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高中数学 1.6微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2

高中数学 1.6微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2

1.6 微积分基本定理
【学习目标】 1.理解定积分的概念和定积分的性质,理解微积分基本原理; 2.掌握微积分基本定理,并会求简单的定积分; 3.能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出,满足
F ?( x) ? f ( x) 的函数 F ( x) .

本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出 F ( x) . 典型例题 例 1 计算下列定积分: (1) ?
2 1

1 dx ; x

(2) ? (2 x ? 1

3

1 )dx x2

【学习重难点】 重点:定积分的概念和定积分的性质 难点:微积分基本定理,并会求简单的定积分. 【学习过程】 一、学前准备 1:函数 y ? x3 cos x3 的导数为 2:若函数 f ( x) ? cos2 (3x ? ) ,则 f ?(
3

变式:计算 ?0 4 ? x 2 dx
2? )= 9

2

?

二、合作探究: 探究一:导数与定积分的联系 问题 1:一个作变速直线运动的物体的运动规律是 s ? s(t ) .由导数的概念可知,它在任意时 刻 t 的速度 v(t ) ? s?(t ) .设这个物体在时间段 [a, b] 内的位移为 S, 你能分别用 s (t ), v(t ) 表示 S 吗?

小结:计算定积分 ?a f ( x)dx 的关键是找到满足 F ?( x) ? f ( x) 的函数 F ( x) . 例 2. 计算下列定积分:

b

新知:如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数,并且 F ?( x) ? f ( x) ,那么 ?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 这个结论叫做微积分基本定理,也叫牛顿—莱布尼兹公式 为了方便起见,还常用 F ( x) |b 表示 F (b) ? F (a) ,即 ?a f ( x)dx ? F ( x) |b ? F (b) ? F (a) a a 试试:计算 ?0 x 2 dx
1

b

?

?

0

sin xdx , ? sin xdx , ? sin xdx .
?
0

2?

2?

b

反思:计算定积分 ?a f ( x)dx 的关键是找到满足 F ?( x) ? f ( x) 的函数 F ( x) . 通常我们可以运用基
1

b

变式:计算下列定积分,试利用定积分的几何意义做出解释.

? ? cos dx ; ?
2 ? 2

?

?

0

cos dx ; ?

3? 2

?

?

cos dx

(3) ? e 2 x dx
0

1

(4) ??4 cos2 xdx
6

?

2

小结: 定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是 0: (1)当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积; (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积; (3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形的面积时,定积分的值 为 0,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积. 【学习检测】 1. (A)设连续函数 f ( x) ? 0 ,则当 a ? b 时,定积分 ?a f ( x)dx 的符号( A.正 B.当 0 ? a ? b 时为正,当 a ? b ? 0 时为负 C.负 D.以上结论都不对 2.(A) 函数 y ? ?0 cos xdx 的一阶导数是( A. cos x
3?
x b

(5) ? 2 x dx
1

3

(6) ?

1

0

x dx 1? x2



) D. sin x )

B. ? sin x
3? 2 0

C. cos x ? 1
3?

7(C)计算定积分 ?0 sin xdx 的值,并从几何上解释这个值表示什么.

3?

3.(A) 与定积分 ? | sin x | dx 相等的是( A. | ?0 2 sin xdx |
?
3?

B. ?0 2 sin xdx
?
3? 2

C. ?0 sin xdx ? ?? 2 sin xdx D. ?02 sin xdx ? ?? 2 sin xdx 4. (B) ?1 ( x ? 1)dx = 5. (B) ?1
2
2

1 dx = x2

【学习小结】

6(B)计算定积分: (1) ?0 (4 ? 2 x)(4 ? x 2 )dx ;
2

(2) ?

2

1

x2 ? 2 x ? 3 dx . x

2


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