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线性代数试题及答案[1]

线性代数试题及答案[1]

线性代数试题和答案
第一部分 选择题 (共 28 分)
a 12 + a 13 a 22 + a 23

一、单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 2 分,共 28 分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-m
? 1 0 0? ? ? 2.设矩阵 A= ? 0 2 0? ,则 A-1 等于( ? ? ? 0 0 3?
a 11 a 21 a 12 a 22

=m,

a 13 a 23

a 11 a 21

=n,则行列式

a 11 a 21

等于(



B. -(m+n) D. m-n )
? ?1 ? B. ? 0 ? ? ?0 ?
?1 ? ?2 D. ? 0 ? ?0 ? ?

?1 ? ?3 A. ? 0 ? ?0 ? ?

0 1 2 0

? 0? ? 0? ? 1? ? ?
? 0? ? 0 1? ? ? 2?

0 1 2 0

? 0? ? 0? ? 1? ? 3?

?1 0 ? ?3 C. ? 0 1 ?0 0 ? ?

? 0 0? ? 1 ? 0 3 ? 0 1? ? ?

? 3 ?1 2 ? ? ? 3.设矩阵 A= ? 1 0 ?1? ,A*是 A 的伴随矩阵,则 A *中位于(1,2)的元素是( ? ? ? ?2 1 4 ?



A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设 A 是方阵,如有矩阵关系式 AB=AC,则必有( ) A. A =0 B. B ≠ C 时 A=0 C. A ≠ 0 时 B=C D. |A| ≠ 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关,则秩(AT)等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βs 均线性相关,则( ) α α α β β β A.有不全为 0 的数λ1, 2, λs 使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0 和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 λ …, B.有不全为 0 的数λ1,λ2,…,λs 使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 α β α β α β C.有不全为 0 的数λ1,λ2,…,λs 使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 α β α β α β D.有不全为 0 的数λ1,λ2,…,λs 和不全为 0 的数μ1,μ2,…,μs 使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0 和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵 A 的秩为 r,则 A 中( ) A.所有 r-1 阶子式都不为 0 B.所有 r-1 阶子式全为 0

-1-

C.至少有一个 r 阶子式不等于 0 D.所有 r 阶子式都不为 0 ) 8.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组,η1,η2 是其任意 2 个解,则下列结论错误的是( η η 1 1 A.η1+η2 是 Ax=0 的一个解 η η B. η1+ η2 是 Ax=b 的一个解 2 2 C.η1-η2 是 Ax=0 的一个解 D.2η1-η2 是 Ax=b 的一个解 η η η η ) 9.设 n 阶方阵 A 不可逆,则必有( A.秩(A)<n B.秩(A)=n-1 C.A=0 D.方程组 Ax=0 只有零解 10.设 A 是一个 n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是( ) A.如存在数λ和向量α使 Aα=λα,则α是 A 的属于特征值λ的特征向量 α α α α α α B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是 A 的特征值 C.A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1,λ2,λ3 是 A 的 3 个互不相同的特征值,α1,α2,α3 依次是 A 的属于λ1,λ2, α α α λ3 的特征向量,则α1,α2,α3 有可能线性相关 α α α 11.设λ0 是矩阵 A 的特征方程的 3 重根,A 的属于λ0 的线性无关的特征向量的个数为 k,则必 有( ) B. k<3 A. k≤3 C. k=3 D. k>3 12.设 A 是正交矩阵,则下列结论错误的是( ) A.|A|2 必为 1 B.|A|必为 1 C.A-1=AT D.A 的行(列)向量组是正交单位向量组 ) 13.设 A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B=CTAC.则( A.A 与 B 相似 B. A 与 B 不等价 C. A 与 B 有相同的特征值 D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为( ) A. ?
? 2 3? ? ? 3 4?

B. ?

? 3 4? ? ? 2 6?

?1 0 0 ? ? ? C. ? 0 2 ?3? ? ? ? 0 ?3 5 ?

? 1 1 1? ? ? D. ? 1 2 0? ? ? ? 1 0 2?

第二部分

非选择题(共 72 分)

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)不写解答过程,将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。
1 1 5 1 6 =

15. 3

.

9 25 36

16.设 A= ?

? 1 ?1 1 ? ? 1 2 3? ? ,B= ? ? .则 A+2B= 1 1 ?1? ? ? ?1 ?2 4?

.

