的理论依据主要有:①不等式的传递性;②等量加 不等量为不等量;③同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比 较.

几何法
通过构造几何图形(例如正方形、三角形、圆),利用几何

图形的性质来证明不等式,这种证法便称为几何法.几何法证
明不等式比代数法更加形象,更加直观,主要运用我们所熟悉 图形的性质,比如三角形两边之和大于第三边,正方形、圆等 利用其性质进行证明.

反证法
1.要证不等式M>N,先假设M≤N,由题设及其他性质,
推出矛盾,从而肯定M>N成立.凡涉及到的证明不等式为否定 性命题,唯一性命题或是含“至多”、“至少”等字句时,可 考虑使用反证法. 2.反证法证明不等式的步骤是:反设 (假设不等式的结论

不成立)→归谬(从假设出发,经过推理论证,得出矛盾)→断言
(由矛盾得出反设不成立 ).反证法一般用于直接证明难以将已 知条件与特征结论进行沟通(或者直接证明缺少条件)的情形.

3.反证法中的数学语言

反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至
少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则 反”,直接证明有困难时,常采用反证法,下面我们列举一下

常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.
常见 词语 否定 假设 至少有 至多有 一个 一个 唯一 一个 不 是 是 不可能 有或 存在 全 不 全 都是 不都 是

有两个 没有或 一个也 或两个 有两个 没有 以上 以上

对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错

误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例
来说明矛盾,在一些选择题中,更是如此.

数学D 选修4-5

第一章 不等关系与基本不等式
预习学案 课堂讲义 课后练习

关键在态度


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