9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

河北省衡水中学2018届高三上学期分科综合测试(理数)

河北省衡水中学2018届高三上学期分科综合测试(理数)


河北省衡水中学 2018 届高三上学期分科综合测试 数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? {x A. {1,3}

x ?3 ? 0} , N ? {?3, ?1,1,3,5} ,则 M ? N ? ( ) x ?1
C. {?3,1} D. { ? 3, ?1,1}

B. {?1,1,3}

2.已知复数 z ? A.第一象限 3.若 cos( A. ?

4 ? bi (b ? R ) 的实部为 ?1 ,则复数 z ? b 在复平面上对应的点位于( ) 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

?
2

?? ) ?
B.

2 ,则 cos(? ? 2? ) ? ( ) 3
C. ?

2 9

2 9

5 9

D.

5 9

? y ? 3x ? 3 ? 4.已知实数 x , y 满足约束条件 ? 2 y ? x ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ) ?3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ?
A.2 B.3 C. 4 D.5 5.一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB, AD 分别交于点 E , F ,且交其对角线 AC 于 点 M ,若 AB ? 2 AE , AD ? 3 AF , AM ? ? AB ? ? AC(?, ? ? R) ,则 A. ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

5 ? ?? ?( ) 2

1 2

B. 1

C.

3 2

D. ? 3

6.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布

N (?1,1) 的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
2 附:若 X ? N (? , ? ) ,则 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6827 ,

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9545 .

A.906

B.1359

C. 2718
1

D.3413

7.二分法是求方程近似解的一种方法,其原理是“一分为二、无限逼近”.执行如图所示的 程序框图,若输入 x1 ? 1, x2 ? 2, d ? 0.01,则输出 n 的值为( )

A.6

B.7

C. 8

D.9

8.已知函数 f ( x) ? lg( x ? [ x]) ,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则关于函数 f ( x ) 的性 质表述正确的是( ) A.定义域为 (??,0) ? (0, ??) C.周期函数 B.偶函数 D.在定义域内为减函数

9. 已知 5 件产品中有 2 件次品, 现逐一检测, 直至能确定所有次品为止, 记检测的次数为 ? , 则 E (? ) ? ( ) A. 3 B.

7 2

C.

18 5

D.4

10.已知函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图像与坐标轴的所有交点中,距离原点

最近的两个点的坐标分别为 (0,

2 ) 和 (1, 0) ,则该函数图像距离 y 轴最近的一条对称轴方 2

程是( ) A . x ? ?3 B. x ? ?1 C. x ? 1 D. x ? 3 11.某棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的外接球的表面积为( )

2

A. 11π

B. 12π
2 2x

C. 13π

D. 14π

12.已知 x0 是方程 2 x e A. x0 ? ln 2

? ln x ? 0 的实根,则关于实数 x0 的判断正确的是( )
1 e
C. 2 x0 ? ln x0 ? 0 D. 2e 0 ? ln x0 ? 0
x

B. x0 ?

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 13.已知边长为 3 的正 ?ABC 的三个顶点都在球 O 的表面上,且 OA 与平面 ABC 所成的 角为 60 ? ,则球 O 的表面积为 14.若 (2 ? x )( x ?
3 6

. .

1 x x

) n 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于

15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2c cos B ?2 a ?b ,若 ?ABC 的面积

为S ?

3 c ,则 c 的最小值为 4
2



16.已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,过 l 上一点 P 作抛物线 C 的 两条切线,切点分别为 A, B ,若 PA ? 3, PB ? 4 ,则 PF ? .

三、解答题 :共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考 题,每个试题考生都必须作答.第 22/23 题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共 60 分.
17.已知等比数列 ?an ? 满足 a2 ? 2?2 , a3 ? a5 ? a7 ? 2?15 ,数列 ?bn ? 满足

b1 ? 1, bn ? bn?1 ? an (n ? N ? ) , cn ?
(1)求数列 ?bn ? 的前 11 项和; (2)求 3Sn ? 2 ? bn .
n

bn , Sn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和. 2an

3

18.如图所示,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 BCDE ? 平面 ABC , BE ? EC ,

BC ? 6, AB ? 4 3 , ?ABC ? 30? .

(1)求证: AC ? BE ; (2)若二面角为 B ? AC ? E 为 45 ? ,求直线 AB 与平面 ACE 所成的角的正弦值.

19.某市为了制定合理的节电方案,对居民用电情况进行了调查,通过抽样,获得了某年 200 户居民每户的月均用电量(单位:百千瓦 ?时) ,将数据按

[0,1),[1, 2),[2,3),[3, 4),[4,5), [5,6),[6,7),[7,8),[8,9) 分成 9 组,制成了如图所示的频率分
布直方图.

