9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 理学 >>

微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线复习_图文

微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线复习_图文

第二章
曲 面 论

§6 曲面上的测地线
1.曲面曲线的测地曲率; 2.曲面上的测地线; 3.曲面上的半测地坐标网; 4.曲面上测地线的短程性; 5.高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式; 6.曲面上向量的平行移动; 7.极小曲面.

主要内容

复习
一.测地线及其性质
果它上面每一点的测地 曲率 定义 曲面上的一条曲线,如 均为零,则称为测地线 . ? ? ? // n. 命题3 曲面上的曲线是测地线? 或者是直线,或者 ? ? ? ? )的曲线是测地线? r // n. 推论 曲面上(不含逗留点

二.测地线的方程
一般坐标网下,
i j d 2uk du du k ? 2 ? ? ?ij ?0 ds ds ds i, j

( k ? 1,2)

正交坐标网下,
1 ? ln E 1 ? ln G ? d? cos ? ? sin ? ? ds ? ?v ?u 2 G 2 E ? 1 ? du ? cos ? ? E ? ds ? dv ? 1 sin ? ? G ? ds

P0及曲面的一个切方向 (d ), 定理1 给定曲面上任一点

则存在唯一一条过点 P0的测地线切于该方向 (d ).

三.半测地坐标网

定义 曲面上的一个坐标网, 其中一族是测地线, 另一族是这族测地线的 正交轨线, 则称这个坐标网为 半测地坐标网 . 命题 (半测地坐标网的存在性 ) 给定曲面上一条曲线, 总存在一个半测地坐标 网, 它的非测地坐标曲线族 中 包含给定的一条曲线 . (C )

命题 取曲面上的一条测地线 (C )为v ? 曲线 : u ? u0 , 另取与 (C )正交的测地线族为 u ? 曲线, 则得一半测地坐标网 . 在此半测地坐标网下, 曲面的第一基本形式可 简化为 ds 2 ? du2 ? G(u, v )dv 2 其中G( u, v )满足条件 测地线(C ) G(u0 , v ) ? 1, Gu (u0 , v ) ? 0.
四.测地线的短程性 定理 若给定曲面上充分小邻 域内的两点 P和Q, 则过P , Q两点在小邻域内的测地 线段是连结 P, Q

两点的曲面上的曲线中 弧长最短的曲线 .

五.高斯 ? 波涅公式 定理 (Gauss-Bonnet公式)

?? Kd? ? ? k g ds ? ?? i ? 2?
G ?G i ?1

n

?n

推论1 若?G是一条光滑闭曲线,
G ?G

S

?n

G ?1 ?1?2

?3 ? 2

则有: ?? Kd? ? ? k g ds ? 2? .

推论2 若?G由n条测地线组成,
则有: ?? Kd? ? ?? i ? 2? .
G i ?1 n

推论3 若?G是一个测地三角形,
(即三条测地线围成的三 角形),
则有: ?? Kd? ? ? ? i ? ? .
G i ?1 3

?3

S

?2 ? 2 ? 3 G ? 1 ?1 ? 3 ?1

?2

(? i 是测地三角形的内角 )

K ? 0, ? ? ? i ? ? ; 在平面上,
i ?1

3

欧氏几何

在K ? 0的曲面上, 三角形内角之和小于 ? ; 罗氏几何 在K ? 0的曲面上, 三角形内角之和大于 ?.

黎曼几何

如:任一个球面三角形 内角之和大于 ?.

6.6 曲面上向量的平行移动
? 在欧氏空间中, 问题: 所谓始点为 P的向量v ? ? ? 平移于始点为 P?的向量v ?,是指将v和v ?的始点、终点 分别相连可得一平行四 边形, (如图) Q Q? T P? ? ? ? v v? ? P ?. v ? v ? P P . P ? ? TP ? 此时也称v 是由v S 平行移动得来的, 在笛卡尔坐标系下, ? ? v和v ?的分量相等 . . 能否把它应用到曲面上 ?答案:否

一.曲面上的向量及其平行 移动

) 定义 (曲面上的向量场 ? 指定唯一的一个向量 v ( P ), 如果对曲面S上任一点P, ? ? 则称v ( P )是曲面S上的一个向量场 . 使v ( P )与S在点P相切, ? ? . 向量函数a ? a(t ) 称为曲面S沿曲线(C )的向量场
? ? a ? a(t )
M ( t ).