17. 设 A=(aij)3 × 3 , |A|=2 , Aij 表 示 |A| 中 元 素 aij 的 代 数 余 子 式 ( i,j=1,2,3 ) , 则 (a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关,则 a= . 19.设 A 是 3×4 矩阵,其秩为 3,若η1,η2 为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2 个不同的解,则它 η η 的通解为 . 20.设 A 是 m×n 矩阵,A 的秩为 r(<n),则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个

-2-

数为 . 21.设向量α、β的长度依次为 2 和 3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α-β)= α β α β α β α β α β 22.设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=8,已知 A 有 2 个特征值-1 和 4,则另一特征值为 . 23. 设 矩 阵 A= ? 1
? 0 ? 10

.

6? ? 2? ? ? ? ?3 ?3? , 已知 α = ? ?1? 是 它 的一 个特征 向 量 , 则 α 所对 应的特 征值 ? ? ? ? ? ?2 10 8 ? ? 2?

. 为 24.设实二次型 f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为 4,正惯性指数为 3,则其规范形为 三、计算题(本大题共 7 小题,每小题 6 分,共 42 分)
? 1 2 0? ? 2 3 ?1? ? ? T 25.设 A= ? 3 4 0? ,B= ? (2)|4A|. ? .求(1)AB ; ?2 4 0 ? ? ? ? ? ?1 2 1?

.

26.试计算行列式

3 ?5 2 1

1 1 0 ?5

?1 2 3 ?4 1 3 ?1 ?3

.

27.设矩阵 A= ? 1

?4 ?

2 3? ? 1 0? ,求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A+2B. ? ? ? ?1 2 3?

? 1? ? 3? ? 0? ? ?2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ,α = ? ?3? ,α = ? 0 ? ,α = ? ?1? . 28.给定向量组α1= ? ? α2 ? ? α3 ? ? α4 ? ? α 0 2 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 4? ? ?1? ? 9?

试判断α4 是否为α1,α2,α3 的线性组合;若是,则求出组合系数。 α α α α
? 1 ?2 ?1 ? ?2 4 2 29.设矩阵 A= ? ? 2 ?1 0 ? 3 3 ? 3

0 2? ? 6 ?6? . 2 3? ? 3 4?

求: (1)秩(A) ; (2)A 的列向量组的一个最大线性无关组。
? 0 ?2 2 ? ? ? 30.设矩阵 A= ? ?2 ?3 4 ? 的全部特征值为 1, 和-8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D, T-1AT=D. 1 使 ? ? 2 4 ?3? ?

31.试用配方法化下列二次型为标准形
2 f(x1,x2,x3)= x 1 + 2 x 2 ? 3x 2 + 4 x 1 x 2 ? 4 x 1 x 3 ? 4 x 2 x 3 , 2 3 并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 32.设方阵 A 满足 A3=0,试证明 E-A 可逆,且(E-A)-1=E+A+A2.

-3-

33.设η0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系. η ξ ξ 试证明 (1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2 均是 Ax=b 的解; η η ξ η η ξ

(2)η0,η1,η2 线性无关。 η η η

-4-

答案: 答案:
一、单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 2 分,共 28 分) 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题(本大题共 10 空,每空 2 分,共 20 分) 15. 6 16. ?
? 3 3 7? ? ? ?1 ?3 7?

17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)) 为任意常数 η η η η η ,c 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1 2 24. z 1 + z 2 + z 2 ? z 2 2 3 4 三、计算题(本大题共 7 小题,每小题 6 分,共 42 分)
? 1 2 0? ? 2 ?2? ?? ? ? 25.解(1)AB = ? 3 4 0? ? 3 4 ? ? ?? ? ? ?1 2 1? ? ?1 0 ?
T

= ? 18 10? .
? ?3 ? 10?

?8 ?

6? ?

(2)|4A|=43|A|=64|A|,而
1 2 0

|A|= 3

4 0 = ?2 . ?1 2 1
?1 2 3 ?4 1 3 1 1 1 ?1 ?3 5 ?11 0 ?5 1 1 0 ?5 ?1 1 3 ?1 1 3 0 0

所以|4A|=64· (-2)=-128
3 ?5 2 1 5 1 1 0 ?5 =

26.解

= ?11
?5
5

?1
0 1 0=

?5
1 2

= ?6

?6

2

?5 ?5 0

?5 ?5

= 30 + 10 = 40.

27.解 AB=A+2B 即(A-2E)B=A,而
? 2 2 3? ? -1 ? (A-2E) = ? 1 ?1 0? ? ? ? ?1 2 1?
?1

? 1 ?4 ?3? ? ? = ? 1 ?5 ?3? . ? ? ? ?1 6 4 ?

-5-

所以 B=(A-2E)-1A= ? 1
? 3 ?8 ?6? ? ? = ? 2 ?9 ?6? . ? ? ? ?2 12 9 ?