(1)求直方图中 m 的值; (2)设该市有 100 万户居民,估计全市每户居民中月均用电量不低于 6 百千瓦 ?时的人数 及每户居民月均用电量的中位数; (3)政府计划对月均用电量在 4 百千瓦 ?时以下的用户进行奖励,月均用电量在 [0,1) 内的 用户奖励 20 元/月,月均用电量在 [1, 2) 内的用户奖励 10 元/月,月均用电量在 [2, 4) 内的用 户奖励 2 元/月.若该市共有 400 万户居民,试估计政府执行此计划的年度预算.

4

20.已知 A, B 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴与短轴的一个端点, E , F 是椭 a 2 b2

圆的左、右焦点,以 E 点为圆心、3 为半径的圆与以 F 点为圆心、1 为半径的圆的交点在椭 圆 C 上,且 AB ? 5 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 为椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M ,直线 PB 与 x 轴交于点 N ,求证:

AN ? BM ? OA .

2

21.已知函数 f ( x) ? ax2 ? (1 ? 2a) x ? ln x(a ? R) . (1)求函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上的最大值; (2)若 A(x1, y1), B( x 2 , y 2), C( x , 0y) 0 判断 f ' ( x0 ) 与 是函数 f ( x ) 图像上不同的三点,且 x0 ?

x1 ? x2 ,试 2

y1 ? y2 之间的大小关系,并证明. x1 ? x2

(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22/23 题中任选一题作答.如果多做,则 按所做的第一题计分.
22.在极坐标系中,曲线 C1 :? ? ? 2cos? ,曲线 C2 : ? ? ( ? ? cos? ? 4) ? cos? .以极点为坐

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 标原点, 极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy , 曲线 C 的参数方程为 ? (t 3 ?y ? t ? ? 2
为参数) . (1)求 C1 , C2 的直角坐标方程; (2)C 与 C1 , C2 交于不同的四点, 这四点在 C 上排列顺次为 H , I , J , K ,求 || HI | ? | JK || 的 值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知 a , b 为任意实数. (1)求证: a ? 6a b ? b ? 4ab(a ? b ) ;
4 2 2 4 2 2

(2)求函数 f ? x ? ?| 2x ? a ? (1 ? 6a b ? b ) | ?2 | x ? (2a b ? 2ab ?1) | 的最小值.
4 2 2 4
3 3

5

数学(理科)参考答案
一、选择题
1-5: ACCBA 6-10: BBCBB 11、12:AC

二、填空题
13. 16? 14.2 15.3 16.

12 5

三、解答题
17.解: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 a3 ? a5 ? a7 ? 2?15 ,得 a5 ? 2?5 , 因为 a2 ? 2?2 ,所以 q3 ? 2?3 ,即 q ? 故 bn ? bn?1 ? an ? a2 ? qn?2 ? 2 ? ( ) 所以
?2

1 . 2 1 ? ( )n . 2

1 2

n?2

1 1 1 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b10 ? b11 ? b1 ? (b2 ? b3 ) ? ? ? (b10 ? b11 ) ? 1 ? ( ) 2 ? ( ) 4 ? ? ? ( )10 2 2 2 1 1? 5 4 ? 4 ? 1 ? 1 ? 4095 ? 1365 . ? 1 3 3 ? 45 3 1024 1024 1? 4
(2)由(1)可知 cn ? 则

bn ? 2n?1 ? bn . 2an

3Sn ? 2n ? bn ? Sn ? 2Sn ? 2n bn ? b1 ? 2b2 ? 22 b3 ? ?? 2n?1bn ?2b1 ? 22 b2 ? 23 b3 ? ?? 2n?1bn?1
3 ? b1 ? 2(b1 ? b2 ) ? 22 (b2 ? b3 )+ 2( b3 ? b4 ) ? ?+2n?1 (bn?1 ? bn ) .

因为 a1 ? 1 , 2n (bn ? bn?1 ) ? 1 , 所以 3Sn ? 2 bn ? 1 ? ? n ?1? ?1 ? n .
n

18. (1)证明:在 ? ACB 中,应用余弦定理得 cos ?ABC ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 3 ? , 2 AB ? BC 2

2 2 2 解得 AC ? 2 3 .所以 AC ? BC ? AB ,所以 AC ? BC .