(C ) u i ? u i ( t )

? ? a ? a(t )
M ( t ).

S
绝对微分 沿法线方向的投影向量 为 ? ? ?

(C ) u i ? u i ( t )

. M ?( t ? ?t )

? ? a ( t ? ?t ) ? a ( t )
? ? da ( t ) ? 0 ? ? a ? da
.M ?

?
? ? ? n a? ? da D a .M ? a

? ? [n ? (a ? da )]n ? ( n ? da )n

(C )

在切平面上的投影向量 为

? ? ? ? ? ? ? (a ? da )t ? a ? da ? ( n ? da )n

S

定义 (绝对微分) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Da ? (a ? da )t ? a ? a ? da ? ( n ? da )n ? a ? ? ? ? ? da ? ( n ? da )n ? 称为向量a从点M沿曲线(C )移动到M ?的绝对微分 . ? Da 称为相应的绝对微商 . dt ? ? (1)绝对微分Da就是通常微分 da在点M处的 注 切平面上的投影向量 . ? (2)绝对微分Da仍为曲面S上的向量. (3)绝对微分是平面上普通 微分在曲面上的推广 . ? ? ? ? ? 由n ? a(t ) ? 0得 n ? da ? 0, ? 在平面上, n ? 常向量,

? ? ? ? ? ? ? Da ? da ? ( n ? da )n ? da .

) 定义 (平行向量场 ? ? ? ? 设a ? a(t )为曲面S上沿曲线 (C )的向量场, 如果Da ? 0, ? ? 则称向量场a ? a ( t )为(勒维 ? 其维塔意义下的 ) ? ? ? . 平行向量场 . 此时也称a与a ? da是平行向量 注 (1)以上定义的平行移动概 念与所选曲线 (C )有关. ? ? ? ? ? ( 2) Da ? 0 ? (a ? da )t ? a ? ? ? 即把a ? da投影到切平面上与 a重合. ? ? ? (3)向量场a(t )是平行向量场 ? da // n. ? 向量场a(t )为平行向量场 事实上, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? da ? ( n ? da )n ? da // n. ? Da ? da ? ( n ? da )n ? 0 向量的勒维? 其维塔平行移动 (4)在平面上, 与通常意义下的平行移 动是一致的 . ? ? ? 在平面上, Da ? da .

平行移动的分析条件 ? ? 设a ? a (t )为曲面S上沿曲线 (C ) : ui ? ui (t ), (i ? 1,2)的向量场, ? ? 向量场a ? a (t )的坐标是a 1 (t ), a 2 (t ), 即 ? ? ? 1 2 a (t ) ? a (t )r1 ? a (t )r2 ? i? i? i ? 于是 da ? d ? a ri ? ? da ri ? ? a dri
? ? j i ? ? da ri ? ? a (? rij du )
i

