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河北省衡水中学2018届高三上学期分科综合测试(理数)

河北省衡水中学2018届高三上学期分科综合测试(理数)

河北省衡水中学 2018 届高三上学期分科综合测试
数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? {x x ? 3 ? 0} , N ? {?3, ?1,1,3,5},则 M N ? ( ) x ?1

A.{1,3} B.{?1,1,3} C.{?3,1} D.{ ? 3, ?1,1}

2.已知复数 z ? 4 ? bi (b ? R) 的实部为 ?1,则复数 z ? b 在复平面上对应的点位于( ) 1?i

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.若 cos(? ?? ) ? 2 ,则 cos(? ? 2?) ? ( )

2

3

A. ? 2 9

B. 2 9

C. ? 5 9

D. 5 9

?y ? 3x ? 3

4.已知实数 x, y 满足约束条件 ??2 y ? x ? 4

,则 z ? 2x ? y 的最大值为( )

??3x ? 4 y ?12 ? 0

A.2

B.3

C. 4

D.5

5.一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB, AD 分别交于点 E, F ,且交其对角线 AC 于

点 M ,若 AB ? 2AE , AD ? 3AF , AM ? ? AB ? ? AC(?, ? ? R) ,则 5 ? ? ? ? ( ) 2

A. ? 1 2

B. 1

C. 3 2

D. ?3

6.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布

N(?1,1) 的密度曲线)的点的个数的估计值为( )

附:若 X N (?,? 2 ) ,则 P(? ?? ? X ? ? ?? ) ? 0.6827 ,

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9545 .

A.906

B.1359

C. 2718

D.3413

1

7.二分法是求方程近似解的一种方法,其原理是“一分为二、无限逼近”.执行如图所示的
程序框图,若输入 x1 ? 1, x2 ? 2, d ? 0.01,则输出 n 的值为( )

A.6

B.7

C. 8

D.9

8.已知函数 f (x) ? lg(x ?[x]) ,其中[x] 表示不超过 x 的最大整数,则关于函数 f (x) 的性

质表述正确的是( )

A.定义域为 (??, 0) (0, ??) B.偶函数

C.周期函数

D.在定义域内为减函数

9.已知 5 件产品中有 2 件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为? ,

则 E(? ) ? ( )

A. 3

B. 7 2

C. 18 5

D.4

10.已知函数 y ? sin(?x ??)(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的图像与坐标轴的所有交点中,距离原点

最近的两个点的坐标分别为 (0, 2 ) 和 (1, 0) ,则该函数图像距离 y 轴最近的一条对称轴方 2

程是( )

A. x ? ?3

B. x ? ?1

C. x ?1

D. x ? 3

11.某棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的外接球的表面积为( )

2

A.11π B.12π C. 13π D.14π

12.已知 x0 是方程 2x2e2x ? ln x ? 0 的实根,则关于实数 x0 的判断正确的是( )

A. x0 ? ln 2

B.

x0

?

1 e

C. 2x0 ? ln x0 ? 0

D. 2ex0 ? ln x0 ? 0

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分.

13.已知边长为 3 的正 ?ABC 的三个顶点都在球 O 的表面上,且 OA 与平面 ABC 所成的

角为 60? ,则球 O 的表面积为



14.若 (2 ? x3)(x6 ? 1 )n 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于



xx

15.在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且 2ccos B ?2a ?b ,若 ?ABC 的面积

为 S ? 3 c ,则 c 的最小值为



4

16.已知抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,过 l 上一点 P 作抛物线 C 的

两条切线,切点分别为 A, B ,若 PA ? 3, PB ? 4 ,则 PF ?



三、解答题 :共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考 题,每个试题考生都必须作答.第 22/23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
? ? ? ? 17.已知等比数列 an 满足 a2 ? 2?2 , a3 ? a5 ? a7 ? 2?15 ,数列 bn 满足

? ? b1

? 1, bn

? bn?1

?

an

(n ? N ? ) , cn

?

bn 2an

, Sn 为数列

cn

的前 n 项和.

(1)求数列?bn? 的前 11 项和;

(2)求 3Sn ? 2n ? bn .

