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山东省济宁市金乡一中2011-2012学年高二3月月考数学(文)试题

山东省济宁市金乡一中2011-2012学年高二3月月考数学(文)试题


山东省金乡一中 2011-2012 学年下学期高二 3 月份月考试题 数学(文)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题只有一个正确选项。每小题 5 分,共 60 分) 1.设 x ? R, 则" x ? 1" 是" x ? x ? 2 ? 0" 的( )
2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条 件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若命题“p 或 q”为真, “非 p”为真,则 ( ) A.p 真 q 真 B.p 假 q 真 C.p 真 q 假 D.p 假 q 假 3. 设 F1 , F2 是椭圆 4 x A.3
2
2

?

y

2

P ? 1 的两个焦点,

49

6

是椭圆上的点, | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |?( ) 若 D. 6

B.4 )

C. 5

4.抛物线 y ? ?8 x 的焦点坐标是 ( A. ?2,0? B. ?? 2,0 ?

C. ?4,0 ?

D. ?? 4,0 ?
? 60
?

5.已知点 F1 , F2 为双曲线 C: x 2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ?F1 PF2 则
PF1 ? PF2 ? (



) C. 6 ) D. 8

A.2 B.4 6. 下列命题中,是真命题的是 (
2

A. ?m ? R, 使函数f ? x ? ? x ? mx? x ? R ?是偶函数 B. ?m ? R, 使函数f ? x ? ? x ? mx? x ? R ?是奇函数
2

C. ?m ? R, 函数f ? x ? ? x ? mx? x ? R ?都是偶函数
2

D. ?m ? R, 函数f ? x ? ? x ? mx? x ? R ?都是奇函数
2

7. 若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为
2 2

3 2

,则它的长半轴长为( D.与 m 有关



A.1

B.2

C.1 或 2

8. 有下述说法:① a ? b ? 0 是 a 2 ? b 2 的充要条件.
a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件.则其中正确的说法有(
3 3

②a?b?0是 )

1 a

?

1 b

的充要条件. ③

A. 0 个
2

B.个

C. 2 个
x
2

D. 3 个
2

9. 若y ? 2 px? p ? 0 ?的焦点与椭圆

?

y

?1 的右焦点重合, 则抛物

6

2

线准线方程为 (

) B. x ? ?2 C. x ? ? )
1 2

A. x ? ?1 10. “ ? ?
?
6

D. x ? ?4

”是“ cos 2? ?

1 2

”的 (

A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3 11. 曲线 y=x 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 6 3 2 12. 若函数 h(x)=2x- + 在(1,+∞)上是增函数,则实 数 k 的取值范围是 ( x 3 A.[-2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,-2] D.(-∞,2] 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 在等差数列?a n ? 中,若d ?
1 2 ,且a1 ? a 2 ? ? ? a 9 ? 18,则a 6 ?

(

)

k k

)

. .

14. 在?ABC中,若 sin A : sin B : sin C ? 7 : 8 : 13,则C ?
?x ? 2 y ? 4 ? 15. 若满x, y足 ? x ? y ? 1 ,则z ? 3 x ? y的最大值为 ?x ? 2 ? 0 ?

.

16.如图,函数 y ? f ( x ) 的图象在点 P 处的切线方程是 y ? ? x ? 8 ,则 f ( 5) ? f ?( 5) = . 三、解答题(本 大题 6 个小题,共 70 分.解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤) 17. (本小题共 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3 x
3

(1)求该函数的导函数 f ( x ) ; (2)求曲线 y ? f (x) 在 点 P (1,4) 处的切线方程.

'

18. (本小题共 12 分)如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角 三角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E,AB=2. (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE。

D C

E

A

B

19. (本小题共 12 分)一校办服装厂花费 2 万元购买某品牌运动装的生产与销售 权.根据以 往经验, 每生 产 1 百套这种品牌运动装的成本为 1 万元, 每生产 x(百套) 的销售额 R (x)(万 元)满足:
?? 0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8,  x ? 5, 0? ? R( x) ? ? 9 , x ? 5. ?14.7 ? x?3 ?

(1)该服装厂生产 750 套此种品牌运动装可获得利润多少万元? (2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大?此时,利润是多少万元?

20. (本小题共 12 分)直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y ? 8 x 交于不同的两点 P、Q,若 PQ 中点的
2

横坐标是 2. (1)求 k 的值; (2)求弦 | PQ | 的长.

21. (本小题共 12 分)已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], a ? R (1)若 a ? 1 ,求 f (x) 的极小值; (2)是否存在实数 a, 使 f (x) 的最小值为 3.

22. (本小题共 12 分)已知抛物线 y ? 4 x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A
2

(3,2) ,求 PA ? PF 最小值,并求此时 P 点的坐标. 参考答案: 1-5BBABB 6-10 ACABA 13.
5 2

11-12 BA 15. 5 16. 2

14.

