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2018年高中数学 第二章 解三角形 2.2 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5_图文

2018年高中数学 第二章 解三角形 2.2 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5_图文

第二章 解三角形
§2 三角形中的几何计算

1.正弦定理的变形(R 为外接圆半径) (1)a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c=

2Rsin C .

a

b

c

(2)sin A= 2R ,sin B= 2R ,sin C= 2R .

(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

2.余弦定理的变形 b2+c2-a2= 2bccos A ; a2+c2-b2= 2accos B ; a2+b2-c2= 2abcos C . 3.余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC 中,由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,若角 C=90°, 则 cos C=0,于是 c2=a2+b2-2a·b·0=a2+b2,这说明勾股定 理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广.

4.三角形的面积公式 (1)如图所示,在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对 边,ha,hb,hc 分别为 a,b,c 边上的高,R,r 分别为△ABC 的外接圆、内切圆的半径,p=12(a+b+c),则△ABC 的面积有 如下公式.

①S△ABC=12a·ha=12b·hb=12c·hc. ②S△ABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B. ③S△ABC=rp. ④S△ABC= p(p-a)(p-b)(p-c). (2)对于多边形的有关几何计算问题,可以利用“割补法”,转 化为三角形,通过三角形的有关性质及正、余弦定理解决.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形.( √ ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积.( × ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积.( × )

在△ABC 中,若 a=7,b=3,c=8,则△ABC 的面积等于

()

A.12

B.221

C.28

D.6 3

解析:选 D.由余弦定理可得 cos A=12,A=60°,所以 S△ABC

=12bcsin A=6 3.

已知△ABC 的面积为32,且 b=2,c= 3,则( )

A.A=30°

B.A=60°

C.A=30°或 150°

D.A=60°或 120°

解析:选 D.由 S△ABC=12bcsin A=32,

得 3sin A=32,sin A= 23,

由 0°<A<180°,知 A=60°或 A=120°.

在△ABC 中,三边 a,b,c 与面积 S 的关系式为 a2+4S= b2+c2,则角 A 为________.
解析:因为 a2=b2+c2-2bccos A,又已知 a2+4S=b2+c2,故 S=12bccos A=12bcsin A,从而 sin A=cos A,tan A=1,A=45°. 答案:45°

1.三角形面积公式的理解 三角形的面积公式 S=12absin C 与原来的面积公式 S=12a·h(h 为 a 边上的高)的关系为: h=bsin C,实质上 bsin C 就是△ABC 中 a 边上的高.

2.常见问题的处理方法与技巧 (1)求三角形的面积,要充分挖掘题目中的条件,转化为求两边 及夹角正弦问题,要注意方程思想在解题中的应用. (2)在求三角形面积时,若存在三角形边长平方和的情况,一般 联想到用余弦定理解决;若存在边长乘积时,一般联想到用公 式 S=12absin C=12bcsin A=12acsin B 解决. (3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面 积的和.

计算长度和角度 如图,在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A, B,C 的对边,B=45°,b= 10,cos ∠ACB= 25 5. (1)求边长 a; (2)设 AB 中点为 D,求中线 CD 的长.

【解】 (1)由 cos ∠ACB=255,∠ACB∈(0°,90°),

得 sin ∠ACB= 1-cos2∠ACB



1-??2
?

5

5??2=
?

55,sin

A=sin(B+∠ACB)

=sin Bcos ∠ACB+cos Bsin ∠ACB

= 22×255+ 22× 55=31010,

由正弦定理得 a=bssiinnBA= 10×231010=3 2. 2

(2)由余弦定理得 c2=(3 2)2+( 10)2-2×3 2× 10×255=4, 所以 c=2,又因为 D 为 AB 的中点,所以 BD=1. 在△BCD 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cos B =12+(3 2)2-2×1×3 2× 22=13, 所以 CD= 13.

三角形中几何计算问题的解题思路 (1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点,善于应用 正弦定理、余弦定理,只需通过解三角形,一般问题便能很快 解决. (2)此类问题突破的关键是仔细观察,发现图形中较隐蔽的几何 条件.

1.(1)一梯形的两腰长分别为 2 和 6,它的一 个底角为 60°,则它的另一个底角的余弦值为( )

3 A. 6

B.

33 6

C.±

6 6

D.±

33 6

(2)如图所示,已知在四边形 ABCD 中,AD⊥CD,AD=10, AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求 BC 的长.

解:(1)选 B.如图所示.设梯形 ABCD 中,AD∥BC.
由题意可知 C=60°. 过 D 作 AB 的平行线 DB′与 BC 交于 B′. 在△B′CD 中, B′D=AB=6,CD=2,C=60°,∠DB′C=B, 于是 sin∠DB′C=BC′DD·sin C= 63. 所以 cos∠DB′C= 1-sin2∠CB′D= 633.故选 B.

(2)在△ABD 中,设 BD=x, 由余弦定理得 AB2=BD2+AD2-2AD·BD·cos∠BDA, 即 142=x2+102-20xcos 60°, 所以 x2-10x-96=0, 所以 x=16(x=-6 舍去), 即 BD=16.

在△BCD 中,由正弦定理,得 sin∠BCCDB=sin∠BDBCD, 所以 BC=1s6insin13350°°=8 2.

三角形中与面积有关的问题 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin A+ 3cos A=0,a=2 7,b=2. (1)求 c; (2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD⊥AC,求△ABD 的面积.

【解】 (1)由已知可得 tan A=- 3, 所以 A=23π. 在△ABC 中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos23π, 即 c2+2c-24=0. 解得 c=-6(舍去),c=4.