3

18.如图所示,在四棱锥 A? BCDE 中,平面 BCDE ? 平面 ABC , BE ? EC , BC ? 6, AB ? 4 3 , ?ABC ? 30?.
(1)求证: AC ? BE ; (2)若二面角为 B ? AC ? E 为 45?,求直线 AB 与平面 ACE 所成的角的正弦值.
19.某市为了制定合理的节电方案,对居民用电情况进行了调查,通过抽样,获得了某年 200 户居民每户的月均用电量(单位:百千瓦 时),将数据按
[0,1),[1, 2),[2,3),[3, 4),[4,5), [5, 6),[6, 7),[7,8),[8,9) 分成 9 组,制成了如图所示的频率分
布直方图.
(1)求直方图中 m 的值;
(2)设该市有 100 万户居民,估计全市每户居民中月均用电量不低于 6 百千瓦 时的人数 及每户居民月均用电量的中位数;
(3)政府计划对月均用电量在 4 百千瓦 时以下的用户进行奖励,月均用电量在[0,1) 内的 用户奖励 20 元/月,月均用电量在[1, 2) 内的用户奖励 10 元/月,月均用电量在[2, 4) 内的用
户奖励 2 元/月.若该市共有 400 万户居民,试估计政府执行此计划的年度预算.
4

20.已知 A, B 分别是椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的长轴与短轴的一个端点, E, F

是椭

圆的左、右焦点,以 E 点为圆心、3 为半径的圆与以 F 点为圆心、1 为半径的圆的交点在椭

圆 C 上,且 AB ? 5 .

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)设 P 为椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M ,直线 PB 与 x 轴交于点 N ,求证:

AN ? BM ? OA 2 .

21.已知函数 f (x) ? ax2 ? (1? 2a)x ? ln x(a ? R) .

(1)求函数 f (x) 在区间[1, 2] 上的最大值;

(2)若 A(x1, y1), B(x 2, y 2), C( x ,0 y )0

是函数

f

(x)

图像上不同的三点,且

x0

?

x1

? 2

x2

,试

判断

f

' (x0 )



y1 x1

? ?

y2 x2

之间的大小关系,并证明.

(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22/23 题中任选一题作答.如果多做,则 按所做的第一题计分.
22.在极坐标系中,曲线 C1 :? ? ? 2 cos? ,曲线 C2 : ? ? (? ? cos? ? 4) ? cos? .以极点为坐

标原点,极轴为

x

轴正半轴建立平面直角坐标系

xOy

,曲线

C

的参数方程为

? ?? ?

x

?

2

?

1 2

t


t

? ??

y

?

3t 2

为参数).

(1)求 C1, C2 的直角坐标方程;

(2)C 与 C1, C2 交于不同的四点,这四点在 C 上排列顺次为 H, I, J , K ,求|| HI | ? | JK || 的
值.

23.选修 4-5:不等式选讲
已知 a, b 为任意实数.

(1)求证: a4 ? 6a2b2 ? b4 ? 4ab(a2 ? b2 ) ;
(2)求函数 f ? x? ?| 2x ? a4 ? (1? 6a2b2 ?b4) | ?2 | x ? (2a3b ? 2ab3 ?1) | 的最小值.
5

数学(理科)参考答案

一、选择题
1-5: ACCBA
二、填空题
13.16?
三、解答题

6-10: BBCBB 14.2

11、12:AC 15.3

16. 12 5

17.解:(1)设等比数列{an} 的公比为 q ,由 a3 ? a5 ? a7 ? 2?15 ,得 a5 ? 2?5 ,

因为 a2

?

2?2

,所以 q3

?

2?3 ,即 q

?

1 2



故 bn

? bn?1

?

an

?

a2

? qn?2

?

2?2

? ( 1 )n?2 2

?

(1)n . 2

所以

b1 ? b2 ? b3 ?

? b10 ? b11 ? b1 ? (b2 ? b3 ) ?

? (b10

? b11)

?1? (1)2 2

? (1)4 2

?

?

1

?

1 45

?

4?

1

? 1 ? 4095 ? 1365 .

1? 1 3 3? 45 3 1024 1024

4

? ( 1)10 2

(2)由(1)可知 cn

?

bn 2an

? 2n?1 ? bn .



3Sn ? 2n ? bn ? Sn ? 2Sn ? 2n bn ? b1 ? 2b2 ? 22 b3 ? ? 2n?1bn

?2b1 ? 22 b2 ? 23 b3 ? ? 2n?1bn?1 ? b1 ? 2(b1 ? b2 ) ? 22 (b2 ? b3 )+ 2(3 b3 ? b4 ) ? +2n?1(bn?1 ? bn ) .

因为 a1 ? 1, 2n (bn ? bn?1) ? 1 ,
所以 3Sn ? 2nbn ?1? ?n ?1??1 ? n .

18.(1)证明:在 ACB 中,应用余弦定理得 cos ?ABC ? AB2 ? BC2 ? AC2 ?

