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2018-2019版高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题课件新人教A版必修5_图文

2018-2019版高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题课件新人教A版必修5_图文

3.3.2 简单的线性规划问 题 课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.掌握线性规划的有关概 念. 2.理解并掌握利用图解法 解决线性规划问题的一般 方法. 3.掌握解决线性规划实际 问题的基本方法. 简单的线性规划问题 线性规划的有关概念 图解法解决线性规划问题 线性规划的实际问题 线性规划的有关概念及其图解法 【问题思考】 1.填空: (1)线性规划中的基本概念 名 称 意 义 约束条件 变量 x,y 满足的一组条件 线性约束条件 关于 x,y 的二元一次不等式 目标函数 欲求最大值或最小值且涉及变量 x,y 的解析式 线性目标函数 目标函数是关于 x,y 的一次解析式 线性规划问题 可行解 可行域 最优解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 (2)用图解法解决线性规划问题 在确定约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步 骤为: ①在平面直角坐标系中画出可行域; ②将目标函数 z=ax+by(b≠0)变形为 y=-x+,将求 z 的最值问题转化 为求直线 y=- x+ 在 y 轴上的截距 的最值问题; ③画出直线 y=-x+并平行移动,在平移过程中,一般最先或最后经 过的点为最优解; ④求出最优解并代入目标函数,从而求出目标函数的最值. 2.做一做: + ≤ 2, 若变量 x,y 满足约束条件 ≥ 1, 则 z=2x+y 的最大值和最小值分 ≥ 0, 别为( A.4 和 3 C.3 和 2 ) B.4 和 2 D.2 和 0 解析画出可行域,如图阴影部分所示. 画出直线2x+y=0,并在可行域内移动,当直 线经过点(1,0)时,z取最小值. 当直线经过点(2,0)时,z取最大值.故zmax=2×2+0=4,zmin=2×1+0=2. 答案B 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)一般地,线性规划问题中的目标函数是线性目标函数. ( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的. ( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) (4)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y 轴上的截距. ( ) (5)在线性规划问题中,当直线z=ax+by(b≠0)在y轴上的截距最大时, 目标函数z取得最大值. ( ) 答案(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× 1 2 3 - ≤ 10, 【例 1】 导学号 04994074 设变量 x,y 满足 0 ≤ + ≤ 20,试求: 0 ≤ ≤ 15, (1)2x+3y 的最大值;(2)4x+y 的最大值;(3)3x-y 的最小值;(4)5x-5y 的最 大值. 思路分析 画出可行域,然后按照线性规划问题的图解法步骤,进行求 解. 解 (1)画出线性约束条件表示的可行域(如图①中的阴影部分),令 2x+3y=z,则 y=- x+ ,由图①可知,当直线 y=- x+ 经过点 A(5,15)时, 直线在 y 轴上的截距最大,z 取到最大值,故 zmax=2×5+3×15=55. 2 3 3 2 3 3 (2)画出线性约束条件表示的可行域(如图②中的阴影部分),令 4x+y=z,则 y=-4x+z,由图形②可知,当直线 y=-4x+z 经过点 B(15,5)时, 直线在 y 轴上的截距最大,z 取到最大值,故 zmax=4×15+5=65. (3)画出线性约束条件表示的可行域(如图③中的阴影部分),令 3x-y=z,则 y=3x-z,由图形③可知,当直线 y=3x-z 经过点 C(-15,15)时, 直线在 y 轴上的截距最大,z 取到最小值,故 zmin=3×(-15)-15=-60. (4)画出线性约束条件表示的可行域(如图④中的阴影部分),令 5x-5y=z,则 y=x- ,由图形④可知,当直线 y=x- 与边界直线 x-y=10 重 合时,直线在 y 轴上的截距最小,z 取最大值,由于 B(15,5),故 zmax=5×15-5×5=50. 5 5 反思感悟 1. 解线性规划问题的关键是作出可行域,若可行域为封闭 区域,则区域的顶点很可能就是目标函数取得最大值或最小值的点, 因此我们在解决这些问题时,可以根据这些点快速找到目标函数取 得最值时对应的 x,y 的值,再代入目标函数中即可求得最值. 2.求解线性规划问题时,经常需要比较相关直线的斜率的大小,以决 定它们的倾斜程度,从而找出最优解,所以要熟悉直线斜率与倾斜角 之间的关系. 3.线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界处取得,当表 示线性目标函数表示的直线与可行域的某边重合时,其最优解可能 有无数个. 本例中,若条件不变,求 z=y-2x 的最大值. 解 画出线性约束条件表示的可行域 (如图中的阴影部分),由 z=y-2x 可得 y=2x+z,由图可知,当直线 y=2x+z 经过点 C(-15,15)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 取最大值,故 zmax=15-2×(-15)=45. 1 2 3 消耗量 产 品 甲产品 乙产品 资源限额 资 煤/t 源 9 4 3 7 5 5 10 12 300 200 300 电力/kW· h 劳力/个 利润/万元 【例2】 导学号04994075某工厂有甲、乙两种产品,计划每天各产 品生产量不少于15 t.已知生产1 t甲产品需煤9 t,电力4 kW· h,劳力3 个;生产1 t乙产品需煤5 t,电力5 kW· h,劳力10个;甲产品每吨利润7 万元,乙产品每吨利润12万元;但每天用煤不超过300 t,电力不超过 200 kW· h,劳力只有300个.问每天各生产甲、乙两种产品多少时,能 使利润总额达到最大? 思路分

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