(2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.

故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为

1

π

2AB·AD·sin 12AC·AD

6=1.

又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC=2 3,所以△ABD 的面

积为 3.

三角形面积公式的应用 (1)三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角已知或可求, 或三角形中哪个角的正弦值可求. (2)在解决三角形问题时,面积公式 S=12absin C=12acsin B=12 bcsin A 最常用,因为公式中既有角又有边,容易和正弦定理、 余弦定理联系起来应用.

2.在△ABC 中,A,B,C 是三角形的三内角, a,b,c 是三内角对应的三边,已知 b2+c2-a2=bc.若 a= 13, 且△ABC 的面积为 3 3,求 b+c 的值. 解:cos A=b2+2cb2c-a2=2bbcc=12, 又 A 为三角形内角, 所以 A=π3.

由面积公式得:

1 2bcsin

π3=3

3,

即 bc=12.

因为 a= 13,

由余弦定理得:

b2+c2-2bccos π3=13, 即 b2+c2-bc=13,则 b2+c2=25, 所以(b+c)2=49,故 b+c=7.

三角形中的综合问题 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 满足 bcos A=(2c+a)cos(π-B). (1)求角 B 的大小; (2)若 b=4,△ABC 的面积为 3,求△ABC 的周长.

【解】 (1)因为 bcos A=(2c+a)cos(π-B), 所以 bcos A=(2c+a)(-cos B). 由正弦定理可得,sin Bcos A=(-2sin C-sin A)cos B, 即 sin(A+B)=-2sin Ccos B=sin C. 又角 C 为△ABC 的内角, 所以 sin C>0,所以 cos B=-12. 又 B∈(0,π),所以 B=23π.

(2)由 S△ABC=12acsin B= 3,得 ac=4. 又 b2=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=16. 所以 a+c=2 5,所以△ABC 的周长为 4+2 5.

解三角形综合问题的策略 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角 形面积公式、三角恒等变形等知识联系在一起,要注意选择合 适的方法、知识进行求解. (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变形等知识综合考 查,解答此类题目,首先要正确应用所学知识“翻译”题目条 件,然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解.

3.在△ABC 中,设 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,向量 m=(cos A,sin A),n=( 2-sin A,cos A),且|m +n|=2. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=4 2,c= 2a,求△ABC 的面积.

解:(1)因为 m+n=( 2+cos A-sin A,cos A+sin A),所以|m +n|=
( 2+cos A-sin A)2+(cos A+sin A)2= 4-4sin???A-π4???.
因为|m+n|=2,所以 sin???A-π4???=0, 又 0<A<π, 所以-π4<A-π4<34π, 所以 A-π4=0,即 A=π4.

(2)因为 c= 2a,A=π4, 所以ac=ssiinn CA= 2, 所以 sin C=1,又 0<C<π, 所以 C=π2. 所以△ABC 为等腰直角三角形, S△ABC=12×(4 2)2=16.

规范解答

三角形中的综合问题

(本题满分 12 分)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B, C 的对边,sin2B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B 的值; (2)设 B=90°,且 a= 2,求△ABC 的面积.

【解】 (1)由题设及正弦定理可得 b2=2ac. 又 a=b,可得 b=2c,a=2c. 由余弦定理可得 cos B=a2+2ca2c-b2=14. (2)由(1)知 b2=2ac. 因为 B=90°,由勾股定理得 a2+c2=b2,
故 a2+c2=2ac,进而可得 c=a= 2. 所以△ABC 的面积为12× 2× 2=1.

(2 分) (3 分) (6 分)
(8 分) (10 分) (12 分)

(1) 推出 a,b,c 间的关系,再利用余弦定理,是本题关键.
忽略 B=90°导致无法求解.
(2)对正弦定理、余弦定理及三角公式要熟练掌握其形式及特点, 并结合条件确定边、角之间的关系.如余弦定理的推论 cos B =a2+2ca2c-b2. (3)使用简洁、准确的数学语言描述解答过程,是解答得分的根 本保证.

1.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且 S△ABC= 23,则 BC 边

的长为( )

A. 3

B.3

C. 7

D.7

解析:选 A.由 S△ABC=12·AB·AC·sin A 得, 12×2ACsin 60°= 23,所以 AC=1, 所以 BC= AB2+AC2-2AB·AC·cos A = 4+1-2×2×1×cos 60°= 3.故选 A.

2.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2

-c2=4,且 C=60°,则 ab 的值为( )

4 A.3

B.8-4 3

C.1

D.23

解析:选 A.由(a+b)2-c2=4,得(a2+b2-c2)+2ab=4.① 因为 a2+b2-c2=2abcos C, 故方程①化为 2ab(1+cos C)=4. 所以 ab=1+c2os C.又因为 C=60°, 所以 ab=43.

3.△ABC 中,已知 a=x,b=2,B=60°,如果△ABC 有两 组解,则 x 的取值范围是________.

解析:△ABC 有两组解则:asin B<b<a,即 xsin 60°<2<x,解

得 2<x<433.

答案:??2,4
?

3

3?
? ?

4.已知角 A、B、C 为△ABC 的三个内角,且其对边分别为 a、 b、c,若 cos Bcos C-sin Bsin C=12. (1)求角 A; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

解:(1)因为 cos Bcos C-sin Bsin C=12, 即 cos(B+C)=12. 所以 B+C=60°,从而 A=120°. (2)由余弦定理, 得 b2+c2+bc=a2=12,① 又 b+c=4,所以 b2+c2+2bc=16.② 由①②得 bc=4. 所以 S△ABC=12bcsin A=12×4× 23= 3.


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