3
,

2AB ? BC

2

解得 AC ? 2 3 .所以 AC2 ? BC2 ? AB2 ,所以 AC ? BC .
因为平面 BCDE ? 平面 ABC ,平面 BCDE ? 平面 ABC ? BC , BC ? AC , 所以 AC ?平面 BCDE . 又因为 BE ? 平面 BCDE ,所以 AC ? BE . (2)解:因为 AC ?平面 BCDE , CE ? 平面 BCDE ,所以 AC ? CE .

6

又 BC ? AC ,平面 ACE ? 平面 ABC ? AC , 所以 ?BCE 是平面 EAC 与平面 BAC 所成的二面角的平面角,即 ?BCE ? 45 .
因为 BE ? EC, AC ? BE, EC ? AC ? C ,所以 BE ? 平面 ACE . 所以 ?BAE 是直线 AB 与平面 ACE 所成的角. 因为在 Rt BCE 中, BE ? BC sin 45 ? 3 2 ,

所以在 Rt BAE 中, sin ?BAE ? BE ? 6 . AB 4

19.解(1)由题得1?1?(0.04 ? 0.08 ? 0.21? 0.25 ?0.06 ? 0.04 ? 0.02) ? 2m ,所以

m ? 0.15. (2)200 户居民月均用电量不低于 6 百千瓦 时的频率为 0.06 ? 0.04 ? 0.02 ? 0.12 ,100 万户居民中月均用电量不低于 6 百千瓦 时的户数有1000000?0.12 ?120000; 设中位数是 x 百千瓦 时,因为前 5 组的频率之和 0.04 ? 0.08? 0.15? 0.21? 0.25 ? 0.73 ? 0.5, 而前 4 组的频率之和 0.04 ? 0.08 ? 0.15? 0.21? 0.48 ? 0.5 ,所以 4 ? x ? 5 . 由 x ? 4 ? 0.5 ? 0.48 ,解得 x ? 4.08 .
0.25
(3)该市月均用电量在[0,1),[1.2),[2, 4) 内的用户数分别为

20000?8.20000?16.20000?72 ,所以每月预算为
20000??8?20 ?16?10 ? 72?2? ? 20000?464 元,故估计政府执行此计划的年度预算为

20000?464?12 ?11136 万元 ?1.1136 亿元.

20.解:(1)由题意得

??2a ? 3 ?1 ?

? ??

a2 ? b2 ?

4 5

,解得

a

?

2,

b

?

1



所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1. 4

(2)由(1)及题意可画图,如图,不妨令 A?2,0?, B?0,1? .设 P(x0 , y0 ) ,则 x02 ? 4 y02 ? 4 .

7

令 x ? 0 ,得 yM

? ? 2 y0 ,从而| BM x0 ? 2

|?|1? yM

|?| 1 ?

2 y0 | ;直线 PB 的方程为 x0 ? 2

y ? y0 ?1 x ?1, x0



y

? 0 ,得 xN

?

x0 ,从而| y0 ?1

AN

|?| 2 ? xN

|?| 2 ?

x0 | . y0 ?1

所以| AN | ? | BM |?| 2 ? x0 | ? |1? 2 y0 | ?| x02 ? 4y02 ? 4x0 y0 ? 4x0 ? 8y0 ? 4 |

y0 ?1

x0 ? 2

x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

?| 4x0 y0 ? 4x0 ? 8 y0 ? 8 |? 4 . x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

当 x0 ? 0 时, y0 ? ?1,| BM |? 2,| AN |? 2 ,

所以| AN | ? | BM |? 4 ,综上可知| AN | ? | BM |?| OA |2 .

21.解:(1) f ?? x? ? 2ax ? ?1? 2a? ? 1 ? 2ax2 ? ?1? 2a? x ?1 ? ?2ax ?1?? x ?1? .

x

x

x

当 a ? 0, x??1,2? 时, f ?? x? ? x ?1 ? 0 , f ?x? ? f ?2? ? 2 ? ln 2;

x

max

当 a ? 0, x??1,2? 时, f ?? x? ? ?2ax ?1?? x ?1? ? 0 ,
x

f

?

?x max

?

f

?2?

?

2 ? ln 2;



a

?

0

时,由

f

??x?

?

0 ,得

x1

?

?

1 2a

,

x2

? 1 ,又

x ??1, 2?,则有如下分类:

①当 ? 1 ? 2 ,即 ? 1 ? a ? 0 时, f ? x? 在?1, 2?上是增函数,所以

2a

4

f ?x? ? f ?2? ? 2 ? 2 ?ln 2 . max

②当1 ? ? 1 ? 2 ,即 ? 1 ? a ? ? 1 时, f ?2? 在[1, ? 1 ] 上是增函数,在 (? 1 , 2] 上是减

2a

2

4

2a

2a

函数,

所以 f ? x? ? f (? 1 ) ? 1? 1 ? ln ??2a? .

max

2a

4a

③当 ? 1 ? 1,即 a ? ? 1 时, f ? x? 在?1, 2?上是减函数,所以 f ? x? ? f ?1? ?1? a .

