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2014-2015学年度宁夏银川一中高二下学期期末考试数学(文)doc

2014-2015学年度宁夏银川一中高二下学期期末考试数学(文)doc


2014—2015 学年度宁夏银川一中高二下学期期末考试数学(文)
命题教师:周天佐
一、选择题(其中只有一个答案正确,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A=﹛-3,0,3﹜,B=﹛ x | x -2x-3 ? 0 ﹜,则 A ? B=( A. ? B.{3} C.{0} D.{-2}
2



2.命题 ?x ? R, x 2 ? x ? 0 的否定是( A. ?x ? R, x ? x ? 0
2

) B. ?x ? R, x 2 ? x ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? x ? 0


C. ?x ? R, x 2 ? x ? 0

3.函数 f ? x ? 在 x=x 0 处导数存在,若 p: f ?( x0 ) ? 0 ;q:x=x0 是 f ? x ? 的极值点,则( A. p 是 q 的充分必要条件 B. p 是 q 的充分而不必要条件 C. p 是 q 的必要而不充分条件 D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 4.函数 f ( x) ? ? A.5 5.设 a= ,b=

x?6 ? x?5 ,则 f (3) ? ( ? f ( x ? 2) x ? 6
B.4 ,c= B.c<a<b C.3

) D.2 )

,则 a,b,c 的大小关系为( C .b<a<c )

A.c<b<a 6.若 f ? x ? ?

D.a<c<b

1 ,则 f ? x ? 的定义域为( log 1 ? 2 x ? 1?
2

A. ? ?

? 1 ? ,0? ? 2 ?

B. ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

C.

? 1 ?? , ? 2

? 0? ? ? 0?? , ? ?


D. ? ?

? 1 ? ,2? ? 2 ?

7.幂函数的图象过点(2, A. ?0,? ??

1 ) ,则它的单调递增区间是( 4

B. ?0,? ??

C. ?? ?,? ? ? D. ?? ?, 0?

8.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为(
x



A.y=3x+1

B.y=-3x-1

C.y=4x+3

D.y=-4x+3 )

6 9.已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,则 f(x)的零点所在的区间是( x A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)

?a x    ( x?1) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 10. 函数 f(x)= ? 满足对任意 x1 ? x2 , 都有 ?0 a x1 ? x2 ( (x ? 1 ) ? 4 ? )x ? 5,  2 ?
成立,则实数 a 的取值范围是( A. (4,??) B. [6,8) B. ? ??, ?1? ) C. (6,8) D. (1,8) ) D. ?1, ?? ?

11.若函数 f(x)=ax-lnx 在区间(2,+ ? )单调递增,则a的取值范围是( A. ? 2, ?? ? C.

? ??, ?2?

12.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 ?3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ?( x ? 2)2 , 当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x 。则 f(1)+f(2)+…+f(2015)=( A.333 B. 336 C.1678 D.2015 )

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

5 4 ? 16 ? 4 13. ? ? +log 3 ? log 3 ? ________. 4 5 ? 81 ?
14.若 f(x)的的定义域为(-2,2),则 f(2x-3)的定义域是_____________. 15.已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减,若 f(x-1 )>f(2),则 x 的取值范围 是__________.

?

3

? 1 x 3 ?( ) ? ,  x ? 2 16.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若函数 g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点, 4 ? 0? x? 2 ?log2 x,   
则实数 k 的取值范围是______________________.

三.解答题 17. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? log a

1? x (a ? 0且a ? 1) . 1? x

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f (x)的奇偶性,并证明; (3)若 0<a<1,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)

给定两个命题: p :对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立; q :关于 x 的方程
x 2 ? x ? a ? 0 有实数根;如果 P∨q 为真,P∧q 为假,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? b (a, b ? R) . 3

(1)若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,求 f ( x) 在区 间 [?2,4] 上的最大值与最小值。

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0 (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=m 与 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? x ?
x

1 2 x 。 2

(1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切 线方程; (2)设 g ( x) ? e ?
x

1 2 x ? 2 ln x ? a ? 1 ? f ?( x) ,若 g(x)≥0,求实数 a 的取值范围。 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲. 如图,在正 ΔABC 中,点 D、E 分别在边 BC, AC 上,且 BD ? BE 相交于点 P. 求证:(I) 四点 P、D、C、E 共 圆; P B D C

1 1 BC , CE ? CA ,AD, 3 3
A

E

(II) AP ⊥CP。

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程.

1 ? x ? 1 ? t, ? ? x ? cos ? , ? 2 已知直线 ? : ? (t 为参数), 曲线 C1 : ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?
(I)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ; (II)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

( ? 为参数).

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到 2 2

曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a . (I)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (II)在(I)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

2015 高二(下)期末数学(文科)参考答案
一.BBCDA,CDACB,AB 二填空:13,

27 8

14. ( , )

1 5 2 2

15. ? ?1,3?