1 20°

17.解: (1) f ( x) ? 3 x ? 3 ;
/ 2

(2)由(1)得 f ( x) ? 3 x ? 3 ,所以在点 P (1,4) 处的切线的斜率 k ? f (1) ? 6
/ 2 /

所以切线 的方程为 y ? 4 ? 6( x ? 1) ,即 y ? 6 x ? 2 为所求。 18.解:(1)因为 ?BCD ? 90 ? 60 ? 150 , CB ? AC ? CD
0 0 0

所以 ?CBE ? 150 ,? cos ?CBE ? cos ? 450 ? 300 ? ? (2)在 ?ABE 中, AB ? 2 ,故由正弦定理得
AE sin ? 45 ? 15
0 0

6? 4

2

?

?

2 sin ? 90 ? 15
0 0

?

,

故 AE ?

2 sin 30 cos15

0

2? ? 6? 4

1 2 2 ? 6? 2

0

19. (14 分)解: (1) R (7.5) ? 1 ? 7.5 ? 2 ? 3.2 , 所以,生产 750 套此种 品牌运动装可获得利润 3.2 万元 (2)由题意,每生产 x (百件)该品牌运动装的成本函数 G ( x) ? x ? 2 ,所以,
?? 0.4 x 2 ? 3.2 x ? 2.8,    ? x ? 5) (0 ? 利润函数 f ( x) ? R ( x) ? G ( x) ? ? 9 ,     ? 5) (x ?12.7 ? x ? x?3 ?

当 0 ? x ? 5 时, f ( x) ? ?0.4( x ? 4) ? 3.6 ,故当 x ? 4 时, f (x) 的最大值为 3.6 .
2

当 x ? 5 时, f ( x) ? 9.7 ? [( x ? 3) ?

9 x?3

] ? 3.7 ,

故当 x ? 6 时, f (x) 的最大值为 3.7 . 所以,生产 600 件该品牌运动装利润最大是 3.7 万元 20.解: (1) y
2

? y1 2 ? 8 x1 , (1) ? ? 8 x ,设 P ( x1 , y1 ) ,Q ( x 2 , y 2 ) ,中点为 ( x 0 , y 0 ) ,则有 ? 2 ? y 2 ? 8 x 2 .( 2) ?

在 y ? kx ? 2 中, x 0 ? 2 时, y 0 ? 2k ? 2 ,? 若 PQ 中点的纵坐标是 y 0 ? 2k ? 2 . 由 k PQ ? y 0 ? 4 得: k (2k ? 2) ? 4 ,即 k 2 ? k ? 2 ? 0 . 解之得: k ? 2 或 k ? ?1 . 由?
? y ? kx ? 2, ?y
2

? 8 x.

得: k x ? 4(k ? 2) x ? 4 ? 0 .
2 2

因为直线与抛物线交于不同的两点,

? ?k ? 0, ?? 2 2 ?? ? 16( k ? 2) ? 16k ? 0. ?
2

解之得: k > ? 1 且 k ? 0 . ?k ? 2. (2)由 ?
? y ? 2 x ? 2, ?y
2

? 8 x.

得: 4 x 2 ? 16 x ? 4 ? 0 . 即 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 .

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 4, x1 x 2 ? 1 .
? | PQ |?

(1 ? k ) ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2 2

?

?

5(16 ? 4) ? 2 15
/

21. (1)? a ? 1,? f / ( x) ? 1 ? 列表 得:
x
/

1 x

?

x ?1 x

, 令f ( x ) ? 0, 则x ? 1

(0,1)

1 0 1

(1, e)

e

f ( x)
f (x )

?

+ 递增

递减

f (x ) 的极小值是 1

(2) f / ( x) ? a ? 当 a?
1 e
/

1 x

?

ax ? 1 x
f (x ) 在 单 调 递

时,f ( x ) ? 0 , 所 以 4 e 1 a

减 , 则 f (x) 的 最 小 值 为

f (e) ? ae ? 1 ? 3, a ?

,舍去
), f ( x ) ? 0, x ? (
/

当 a?

1 e

时, x ? (0,

1 a

, e), f ( x ) ? 0 , 则
/

f (x ) 的 最 小 值 为

1 2 f ( ) ? 1 ? ln a ? 3, a ? e a

综上,当 a ? e 2 时 f (x) 的最小值为 3 2 解: 将x ? 3代入抛物线方程y 2 ? 4 x,得y ? ?2 3 ,? 2 3 ? 2,? A在抛物线内部.
设抛物线上的点P到准线l : x ? ?1 的距离为d,由定义知 :

PA ? PF ? PA ? d ,由图?省略 ?可知:当PA ? l时, ? d最小,最小值为4, PA 即 PA ? PF 的最小值为4,此时P点的纵坐标为2,代入y ? 4 x得x ? 1,
2

所以 P 的坐标为(1,2).


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