2a

2

max

综上,函数 f ? x? 在?1, 2?上的最大值为

8

??2 ?

?

ln

2,

a

?

?

1 4

f

? x?max

?

??1 ? ?

1 4a

? ln ??2a?, ?

1 2

?

a

?

?

1 4



???1

?

a,

a

?

?

1 2

(2)由题意得 y1 ? y1 x1 ? x2

?

1 x1 ? x2

[a(x12 ? x22 ) ? (1? 2a)

(x1 ? x2 ) ? ln x2 ? ln x1]

?

a( x1

?

x2 )

?

(1 ?

2a)

?

ln

x2 x1

? ln ? x2

x1



f

?? x0 ?

?

2ax0

? ?1? 2a? ?

1 x0

?

a( x1

?

x2 ) ? (1? 2a) ?

x1

2 ? x2



y1 ? y2 x1 ? x2

?

f

??

x0

?

?

ln

x2 x1

? ln ? x2

x1

2 ?
x1 ? x2

?

1 x1 ? x2



2( x2 ?1)

[(ln

x2

? ln

x1) ?

2(x1 ? x2 )] x1 ? x2

?

x1

1 ?

x2

(ln

x2 x1

?

x1 ) . x2 ?1

x1

令 x2 ? t , g ?t ? ? ln t ? 2?t ?1? ,

x1

t ?1

g??t?

?1? t

4
?1? t ?2

?

?t ?1?2 t ?1? t ?2

?

0,

所以 g ?t? 在 ?0, ???内是增函数,又 g ?1? ? 0,

当 x1

?

x2 时, t

?1,

1 x1 ? x2

? 0 , g ?t? ? g ?1? ? 0,故

y1 ? y2 x1 ? x2

?

f ?(x0 ) ;

当 x1

?

x2 时, 0 ? t

?1,

1 x1 ? x2

? 0 , g?t? ?

g ?1? ? 0,故

y1 ? y2 x1 ? x2

?

f ?(x0 ) .

综上知:

y1 x1

? y2 ? x2

?

f

?(x0 ) .

22.解:(1)因为 x ? ? cos? ,y ? ? cos? ,? ? x2 ? y2 ,由 ? ? 2cos ? ,得 ? 2 ? 2cos ? ,

所以曲线 C1 的直角坐标方程为 ? x ?1?2 ? y2 ? 1.

9

由 ? ? (? ? cos? ? 4) ? cos? ,得 ? 2 sin2 ? ? 4? cos? , 所以曲线 C2 的直角坐标方程为 y2 ? 4x . (2)不妨设四点在 C 上的排列顺序由下而上依次为 H, I, J , K ,它们对应的参数分别为 t1, t2 , t3, t4 ,如图,连接 C1J ,则 C1IJ 为正三角形,所以| IJ |? 1,故 || HI | ? | JK ||?|| HI | ? | IK | ? | IJ || ?|| t1 | ? | t4 | ?1|?| ?(t1 ? t4 ) ?1| .



???x ?

?

2

?

1 2

t

代入

y2

? ??

y

?

3t 2

? 4x ,得 3 t2 4

? 8 ? 2t ,即 3t2 ?8t ?32

?0

,故 t1 ? t4

? ? 8 ,所以 3

|| HI | ? | JK ||? 11 . 3
23.(1)证明:

a4 ? 6a2b2 ? b4 ? 4ab(a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 )2 ? 4ab(a2 ? b2 ) ? 4a2b2

? (a2 ? b2 ? 2ab)2 ? (a ? b)4 .

因为 ?a ? b?4 ? 0 ,所以 a4 ? 6a2b2 ? b4 ? 4ab(a2 ? b2 ) .
(2)解:
f ? x? ?| 2x ? a4 ? (1? 6a2b2 ?b4) | ?2 | x ? (2a3b ? 2ab3 ?1) |?

| 2x ? a4 ? (1? 6a2b2 ? b4 ) | ?

| 2x ? 2(2a3b ? 2ab3 ?1) |? | [2x ? 2(2a3b ? 2ab3 ?1)] ? [2x ? a4 ? (1? 6a2b2 ? b4 )] |

?| (a ? b)4 ?1|? 1,

即 f ? x?min ?1.

10


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