i

i

i

? ? i k? ? ? da ri ? ? a [? (? ?ij rk ? Lij n)du j ]
i

i

i

j

? k i j? i j? ? ? da ri ? ? ?ij a du rk ? ? Lij a du n
i

i

i

j

k

? i j ? ? ? (da ? ? ? a du )rk ? (? Lij a du )n
k k ij i j k i, j i, j

i

i , j ,k

i, j

? k k i j ? i j ? 即da ? ? (da ? ? ?ij a du )rk ? (? Lij a du )n

? ? ? ? ? ? Da ? da ? ( n ? da )n
k k i, j

k

i, j

i, j

? i j ? ? ? (da ? ? ? a du )rk ? ( ? Lij a du )n
k ij i j i, j

? ? k k i j ? i j ? ? {n ? [? (da ? ? ?ij a du )rk ? ( ? Lij a du )n]} ? n

? ? ? (da ? ? ? a du )rk
k k ij i j

k

i, j

i, j

? 1? 2? 若令Da ? Da r1 ? Da r2,

k

i, j



1 1 1 i j Da ? da ? ? a du ? ij ? i, j ? 1 i ? Da1 ? da 1 ? ? ?ij a du j i, j

绝对微分的分析表达式

? 1 2 ? 向量a由点M沿着方向 (du , du ) 平行移动到邻近点 M ? ? 1 2 1? 2? ? Da ? 0 , Da ?0 ? Da ? Da r1 ? Da r2 ? 0 1 1 i j da ? ? ? a du ? ij ? i, j ?? 平行移动的分析条件 1 1 i j ? da ? ? ? ?ij a du

注 向量场的平行性是曲面 的内蕴性质 . 1 2 设 M ( u , u )是曲面S上的一点, ( 存在唯一性) 定理 (C ) : ui ? ui (t )是曲面S过点M的曲线, ? 1? 2? 则对于S在点M的任一向量a0 ? a0 r1 ? a0 r2, ? ? ? 唯一存在沿 (C )的平行向量场 a ( t ), 使得a ( t 0 ) ? a0 . ? 1 j a(t ) da du 1 1 i j 1 i ?ij a du ? ? ? ? ?ij a (C ) ? da ? ? ? dt dt ? i, j i, j t ? 1 2 j ? 1 i M ? . ? da ? ? ? ?ij a du j ?da ? ? ? 2 du a i a t0 ? 0 0 ? ij S ? dt i, j dt i, j

i, j

二.平行移动的性质 在任一曲面曲线 (C )上切于曲面的 命题 (保长性、保角性) 其长度以及它们之间的 夹角 诸向量沿 (C )平行移动时, 都保持不变 . ? ? 证: 设a ( t ), b ( t )是曲面曲线 (C )上切于曲面的两个向量 场, 则 它们沿曲线 (C )平行移动, ? ? ? ? da // n, db // n, ? ? ? ? ? ? db ? a ? 0, 故有da ? b ? 0, ? 又a , b 在切平面上, ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? 常数. ? d (a ? b ) ? d a ? b ? a ? d b ? 0 . ? ? ? ?2 ? ? 故 a ? 常数. 则a ? a ? a ? 常数, 若取b ? a, ? 同理 b ? 常数. ? ? ? ? a?b ? ? ? cos ?(a , b ) ? ? ? ? 常数. 即a , b 的夹角为定角 . ab

(C )是测地线? ) 曲面( S )上的曲线 命题 (测地线的特征 其单位切向量场是勒维 ? 其维塔平行向量场 . ? ? d? ? ? ? ? k? , ? ?? 证:??是(C )的单位切向量, ? ?ds 曲线(C )是测地线 ? ? // n ? ? ? ? ? // n ? ? ? d? // n ? ? (C )的单位切向量场 ?是勒维? 其维塔平行向量场 .

作业
P170

2,4,9,10,11,13, 14,16,18,19,20


推荐相关:

微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线复习_图文.ppt

微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线复习 - 第二章 曲面论 §6 曲面上的


微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线_图文.ppt

微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线 - 第二章 曲面论 §6 曲面上的测地


微分几何 2.6 曲面上的测地线_图文.ppt

微分几何 2.6 曲面上的测地线 - 第六节 曲面上的测地线 平面上的直线(1)任一点的切向量平行;(2)曲率为0; (3)直线段是连接点与点之间的最短线段。 ...


微分几何_2.6___曲面上的测地线_图文.ppt

微分几何_2.6___曲面上的测地线 - 第六节 曲面上的测地线 平面上的直线(1)任一点的切向量平行;(2)曲率为0; (3)直线段是连接点与点之间的最短线段。...


微分几何 §6 曲面上的测地线_图文.ppt

1, 2 2 ds ds ds i, j 这就是测地线方程 由上一节介绍的刘维尔公式也...微分几何_2.6___曲面上... 36页 2下载券 微分几何第二章曲面论第......