?4 ?3? ? 4 2 3? ?? ? ?5 ?3? ? 1 1 0? ? ?? ? ? ?1 6 4 ? ? ?1 2 3? ?1 ?

28.解一

? ?2 1 3 0 ? ? 0 ?5 3 ?2? ? ? ? ? 1 ?3 0 ?1? 1 ?3 0 ?1? ? ? →? ? ? 0 2 2 4? ?0 1 1 2 ? ? ? ? ? ? 3 4 ?1 9 ? ? 0 13 ?1 12 ? ?1 ? 0 ? →? ? ?0 ? ?0 ?1 ? 0 ? →? ? ?0 ? ?0 5 ? ?1 ? ? 2 ? 0 ? →? ? ? ?0 0 8 8 ? ? 0 ?14 ?14? ?0 0 1 3 1 0 0 2? ? 1 0 1? , 0 1 1? ? 0 0 0? 0 3 5? ? 1 1 2? 0 1 1? ? 0 0 0?

所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为(2,1,1). α α α α 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3, α 即
??2 x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 ?x ? 3x = ?1 ? 1 2 ? 2x 2 + 2x 3 = 4 ? ?3x 1 + 4 x 2 ? x 3 = 9. ?

方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1). 29.解 对矩阵 A 施行初等行变换
? 1 ?2 ?1 ? 0 0 0 A ? →? ? ?0 3 2 ? ?0 9 6 0 2? ? 6 ?2? 8 ?2? ? 3 ?2? 0 2? ? 8 ?3? =B. 3 ?1? ? 0 0?

2? ? 1 ?2 ?1 0 ? 1 ?2 ?1 ? ? ? 8 ?3? 0 3 2 ?0 3 2 ?→ ? ? →? ? ?0 0 0 ? ?0 0 0 6 ?2 ? ? ? ? 0 0 0 ?21 7 ? ?0 0 0

(1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3. (2)由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系,而 B 是阶梯形,B 的第 1、2、4 列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组,故 A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量组的一 个最大线性无关组。 (A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列,或 1、3、5 列也是) 30.解 A 的属于特征值λ=1 的 2 个线性无关的特征向量为 T T ξ1=(2,-1,0) , ξ2=(2,0,1) .

-6-

? 2 5 / 5? ? 2 5 / 15? ? ? ? ? 经正交标准化,得η1= ? ? 5 / 5? ,η2= ? 4 5 / 15? . η η ? 0 ? ? 5/3 ? ? ? ? ?

λ=-8 的一个特征向量为
? 1? ? 1/ 3 ? ? ? ? ? ξ3= ? 2 ? ,经单位化得η3= ? 2 / 3 ? . η ? ? ? ? ? ?2? ? ?2 / 3?

所求正交矩阵为

? 2 5 / 5 2 15 / 15 1 / 3 ? ? ? T= ? ? 5 / 5 4 5 / 15 2 / 3 ? . ? 0 5/3 ?2 / 3? ? ?

对角矩阵

?1 0 0 ? ? ? D= ? 0 1 0 ? . ? ? ? 0 0 ?8?

? 2 5 / 5 2 15 / 15 1 / 3 ? ? ? (也可取 T= ? 0 ? 5/3 2 / 3 ? .) ? 5 / 5 ?4 5 / 15 ?2 / 3? ? ?

31.解 f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32 =(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32.
?y 1 = x 1 + 2 x 2 ? 2 x 3 ? ? 设 ?y 2 = x2 ? x3 , ? ?y 3 = x3 ?

即 ?x 2 =

?x 1 = y 1 ? 2 y 2 ? y2 + y3 ?x = y3 ? 3



因其系数矩阵 C= ? 0

? 1 ?2 0? ? ? 1 1? 可逆,故此线性变换满秩。 ? ? ? 0 0 1?

经此变换即得 f(x1,x2,x3)的标准形 y12-2y22-5y32 . 四、证明题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 32.证 由于(E-A) (E+A+A2)=E-A3=E, 所以 E-A 可逆,且 (E-A)-1= E+A+A2 . 33.证 由假设 Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0. η ξ ξ (1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理 Aη2= b, η η ξ η ξ η 所以η1,η2 是 Ax=b 的 2 个解。 η η (2)考虑 l0η0+l1η1+l2η2=0, 即 (l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0. η 则 l0+l1+l2=0,否则η0 将是 Ax=0 的解,矛盾。所以 η l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设,ξ1,ξ2 线性无关,所以 l1=0,l2=0,从而 l0=0 . ξ ξ 所以η0,η1,η2 线性无关。 η η η

-7-


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