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最新【人教A版】高中数学必修4同步辅导与检测(含答案)第二章 章末复习课

最新【人教A版】高中数学必修4同步辅导与检测(含答案)第二章 章末复习课

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章末复习课

[整合· 网络构建]

[警示· 易错提醒] 1.有关向量的注意点 (1)零向量的方向是任意的. (2)平行向量无传递性,即 a∥b,b∥c 时,a 与 c 不一定是平行 向量. (3)注意数量积是一个实数,不再是一个向量. 2.向量的运算律中的注意点

(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量 等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模, 两边同乘以一个向量, 但不能两边同除以一个向量, 即两边不能约去 一个向量,切记两向量不能相除(相约). (2)向量的“乘法”不满足结合律,即(a· b)c≠a(b· c).

专题一

有关向量共线问题

有关向量平行或共线的问题,常用共线向量定理: a∥b?a=λ b(b≠0)?x1y2-x2y1=0. [例 1] 已知 a=(1,2),b=(-3,2),若 k a+2b 与 2a-4b 平 行,求实数 k 的值. 解:法一:向量 k a+2b 与 2a-4b 平行,则存在唯一实数 λ,使 k a+2b=λ(2a-4b). 因为 k a+2b=4(1,2)+2(-3,2)= (k-6,2k+4). 2a-4b=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), 所以(k-6,2k+4)=λ(14,-4).

?λ=- , ? ?k-6=14λ, 2 ? 所以 解得? ? 2 k + 4 =- 4 λ , ?
1

?k=-1.

即实数 k 的值为-1. 法二:因为 k a+2b=k(1,2)+2(-3,2)= (k-6,2k+4), 2a-4b=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), ka+2b 与 2a-4b 平行, 所以(k-6)(-4)-(2k+4)×14=0.

解得 k=-1. 归纳升华 1.向量与非零向量 a 共线?存在唯一实数 λ 使 b=λa. 2.在解有关向量共线问题时,应注意运用向量共线的坐标表达 式,a=(x1,y1)与 b=(x2,y2)共线?x1y2-x2y1=0. [变式训练] 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c= (4,1). (1)求满足 a=m b+n c 的实数 m、n; (2)若(a+k c)∥(2b-a),求实数 k. 解:(1)因为 a=mb+nc, 所以(3,2)=(-m+4n,2m+n). 5 ? m = ? 9, ? ?-m+4n=3, 所以? 解得? 8 ?2m+n=2, ? ? n = ? 9. (2)因为(a+k c)∥(2b-a), a+k c=(3+4k, 2+k), 2b-a=(-5, 2). 16 所以 2(3+4k)+5(2+k)=0,即 k=- . 13 专题二 有关向量的夹角、垂直问题

非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为 θ,则 a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0, cos θ= [例 2] x1x2+y1y2 a· b = 2 2 2 . |a||b| x1+y1· x2 2+y1 已知向量 a,b 满足|a|= 3,|b|=2,|a+b|= 13,求向

量 a+b 与 a-b 的夹角 θ 的余弦值. 解:由已知|a|= 3,|b|=2,|a+b|= 13,所以(a+b)2=13.

所以 a2+2a· b+b2=13,则( 3)2+2a· b+22=13,得 2a· b=6. (a-b)2=a2-2a· b+b2=( 3)2-6+22=1, 所以|a-b|=1. (a+b)· (a-b) a2-b2 ( 3)2-22 所以 cos θ = = = =- |a+b||a-b| 13×1 13 13 . 13 归纳升华 1.本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长,求 两对角线构成的向量的夹角, 通过模的平方, 沟通了向量的模与向量 内积之间联系; 2.两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的. [变式训练] (1)若非零向量 a,b 满足|a|= ) 3π C. 4 D.π 2 2 |b|,且(a-b)⊥(3a 3

+2b),则 a 与 b 的夹角为( π A. 4 π B. 2

(2)(2016· 全国Ⅰ卷)设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a⊥b, 则 x=________. (1)解析:由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)· (3a+2b)=0,即 3a2-a· b -2b2=0.又因为|a|= -2|b|2=0, 8 2 2 所以 |b|2- |b|2·cos θ-2|b|2=0. 3 3 所以 cos θ= π 2 .又因为 0≤θ ≤π,所以 θ= . 4 2 2 2 |b|,设〈a,b〉=θ,即 3|a|2-|a|· |b|· cos θ 3