微分几何第二章曲面论第三节第六小节_图文.ppt

微分几何第二章曲面论第节第六小节 - 第二章 曲面论 §3 曲面的第二基本形式 主要内容 1.曲面的第二基本形式; 2.曲面上曲线的曲率; 3.Dupin指标线; 4...


微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线_图文.ppt

微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线 - §6 曲面上的测地线 1.曲面曲线


微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式复习课_....ppt

微分几何第二章曲面论第节曲面的第一基本形式复习课 - 第二章 曲面论 §2 曲面的第一基本形式 主要内容 1.第一基本形式; 2.曲面上曲线的弧长; 3.曲面上...


微分几何第二章曲面论第七节常高斯曲率的曲面_图文.ppt

曲面|微分几何第二章曲面论第七节常高斯曲率的曲面_理学_高等教育_教育专区。微分...? 取曲面S : r ? r (u, v )上的一条测地线 (C )为v ? 曲线 : ...


微分几何第二章曲面论第三节复习2_图文.ppt

微分几何第二章曲面论第节复习2 - 第二章 曲面论 §3 曲面的第二基本形式 主要内容 1.曲面的第二基本形式; 2.曲面上曲线的曲率; 3.Dupin指标线; 4....


微分几何 2.6 曲面上的测地线_图文.ppt

6.3 曲面上的半测地坐网 一、定义:曲面上的一个坐标网,其中一族是测地线,另...微分几何第二章曲面论第... 暂无评价 48页 1下载券 微分几何第二章曲面论...


微分几何第二章曲面论21曲面的概念资料_图文.ppt

曲面上的测地线(测地曲率、测地线、高斯波涅公式、曲面上向量的平行移动) 7、常高斯曲率曲面(常高斯曲率的曲面、伪球面、罗氏几何) 第一节 曲面的概念 1、1...


微分几何第二章曲面论第七节常高斯曲率的曲面资料_图文.ppt

微分几何第二章曲面论第七节常高斯曲率的曲面资料_数学_自然科学_专业资料。...? 取曲面S : r ? r (u, v )上的一条测地线 (C )为v ? 曲线 : u...


微分几何第2章曲面论第三节曲面的第二基本形式_图文.ppt

微分几何第2章曲面论第节曲面的第二基本形式_理学_高等教育_教育专区。微分几何第二章曲面论第节曲面的第二基本形式 第二章曲面论 §3 曲面的第二基本形式...


微分几何曲面局部理论_图文.ppt

第二章 曲面:局部理论第一节 参数曲面和第一基本形式 第二 Gauss映射和第二基本形式 第三节 G-C方程和曲面基本定理 第四节 协变微分,平行移动和测地线 第...


微分几何曲面局部理论_图文.ppt

第三节 G-C方程和曲面基本定理 协变微分, 第四节 协变微分,平行移动和测地线 第二章 曲面:局部理论 Gauss映射和第二基本形式 第二节 Gauss映射和第二基本...


微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线....ppt

微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网 - 微分几何 主讲人:郭路军 第二章 曲面论 1、曲面的概念(简单曲面、光滑曲面、切平面和法线) 内容...


微分几何--第二章1曲面的概念1.2光滑曲面 曲面的切平面....ppt

微分几何主讲人:郭路军 第二章 曲面论 1、曲面的概念(简单曲面、光滑曲面、切...曲面上的测地线(测地曲率、测地线、高斯波涅公式、曲面上向量的平行移动) 7...


微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式_图文.ppt

微分几何第二章曲面论第节曲面的第一基本形式 - 第二章 曲面论 §2 曲面的第一基本形式 主要内容 1.第一基本形式; 2.曲面上曲线的弧长; 3.曲面上两方向...


微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念_图文.ppt

微分几何第二章曲面论第节曲面的概念 - 第二章 曲面论 §1 曲面的概念 主要内容 1.简单曲面及其参数表示; 2.光滑曲面 曲面的切平面和法线; 3.曲面上的...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com