16. ( ,1)

3 4

三.解答题: 17. (12 分) (1)定义 域是(-1,1) 。…………………4 分 (2)奇函数,证明略 …………………8 分

(3)当 0<a<1 时,x∈(-1,0)…………………12 分 18. (12 分) 解:对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立?a=0 或 ? 关于 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根?△=1-4a≥0, a≤

?a ? 0 ,0≤a<4; ……2 分 ? ?0

1 。 ……………4 分 4

p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,即 p 真 q 假,或 p 假 q 真,…………6 分 …如果 p 真 q 假,则有 0≤a<4 且 a>

1 1 ∴ <a<4; ……………8 分 4 4 1 4

如果 p 假 q 真,则有 a<0,或 a≥4,且 a≤ ∴a<0…。……………10 分 所以实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪(

1 ,4 ) …………12 分 4

19.解: (Ⅰ)? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? (a 2 ? 1) ……………………1 分

? x ? 1为f ( x)的极值点 ,? f ?(1) ? 0,即a 2 ? 2a ? 0, ………………2 分
? a ? 0或2. ……………………6 分

,?1 ? f (1) ? 3 ? 0 ? f (1) ? 2 ……………77 分 (Ⅱ)? (1, f (1)是切点
即a ? a ?b ?
2

8 ?0 3

? 切线方程x ? y ? 3 ? 0 的斜率为-1,
? f ?(1) ? ?1, 即a 2 ? 2a ? 1 ? 0,? a ? 1, b ? 8 3
………………8 分

? f ( x) ?

1 3 8 x ? x2 ? 3 3

∴ f ' ( x) ? x 2 ? 2 x ,可知 x ? 0 和 x ? 2 是 y ? f ( x) 的两个极值点.………9 分 ∵ f (0) ?

8 4 , f (2) ? , f (?2) ? ?4, f (4) ? 8 3 3

………11 分 …………12 分

∴ y ? f ( x) 在区间 [?2,4] 上的最大值为 8.最小值为-4 20。 (12 分) 解: (1) f ' ( x) ? 3x2 ? 3a ? 3( x2 ? a), 当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ' ( x) ? 0,

) ? 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (? ?, ? ?
解得 ? a ? x ? a , a ; 由 f ' ( x )? 0

当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ?

? 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (??, ? a ),( a , ??) ; f ( x) 的单调减区间为
(? a , a ) 。…………………6 分
(2)

f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值, ? f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,? a ? 1.
由 f ( x )? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。
'

? f ( x) ? x3 ? 3x ?1, f ' ( x) ? 3x2 ? 3,

由(1)中 f ( x ) 的单调性可知, f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。 直 线 y ? m 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 有 三 个 不 同 的 交 点 , 又 f (?3) ? ?19 ? ?3 ,

f (3) ? 17 ? 1 ,结合 f ( x) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。………………12 分
21. (1)

f ?(1) ? e, f (0) ? 1, f ( x) ? e x ? x ?
x ( 2)? f ?( x) ? e ? 1 ? x

1 2 x 2

┅┅┅┅┅

6分

2 1 2 由已知,g(x)≥0,只需 x ? 2 ln x ? a ? x ≥0, 2 1 2 即 a≥ x ? x ? 2 ln x ┅┅┅┅┅ 8 分 2 1 2 设 h( x) ? x ? x ? 2 ln x( x? 0), 2 2 ( x ? 1)( x ? 2) 则 h ?( x) ? 1 ? x ? ? ? x x

? g ( x) ? e x ? 1 x 2 ? 2 ln x ? a ? 1 ? f ?( x) = 1 x 2 ? 2 ln x ? a ? x
2

令 h ?( x) ? 0 ,得 x=2;令 h?( x)? 0 ,得 0<x<2;令 h?( x)?0 ,得 x>2,

? h(x)在(0,2)上是增函数;在 (2,??) 上为减函数。┅┅┅┅┅ ? h( x) max ? h( x)极大值 ? h(2) ? 2 ln 2 ,
? ?) 故 a ? [2 ln 2, 。
┅┅┅┅┅ 12 分

10 分

? a≥2ln2

22.(10 分)证明: (I)在 ?ABC 中,由 BD ?

1 1 BC , CE ? CA, 知: 3 3

?ABD ≌ ?BCE ,………………2 分

??ADB ? ?BEC 即 ?ADC ? ?BEC ? ? .
所以四点 P, D, C , E 共圆;………………5 分 (II)如图,连结 DE . 在 ?CDE 中, CD ? 2CE , ?ACD ? 60 , 由正弦定理知 ?CED ? 90 .………………8 分 由四点 P, D, C , E 共圆知, ?DPC ? ?DEC , 所以 AP ? CP. ………………10 分 23.解.(I) ? 的普通方程为 y ? 联立方程组 则 | AB |? 1 .

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ), ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ?

? ?x? ? (II) C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ?
从而点 P 到直线 ? 的距离是

1 cos ? , 1 3 2 sin ? ) , (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 3 2 2 sin ? . 2

d?

|

3 3 cos? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4

由此当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为

6 ( 2 ? 1) . 4

24.解: (Ⅰ) 由 2x ? a ? a ? 6 得 2x ? a ? 6 ? a , ∴ a ? 6 ? 2x ? a ? 6 ? a , 即a ?3? x ? 3, ∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 。┈┈┈┈5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴ ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? 。┈┈┈┈┈10 分


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