因为平面 BCDE ? 平面 ABC ,平面 BCDE ? 平面 ABC ? BC , BC ? AC , 所以 AC ? 平面 BCDE . 又因为 BE ? 平面 BCDE ,所以 AC ? BE . (2)解:因为 AC ? 平面 BCDE , CE ? 平面 BCDE ,所以 AC ? CE .
6

又 BC ? AC ,平面 ACE ? 平面 ABC ? AC , 所以 ?BCE 是平面 EAC 与平面 BAC 所成的二面角的平面角,即 ?BCE ? 45 .
?

因为 BE ? EC, AC ? BE, EC ? AC ? C ,所以 BE ? 平面 ACE . 所以 ?BAE 是直线 AB 与平面 ACE 所成的角. 因为在 Rt ? BCE 中, BE ? BC sin 45 ? 3 2 ,
?

所以在 Rt ? BAE 中, sin ?BAE ?

BE 6 . ? AB 4

19.解(1)由题得 1 ? 1? (0.04 ? 0.08 ? 0.21 ? 0.25 ?0.06 ? 0.04 ? 0.02) ? 2m ,所以

m ? 0.15 .
(2)200 户居民月均用电量不低于 6 百千瓦 ?时的频率为 0.06 ? 0.04 ? 0.02 ? 0.12 ,100 万户居民中月均用电量不低于 6 百千瓦 ?时的户数有 1000000 ? 0.12 ? 120000 ; 设中位数是 x 百千瓦 ?时,因为前 5 组的频率之和 0.04 ? 0.08 ? 0.15 ? 0.21 ? 0.25 ? 0.73 ? 0.5 , 而前 4 组的频率之和 0.04 ? 0.08 ? 0.15 ? 0.21 ? 0.48 ? 0.5 ,所以 4 ? x ? 5 . 由x?4?

0.5 ? 0.48 ,解得 x ? 4.08 . 0.25

(3)该市月均用电量在 [0,1),[1.2),[2, 4) 内的用户数分别为

20000 ? 8.20000 ?16.20000 ? 72 ,所以每月预算为

20000 ? ?8 ? 20 ?16 ?10 ? 72 ? 2? ? 20000 ? 464 元,故估计政府执行此计划的年度预算为
20000 ? 464 ?12 ? 11136 万元 ? 1.1136 亿元.
20.解: (1)由题意得 ?

? ? 2a ? 3 ? 1 ? 4
2 2 ? ? a ?b ? 5

,解得 a ? 2, b ? 1 ,

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

2 2 (2) 由 (1) 及题意可画图, 如图, 不妨令 A? 2,0? , B ? 0,1? . 设 P( x0 , y0 ) , 则 x0 ? 4 y0 ? 4.

7

令 x ? 0 ,得 yM ? ?

2 y0 2 y0 ,从而 | BM |?|1 ? yM |?|1 ? | ;直线 PB 的方程为 x0 ? 2 x0 ? 2

y?

y0 ? 1 x ? 1, x0 x0 x0 ,从而 | AN |?| 2 ? xN |?| 2 ? |. y0 ? 1 y0 ? 1
2 x0 2 y0 x2 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 4 | ? |1 ? | ?| 0 | y0 ? 1 x0 ? 2 x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

令 y ? 0 ,得 xN ?

所以 | AN | ? | BM |?| 2 ?

?|

4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 8 |? 4 . x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

当 x0 ? 0 时, y0 ? ?1,| BM |? 2,| AN |? 2 , 所以 | AN | ? | BM |? 4 ,综上可知 | AN | ? | BM |?| OA |2 . 21.解: (1) f ? ? x ? ? 2ax ? ?1 ? 2a ? ? 当 a ? 0, x ??1, 2? 时, f ? ? x ? ? 当 a ? 0, x ??1, 2? 时, f ? ? x ? ?
2 ? 2ax ? 1?? x ? 1? . 1 2ax ? ?1 ? 2a ? x ? 1 ? ? x x x

x ?1 ? 0 , f ? x ?max ? f ? 2? ? 2 ? ln 2 ; x

? 2ax ? 1?? x ? 1? ? 0 ,
x

f ? x ?max ? f ? 2? ? 2 ? ln 2 ;
当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? ? ①当 ?

