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最新-高等数学导数的概念课件 精品_图文

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第二章 导数与微分 微积分学的创始人: 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 微分 描述函数变化快慢 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 第一节 导数的概念 一、引例 二、导数的定义 第二章 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 自由落体运动 2 s?1 g t 2 f (t ) ? f (t0 ) v? t ? t0 而在 时刻的瞬时速度为 f (t ) ? f (t0 ) v ? lim t ? t0 t ?t0 o f (t0 ) f (t ) t0 机动 目录 上页 t 下页 返回 s 结束 2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线 y y ? f ( x) N C 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 切线 MT 的斜率 o M x0 T ? ? x x ? lim tan ? f ( x) ? f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan ? ? x ? x0 f ( x) ? f ( x0 ) k ? lim x ? x0 x ? x0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ??? 瞬时速度 切线斜率 两个问题的共性: o y f (t0 ) f (t ) t0 t s y ? f ( x) N C M x0 T o ? ? x x 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题 下页 返回 结束 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限 电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 ??? 机动 目录 上页 二、导数的定义 定义1 . 设函数 在点 的某邻域内有定义 , ?y ? f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x ? x0 若 f ( x ) ? f ( x0 ) ? y lim ? lim x ? x0 x ? x0 ? x ?0 ? x 存在, 则称函数 在点 处可导, 并称此极限为 即 的导数. 记作: d y d f ( x) y? x ? x0 ; f ?( x0 ) ; ; d x x ? x0 d x x ? x0 y? x ? x0 ? f ?( x0 ) ? lim ?y ? x ?0 ? x 在点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 运动质点的位置函数 s ? f (t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度 o f (t0 ) f (t ) t0 t s ? f ?(t0 ) 曲线 C : y ? f ( x) 在 M 点处的切线斜率 y y ? f ( x) N ? f ?( x0 ) 说明: 在经济学中, 边际成本率, o C M x0 T ? x x 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ?y ? f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x ? x0 若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. ? y 若 lim 在 的导数为无穷大 . ? ? , 也称 ? x ?0 ? x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导. 此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ? ; f ?( x ) ; dx dx 注意: f ?( x0 ) ? f ?( x) x ? x0 ? d f ( x0 ) dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求函数 (C 为常数) 的导数. f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ? y ? lim 解: ? x ?0 ?x 即 例2. 求函数 解: f ( x) ? f (a) xn ? an ? lim ? lim x? a x? a x ? a x?a ? lim ( x x? a n ?1 ?ax n?2 ?a x 2 n ?3 ? ? ? a n ?1 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 对一般幂函数 y ? x ? ( ? 为常数) ( x ? )? ? ? x ? ?1 (以后将证明) 1 ? 1x 2 ? 1 2 2 x ( x )? ? 例如, 1 ( x 2 )? ? ? ( 1 ? ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ( x )? ? ? x ? 2 x x 1 x x )? 3 ? ? ( x 4 )? ? 7 ?3 ?4 x 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求函数 解: 则 的导数. f ( x ? h) ? f ( x ) sin( x ? h) ? sin x ? lim ? lim h ?0 h ?0 h h h ? lim 2 cos( x ? ) 2 h ?0 h ? lim cos( x ? ) h ?0 2 即 ? cos x (sin x)? ? cos x (cos x)? ? ? sin x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证得 例4. 求函数 解: 的导数. 1 ? lim ? h ?0 h ? lim h ?0 ln( x ? h) ? ln x f ( x ? h) ? f ( x ) ? lim ? lim h ?0 h h ?0 h 或 x 1 h 1 x 1 h ? lim ? h ?0 h x h?0 lim ln e 即

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