2 (2)因为 a⊥b,所以 a· b=0,即 x+2(x+1)=0,所以 x=- . 3 答案:A (2)- 专题三 2 3

有关向量的模的问题

利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用, 要掌握此类问题 的处理方法: (1)|a|2=a2=a· a; (2)|a± b|2=a2±2a· b+b2; (3)若 a=(x,y),则|a|= x2+y2;

(4)应用三角形或平行四边形法则. → [例 3] 设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,BC2= → → → → → 16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=( A.8 B.4 C.2 D.1 (2)设向量 a=(0,-1),向量 b=(cos x,sin x),则|a+b|的取值 范围为________. → → 解析:法一:因为BC2=16,所以|BC|=4. → → → 又|AB-AC|=|CB|=4, → → → → 所以|AB+AC|=4,因为 M 为 BC 的中点,所以BM=-CM. → → → → → → 1 → → 所以AM=AB+BM=AC+CM,所以AM= (AB+AC), 2 → 1→ → 1 所以|AM|= |AB+AC|= ×4=2. 2 2 → → → 法二: 如图所示, 四边形 ABDC 是平行四边形, 又|AB+AC|=|AB )

→ -AC|,

→ → 所以|AD|=|CB|,所以四边形 ABDC 是矩形, → 1→ 所以|AM|= |BC|, 2 → 又BC2=16, → 所以|BC|=4, → 所以|AM|=2. (2)a=(0,-1),b=(cos x,sin x), 所以 a+b=(cos x,sin x-1). 所以|a+b|= cos2x+(sin x-1)2= 2-2sin x= 2(1-sin x) 因为-1≤sin x≤1,所以 0≤|a+b|≤2. 答案:(1)C 归纳升华 解答该类题目有以下几个关键点: 1.根据题意寻找或画出三角形或平行四边形,观察图形以便直 观地得出一些结论. 2.利用三角形法则、平行四边形法则求有关的向量,并注意一 些公式性质的运用,例如模与向量的平方的关系,相反向量的和为 0 等. 3.数形结合法的运用可使解题简捷. (2)[0,2]

[变式训练] 已知向量 a 和 b 的模都是 2,其夹角为 60°,又知 → → → OP=a+2b,OQ=-2a+b,则|PQ|=________. → → → 解析:PQ=OQ-OP=-3a-b, → → → |PQ|2=PQ·PQ=(-3a-b)2=9a2+6a· b+b2. 因为|a|=|b|=2,a· b=|a||b|cos 60°=2, → 所以|PQ|2=9a2+6a· b+b2=9×4+6×2+4=52. → 所以|PQ|=2 13. 答案:2 13 专题四 数形结合思想

平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、 运算律的 推导中都渗透了数形结合的思想. 引入向量的坐标表示, 使向量运算 完全代数化, 将数和形紧密结合起来. 运用数形结合的思想解决了三 点共线,两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题. [例 4] 的是( ) 已知向量 a 与 b 不共线,且|a|=|b|≠0,则下列结论正确

A.向量 a+b 与 a-b 垂直 B.向量 a-b 与 a 垂直 C.向量 a+b 与 a 垂直 D.向量 a+b 与 a-b 共线 → → 解析: 如图所示, 作OA=a, OC=b, 以 OA 和 OC 为邻边作?OABC. 由于|a|=|b|≠0,则四边形 OABC 是菱形,所以必有 AC⊥OB.

→ → 又因为 a+b=OB,a-b=CA,所以(a+b)⊥(a-b). 答案:A 归纳升华 通过本题可以得出: 模相等且不共线的两向量的和与两向量的差 垂直.以上可以作为结论记住. → → → [变式训练] 已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA= → → ( 2cos α , 2sin α ) ,则向量 OA 与向量 OB 的夹角的取值范围为 ( )
? π? A.?0,4? ? ? ? ? ?5π π? C.?12,2? ?π 5π? B.?4,12? ? ? ? ? π 5π? D.?12,12? ?

→ 解析:如图,向量CA的终点 A 在以点 C(2,2)为圆心、半径为 2 的圆上,OA1,OA2 是圆的两条切线,切点分别为 A1,A2.

→ 在 Rt△OCA1 中,|OC|=2 2, → |CA1|= 2, π 所以∠COA1= . 6 π 所以∠COA2=∠COA1= . 6

π 因为∠COB= , 4 π π π π π 5π 所以∠A1OB= - = ,∠A2OB= + = , 4 6 12 4 6 12 → → ? π 5π? 所以向量OA与向量OB的夹角的取值范围是?12,12?.
? ?

答案:D


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