1 , x2 ? 1 ,又 x ??1, 2? ,则有如下分类: 2a

1 1 ? 2 ,即 ? ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ?1, 2? 上是增函数,所以 2a 4

f ? x ?max ? f ? 2? ? 2 ? 2 ? ln 2 .
②当 1 ? ? 函数,

1 1 1 1 1 ? 2 ,即 ? ? a ? ? 时, f ? 2 ? 在 [1, ? ] 上是增函数,在 ( ? , 2] 上是减 2a 2 4 2a 2a

1 1 ) ? 1? ? ln ? ?2a ? . 2a 4a 1 1 ? 1 ,即 a ? ? 时, f ? x ? 在 ?1, 2? 上是减函数,所以 f ? x ?max ? f ?1? ? 1 ? a . ③当 ? 2a 2
所以 f ? x ?max ? f (? 综上,函数 f ? x ? 在 ?1, 2? 上的最大值为

8

f ? x ?max

1 ? ?2 ? ln 2, a ? ? 4 ? 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ln ? ?2a ? , ? ? a ? ? . 2 4 ? 4a 1 ? ?1 ? a, a ? ? 2 ?

(2)由题意得

y1 ? y1 1 2 ? [a( x12 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ( x1 ? x2 ) ? ln x2 ? ln x1 ] x1 ? x2 x1 ? x2 ln x2 ? ln x1 , x1 ? x2 1 2 , ? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ? x0 x1 ? x2

? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ?

f ? ? x0 ? ? 2ax0 ? ?1 ? 2a ? ?

y1 ? y2 ln x2 ? ln x1 2 1 , ? f ? ? x0 ? ? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
x2 ? 1) x2 x1 1 2( x1 ? x2 ) (ln ? ). [(ln x2 ? ln x1 ) ? ]? x2 x1 ? x2 x1 x1 ? x2 ?1 x1 2(


2 ? t ? 1? x2 , ? t , g ? t ? ? ln t ? t ?1 x1
2

? t ? 1? ? 0 , 1 4 g? ?t ? ? ? ? 2 2 t ?1 ? t ? t ?1 ? t ?
所以 g ? t ? 在 ? 0, ??? 内是增函数,又 g ?1? ? 0 , 当 x1 ? x2 时, t ? 1 ,

y ?y 1 ? 0 , g ?t ? ? g ?1? ? 0 ,故 1 2 ? f ?( x0 ) ; x1 ? x2 x1 ? x2 y ?y 1 ? 0 , g ?t ? ? g ?1? ? 0 ,故 1 2 ? f ?( x0 ) . x1 ? x2 x1 ? x2

当 x1 ? x2 时, 0 ? t ? 1 ,

综上知:

y1 ? y2 ? f ?( x0 ) . x1 ? x2
x2 ? y 2 , c o s 由? ?2
2 ?, 得? ?2 c o s

?? 22. 解: (1) 因为 x ? ? cos? ,y ? ? cos? ,
2

?,

2 所以曲线 C1 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .

9

由 ? ? ( ? ? cos ? ? 4) ? cos ? ,得 ? 2 sin 2 ? ? 4? cos? , 所以曲线 C2 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x . (2)不妨设四点在 C 上的排列顺序由下而上依次为 H , I , J , K ,它们对应的参数分别为

t1 , t2 , t3 , t4 ,如图,连接 C1 J ,则 ?C1IJ 为正三角形,所以 | IJ |? 1 ,故
|| HI | ? | JK ||?|| HI | ? | IK | ? | IJ || ?|| t1 | ? | t4 | ?1|?| ?(t1 ? t4 ) ? 1| .

1 ? x ? 2? t ? 3 2 8 2 ? 2 把? 代入 y 2 ? 4 x ,得 t ? 8 ? 2t ,即 3t ? 8 t ?32 ?0 ,故 t1 ? t4 ? ? ,所以 4 3 ?y ? 3 t ? ? 2
|| HI | ? | JK ||? 11 . 3

23. (1)证明:

a4 ? 6a2b2 ? b4 ? 4ab(a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 )2 ? 4ab(a2 ? b2 ) ? 4a2b2 ? (a2 ? b2 ? 2ab)2 ? (a ? b)4 .
4 2 2 4 2 2 因为 ? a ? b ? ? 0 ,所以 a ? 6a b ? b ? 4ab(a ? b ) .
4

(2)解:

f ? x ? ?| 2x ? a4 ? (1 ? 6a2b2 ? b4 ) | ?2 | x ? (2a3b ? 2ab3 ?1) |?
| 2x ? a4 ? (1 ? 6a2b2 ? b4 ) | ? | 2 x ? 2(2a3b ? 2ab3 ?1) |? |[2 x ? 2(2a3b ? 2ab3 ?1)] ? [2 x ? a4 ? (1 ? 6a2b2 ? b4 )]| ?| (a ? b)4 ? 1|? 1 ,
即 f ? x ?min ? 1.

10


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com